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2016年秋季学期新人教A版高中必修四3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1


1.二倍角的正弦、余弦、正切 ∵ sin(α+β)=sinαcos β+cosαsin β, ∴ 当α=β 时,sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα sin2α=2sinαcosα (S2 α) ∵ cos(α +β)=cosαcosβ -sinαsinβ ∴ 当α = β时, cos(α+β)=cos2α =cos2α -sin2α cos2α=cos2α-sin2α (C2 α) tan ? ? tan ? ∵ tan(α + β)= 1 ? tan ? tan ? 2 tan ? ∴ 当α=β时, tan2α = 2 1 ? tan ? 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ? (T2 α ) 利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为: cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α. 倍角公式: sin2α=2sinαcosα; cos2α=cos2α-sin2α =2cos2α–1 =1 –2sin2α; 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ? ?? ? ? ? k? , ? ? ? ? k? ? ? 2 4 2 ? ? ? k ?Z 运用这些公式要注意如下几点: (1)公式S2α 、C2α 中,角α 可以是任意角;但公式 ? k ? ? T2α 只有当 ? ? k? ? 且? ? ? (k ? Z ) 时 2 2 4 才成立,否则不成立。 当α= ? 但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱 2 + kπ (k∈Z)时,虽然tanα的值不存在, 导公式, 即:tan2α=tan2( +kπ)=tan(π+2kπ ) 2 =tan π =0 ? (2)倍角公式不仅可运用于将2α 作为α 的2倍的情 ? ? ? 3 ? α 作为 的2倍,将 作为 的2倍,将3α 作为 2 2 4 2 的2倍等等. 况,还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍,将 5 例1.已知sinα = ,α ∈( ? ,π ),求sin2α , 13 2 cos2α ,tan2α 的值. ? 解:∵sinα= 5 ,α∈( 2 , π ), 13 ∴cosα =- 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( 5 ) 2 ? ?12 . 13 13 5 119 2 cos2α =1-2sin2α =1-2× ( ) ? 5 12 120 ∴sin2α =2sinα cosα =2× ? (? ) ? ? 13 13 169 sin 2? 120 169 120 ?? ? ?? . tan2α = cos 2? 169 119 119 13 169 1 ? 例4 若 sin(? ? ) ? , 求 sin( ? 2? ). 6 3 6 ? ? ? 解: ? (2? ? ) ? ( ? 2?) ? , 3 6 2 ? ? ? ? ? sin ( ? 2?) ? cos[ ? ( ? 2?) ] ? cos (2? ? ) 6 2 6 3 2 1? 7 ? 2 ? ? 1 ? 2 sin( ? 2?) ? 1? 2? ? ? ? . 6 ? 3? 9 ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? . 例5 求证: 2 2 tan ? 1 ? tan ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 证明:原式等价于 =tan2θ ① 1 ? sin 4? ? cos 4? sin 4? ? (1 ?

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