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一个猜想的类比问题



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2 0 0 5 年第 1 O期 

1 9  



条“ 新线" 的发现再研究 
赵 临 龙 
( 陕西省安康师范专科学校数学系 , 7 2 5 0 o o )  

一个猜想的类比问题 
马 

林  
( 安徽师范大学附属中学 , 2 4 1 0 0 1 )  

文[ 1 ] 给 出 了如 下 的命题 :   命 题  如 图 1 , ,是 △ A B C的 内心 , 作 
朋l j ' A , 交B C的 延 长 线 于 A   , 作 B B   交  的延 长线 于 日 。 , 作 C C . 上  交  的延  长线 于 C   , 则A   、 日。 、 C   三 点共 线 . ‘  

笔者 在文 [ 1 ] 中解决 了文 [ 2 ] 所 述猜 想 :  
1  
+ 

1  
+ 

1  

1  

1  
甘  

1  
+  丽 + 

1  

:  

(  丢 + 丢 )  ( n ∈ N 一 , .  
+y   ‘   +   ‘ :( 戈+v+  ) 2 n  

并指出, 其 等价 于下 述命 题 .   命题 1 若 n ∈N  ,  、 y 、 。 均 不为 零 , 则  的充 要条 件 是  、 v 、   中 至 少 有 两 个互 为 相 
A 

反数 .  
图 1  

最近发现, 命题 1 的一个类比向题也成  
立 .  

我们 说 , 此 命 题 仅 仅 是 笛 沙格 ( D e s a r -   g u s s ) 定 理 的特殊 情 况 , 自然 共 线 的新 线 并非  为真 正的创新 发现 . 下而给出   笛 沙格定 理 交点 共线 .   顺 便指 出 , 笛 沙 格定 理 是 研究 三 点 共 线  与三线 共 点 的重要定 理 .  
参考文献 :  
: 1 ] 刘 斌. 一 条新线 的发现 [ J ] . 中等数学 , 2 0 0 5 ( 2 ) .  

命题 2 若 n EN+,  、 Y 、  均不 为零 , 则 
1  
—  

1  
Y  

1  
z  

+ —  _ 『+ —丢  _ 『  

两 三角 形对应 顶点 连线 交 


于一 点 的充分 必 要 条 件 是 : 两 三角 形 对 应 边 

( 寿【 _)   ”  

①  

的充要条 件 是  、 Y 、   中至 少 有 两个 互 为 相  反数 .   证明 : 充分性 显 然 . 下 证必 要性 .  

因为  、 Y 、  异号 ( 若 不然 , 不妨 设  > 0 ,  
Y> 0 ,  > 0 , 则 式 ① 左边 大 于 右边 , 矛盾) , 不 

编 后语 : 本刊 2 0 0 5年 第 2期 刊 登 了“ 一 

条 新线 的发 现” 一文 . 该 文 系学生 ( 初 中生 ) 习  

妨设  >0 , , 。 >0 ,  <0 . 记 Y= 一   +m, 代 人 
式 ① 并整 理得 
+ 

作, 考虑 到对 学生来说 是 “ 新发 现 ” . 为鼓 励作 
者, 本刊在 编 辑加 工 时未作 改动 . 最近 接 到读  者 的 来信 , 对 新线提 出 自己的 看法 , 故再发 此  文, 以正读 者 .  

1  

+ 

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中 等 数 学 

记 上式 等号左 边 为 f (  ) , 则 



厂   (   ) = ( 2 n + 1 ) 【   (   + , n )  一 刍J ]  
( 1 ) 当 m=0时 , Y=一z , 则命 题 2获证 
( 2 ) 当  m> 0   时   m> 时, , 7 I — 
L   + , n, … 

(  ) 2 ? (   M D ) 2 ? (  ) 2 ? (  )  
RB  R M  S M S D R A  R M S M S C  

— RN  R A  S C  S N RN  RB  S D  S N 


一   0 一  1 < < ;  
… 。   ‘  


一 \R N? S N , ’  

f   R M" S M1  

臣 Ⅱ . P M' Q M 一— R M' — S M 
当 m< 0时 ,   _ 丽
X + m 厂  。  

一  

… 

>0 .  

”   P N? Q N —R N? S N‘  

因此 , I 厂 (  ) 为单调函数 .  
又 一z是f (  ) =0的一 个根 , 则f (  ) =0  

此 命 题 的条 件 很 弱 , 加 强 条 件 可 得 到 以 
下 结论 .  

仅有此 唯一 根 .  
所以 ,   = 一z .  

1 . 若 直线 z 经 
过 点 E, 这 时, 点  Q、 P 均 与 点 E 重 

故命 题 2获证 
参考文献 :  
[ 1 ] 马 林. 一 个猜想 的解答 [ J ] . 数学通报 , 2 0 0 5 ( 2 ) .  

合( 如图 2 ) , 则 
EM   R M ?   图2   EN 一 RN ? s N 

[ 2   J   张 玉 龙 . {+ Ⅱ  O ÷+  ÷: c  Ⅱ   + O + c   给 出 的 信 息 [ J ] . 教  
学  j 研究( 数学) , l 9 8 6 ( 8 ) .  

甘丽

一丽   丽 一丽 ‘  

这 是蝴 蝶定 理 的推广 —— 坎迪 定理 .  

关 系 圆的一个 命 题 
万 喜 人 
( 湖 南 省沅 江 市 白 沙 乡机 关 , 4 1 3 1 0 5 )  

2 . 若直 线 z 经过 点 E, 且 E M :E N( 如 图 
2 ) , 则 有 
E R = ES.  

这 就是 蝴蝶 定理 .   3 . 设 B A与 C D 相 交 

命题

圆 内任 意 两 条 弦 A C与 B D 相 交 

于 F. 若 直 线 z同 时 经 过 
点 F、 E( 如图 3 ) , 则 
EM   FM  


于点 E, 联结 A B、 C D, 任意 直线 z 交 圆于  、  
/ v , 分 别交 A B、 A C、 B D、 D C( 或 它 们 的 延 长 

线) 于点 R、 Q、 P、 S. 则 


E N   雨  

RM P M' Q M— —
. . . . . . . . .  


— . . .

S M
. . . .









 

P N? Q N —R N? S N‘   证 明 :如 图 

甘而

1  

+~ F N  

1  

2  

‘  
图 3  

这是《 中 等数 学 ) ) 2 0 0 4   年第 5期 数 学奥 林 匹 克 问 
题高 1 4 2 .  

1 , 联结 A M、 A N、  
B M 、 B N、 C  、  

C N、 D  、 D N. 由  

题 意有 

\ f — P p   M   Q M1  
N }   图 1  

一 ( \   S   △ ^ 船  M 一 S 一    ̄ 1 4 c c , I  


/ MB? MD  MA? MC\  


\ NB? ND  N A? NC /  



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