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2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)



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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(文史类)

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数的 Z ? ?1? 2i i为虚数单位 在复平面内对应的点位于模为

?

?

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设点 P ? x, y ? , 则“x ? 2且y ? ?1 ”是“点P在直线l : x ? y ?1 ? 0上”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若集合 A=?1,2,3?,B= ?1,3,4?,则A ? B 的子集个数为 A.2B.3C.4D.16
4.双曲线 x ? y ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于
2 2

1 2 A. B. C. 1 D. 2 2 2
2 5.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是

?

?

?x ? y ? 2 ? 则z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 6.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1, ? y ? 0, ?

A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0
7.若 2 ? 2 ? 1, 则x ? y的取值范围是
x y

A. ?0, 2? B. ? ?2,0? C. ? ?2, ??? D. ? ??, ?2?

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数 n 后,

输出的S ? ?10,20? , 那么n的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

?? ? ? ? ? ? ?的图像向右平移? ?? ? 1 个单位长度 后得到函数 ? 2? ? 2 ? 3? g ? x ?的图像, 若f ? x ? , g ? x ?的图像都经过点P ? 0, ?,则?的值可以是 ? 2 ? ? ? 5? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 2 6 ???? ??? ? 10.在四边形 ABCD中, ? ?1, 2 ? , BD ? ? ?4, 2 ? , 则该四边形的面积为 AC
9.将函数 f ? x ? ? sin? 2x ? ? ? ? ?

A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
11.已知 x与y 之间的几组数据如下表: x 1 2 y 0 2 3 1 4 3 5 3 6 4

? ? ? 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y ? bx ? a, 若某同学根据上表 中的前两组数据?1,0? 和? 2,2? 求得的直线方程为 y? ? b?x ? a?, 则以下结论正确的是 ? ? ? ? ? ? ? ? A. b ? b?, a ? a? B. b ? b?, a ? a? C. b ? b?, a ? a? D. b ? b?, a ? a?
12.设函数 f ? x ?的定义域为R,x0 ? x0 ? 0? 是f ? x ?的极大值点,以下结论 一定正确的是

A. ?x ? R, f ? x ? ? f ? x0 ? B. ?x0是f ? ? x ?的极小值点C. ?x0是-f ? x ?的极小值点 D. ?x0是-f ? ?x ?的极小值点

第 II 卷(非选择题共 60 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?2 x3 , x ? 0, ? ? ? ?? ? 13.已知函数 f ? x ? ? ? ? 则f ? f ? ? ? ? . ? ? 4 ?? ?? tan x, 0 ? x ? , ? 2 14.利用计算机产生 0 ? 1之间的均匀随机数a, 则事件“3a ?1 ? 0 发生的概率为.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,焦距为2c. 若直线 a 2 b2 y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆r的一个交点M 满足?MF1F2 ? 2?MF2 F1 , 则该椭圆的离心率等于. 16.设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足:
15.椭圆 r : (i) T ? ? f ( x ) x ? S ; (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当x1 ? x2时,恒有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么称这两个集合“保序同构” ,现给出以下 3 对集合: ① A ? N, B ? N ;
?

?

? ? ③ A ? ? x 0 ? x ? 1? , B ? R.

② A ? x ?1 ? x ? 3? , B ? x ?8 ? x ? 10? ;

其中, “保序同构”的集合对的序号是_______。 (写出“保序同构”的集合对的序号) 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 an ? 的公差 d =1,前 n 项和为 Sn . (I)若 1, a1 , a3成等比数列,求 a1 ; (II)若 S5 ? a1a9,求a1的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 P ? ABCD中,PD ? 平面ABCD,AB // DC,

?

AB ? AD, BC ? 5, DC ? 3, AD ? 4, ?PAD ? 60?. ???? (I)当正视方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图(要求标出尺寸,
并写出演算过程) ; (II)若 M 为 PA 的中点,求证:求二面角 DM // 平面PBC; (III)求三棱锥 D ? PBC 的体积。

19. (本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产 量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生 产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人 的日平均生产件数分为 5 组: ?50, 60 ? , ?60, 70 ? , ? 70,80 ? , ? ? ?

?80,90 ? , ?90,100 ? 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。 ? ?
(I)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下 组”工人的概率;

(II)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件完成列联表,并判 断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附:x 2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 ) n1?n2?n?1n?2

(注:此公式也可以写成k2 ?

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

P( x2 ? k )
k

0.100 2.706

25 周岁以上组 20. (本小题满分 12 分)
2

25 周岁以下组

如图,抛物线 E : y ? 4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A。点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆 心, CO 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N。 (I)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (II)若 AF
2

? AM ? AN ,求圆 C 的半径。



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