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三角函数复习课



第一章三角函数复习课(1)
一. 知识结构

弧度制 弧度制

π=1800
l ? ? R, S ? 1 1 ? R 2 ? lR 2 2

象限角、终边在坐标轴上的 角的概念的推广 角 终边相同的角

定义 任意角的三角函数 单位圆、 三 角函数线 诱导公式 同 角 三角 函 数 之间的关系

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
诱导公式

tan ? ?
诱导公式

sin ? cos ?

正 余 弦 函 数 的 图像 和 性 质 三角函数的 图像和性质 正切函数的图像和性质

三 角 函 数 模 型 的 简 单 应用

y ? A sin(? x ? ? ) 的图像
二、回顾与思考 1.弧度制的引入,使角度与实数产生一一对应关系,正弦函数余弦函数就是关于任意实 数α 的函数, 这时的自变量和函数都是实数。 这就与数学 1 中给出的一般函数概念完全一致

了。在以后的学习中最常用的就是弧度制及弧度制下的三角函数。 2.利用单位圆定义三角函数,清楚地表明了正弦函数、余弦函数从自变量到函数值之间 的关系,可以把锐角三角函数推广到任意角的三角函数。三角函数线是正弦、余弦、正切在 图形中的集合表示,利用单位圆、三角函数线可以很方便的推导同角三角函数的关系式、诱 导公式, 为公式的记忆提供了图形支持。 单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的直观载 体,我们可以直接借助三角函数线讨论三角函数的性质。其实,三角函数的性质与圆的几何 性质(主要是对称性)之间存在着非常紧密的联系。 3.三角函数是描述周期现象的重要数学模型,可以利用三角函数解决实际问题。 三、数学思想 数形结合思想、化归思想 四.典型例题: 题型(一)三角函数的定义 例题 1:已知角 ? 的终边经过点 P( x,? 2 )( x ? 0), 且 cos? ? 的值. 例题 2: .已知 ? 是第二象限角,则( )

3 1 x ,求 sin ? ? 6 tan ?

A. tan

?

2

?0

B. t a n ? 0 2


?

C. t a n ? 0 2

?

D. t a n 的符号不确定 2

?

例题 3:下列命题正确的是(

A. ? 、 ? 都是第二象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? B. ? 、 ? 都是第三象限角,若 cos ? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? C. ? 、 ? 都是第四象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? D. ? 、 ? 都是第一象限角,若 cos ? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? 例 题 4 :若 集 合 A = {α |k·180° + 30°<α <k·180° + 90° , k∈Z} , 集合 B = {β |k·360°-45°<β <k·360°+45°,k∈Z},则 A∩B__________. 题型(二)同角三角函数基本关系及诱导公式 例题 5:已知 sin(? ? ?) ? cos(? + ?) =

2 (0<?<?),求 sin(? + ?) + cos(2? ? ?)的值. 4

例题 6:已知 2sin(? ? ?) ? cos(? + ?) = 1 (0<?<?),求 cos(2? ? ?) + sin(? + ?)的值. 例题 7: (1)设 tan ? ? ?

1 1 ,求 的值; 2 2 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? n ( s i ? ? ?) ? 5 c o s ( 2? ? ? ) (2)已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?), 求 的 3? 2n ( s i ? ?) ?n ( s i ?? ) 2 值. 1 ? (3)已知 cos(75? ? ? ) ? ,且 ?180? ? ? ? ?90? ,求 cos(15 ? ? ) 的值. 3

第一章三角函数复习课(2)
一.知识再现: 1.

-

正弦函数的五点作图法
? 2

-

-

-

y y=sinx 1 o 2 ? y=sinx x?[0,2?] y 1 o 1
y=cosx

3

4 ?

5 ?

6x ?

4
2.

3 2 (0,0) ? 五个关键点 ( ,1)1 (?,0) ( ? ?

3? ? (2?,0) ? ,-1) 2

?

4

3 ?

2

?

?

y=cosx

x?[0,2?]的五个点关键是(0,1)
? x?R 与函数 y=sin(x+ ) 2 ?

? ( ,0) 2 ?

2

3
(?,-1)

?

3? ( ,0) 2 ?

4

5
(2?,1)

6x ?

?

?

y=cosx, 平移

x?R 的图象相同,即将 y=sinx 的图象向左

? 即得 y=cosx 的图象. 2 3. y ? tan x 的图象与性质(略)

函数的性质 性质 函数 定义域 值域 周期 单调区间 最值及相应 x 的 值 奇偶性 对称 中心 对称轴

y=sinx y=cosx y=tanx 二. 典型例题 题型一:求函数定义域 (1) 求函数 y ? 定义域; 题型二:求函数的值域 1. 已知函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? 相同,若 x ? ?0,

sin x ? cos x 的定义域; (2)求函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的
2

?
6

)(? ? 0) 和 g ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 1 的图象的对称轴完全


? ?? ? ,则 f ( x) 的取值范围是 ? 2?
2

2.求函数 y ? 2 cos x ? 5 sin x ? 4 的值域; 3.求

y?

3 sin x ? 1 的值域; sin x ? 2

4.求函数 y ?

sin x ? 2 的值域. cos x ? 2

题型三:三角函数的图像与性质

?? ? 1. 求函数 y ? tan? 3 x ? ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、 3? ?
单调性.
? 3? ? 2. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M ? ,0? ? 4 ?
对称,且在区间 ?0,

? ?? 上是单调函数,求 ω 和 φ 的值. ? 2? ?
对任意实数 t ) D.-3 或 1 都 有 f ( t?

3. 若 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) ? m

?
4

) ? f (? t ) , 且

f(

?
8

,则实数 m 的值等于( )? ? 1

A. ? 1 B.-1 或 3 4.求函数 y ? sin(4 x ?

?

C. ? 3

) ? cos(4 x ? ) 的周期,单调区间,及最值. 3 6

?

第一章三角函数复习(3)
知识要点: 1. 如 何 由 y ? s i n x 的 图 象 得 到 函 数 y ? A sin(?x ? ?) 的 图 象 ; 如 何 用 五 点 法 作

y ? A s i n? (x ? ?) 的图象; A、?、? 对函数 y ? A sin(?x ? ?) 图象的影响作用.
2.函数 y ? A sin(?x ? ?), x ? ?0,??), (其中A ? 0, ? ? 0) 的物理意义: 函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”

2? 往复振动一次所需的时间,称为“周期” ? 1 ? f: f ? ? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率” T 2? ?x ? ? :称为相位 ? :x = 0 时的相位,称为“初相
T: T ? 典型例题: 例题 1:函数 y ? A sin(?x ? ?), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

? ) 的最小值是?2,其图象最 2

高点与最低点横坐标差是 3?,又:图象过点(0,1),求函数解析式。 例题 2:设用五点法作出函数 y ? 3 cos(2 x ?

问:这个图象可由 y ? cos x 的图象经过如何变换得到? 例题 3: 函数 f (x)的横坐标伸长为原来的 2 倍, 再向左平移 的图象,试求 y ? f ( x) 的解析式。

? ) 的图象, 4

? 1 个单位所得的曲线是 y ? sin x 2 2

? ? 例题 4:已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(?x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 取值范围是( 4 2
1 5 A. [ , ] 2 4 1 3 B. [ , ] 2 4 1 C. (0, ] 2



D.

(0,2]

例题 5:已知函数 g ( x) ? 1 ? cos(

?
2

x ? 2? )(0 ? ? ?

?
2

) 的图象过点 (1, 2) ,若有 4 个不同的


正数 xi 满足 g ( xi ) ? M ,且 xi ? 8(i ? 1, 2,3, 4) ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 等于( A.12 B.20 C.12 或 20 D.无法确定

例题 6: 设 ? >0,函数 y ? sin ? ? x ?

? ?

??

4? 个单位后与原图像重合,则 ? ? 2 的图像向右平移 3? 3

? 的最小值是(
2 A. 3



4 3 B. C. D.3 3 2 例题 7: 若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根, 求实数 a 的取值范围。



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