9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.2.1-几个常用函数的导数


3.2.1几个常用函数的导数

回顾
求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

我们知道, 导数 f

'

? x0 ? 表示函数 f ? x ?

在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函

数 f ? x ? 在 x ? x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' ? x0 ?的几何意义是什么呢 ?

函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点 (x0,y0 )附近的变化规律; 1) |F’(x)|越大,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“陡” 2) |F’(x)|越小,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“平缓”

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

f ( x) ? 3x
f(x)在x=x0处的导数

2

关系
'

f(x)的导函数

f ' ( x0 ) ? 6x0

f ( x) ? 6 x

x=x0时的函数值

二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
解 :? y ? f ( x) ? C,
??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? C ? C ? 0,
?y ? ? 0, ?x ?y ? f ?( x) ? C ? ? lim ? 0. ?x ?0 ?x

公式一:C? ? 0 (C为常数)

二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数.
解 :? y ? f ( x) ? x,
??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) ? x ? ?x,
?y ? ? 1, ?x ?y ? f ?( x) ? x ' ? lim ? 1. ?x ? 0 ?x

公式二:x ' ? 1

二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解 :? y ? f ( x) ? x2 ,
??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x)2 ? x2 ? 2x ??x ? ?x2 ,
?y 2 x ? ?x ? ?x 2 ? ? ? 2 x ? ?x, ?x ?x
2 ? y 2 x ? ? x ? ? x ? f ?( x) ? ( x 2 ) ' ? lim ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x

公式三:(x ) ' ? 2x
2

二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
1 解 :? y ? f ( x) ? , x ??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ?

?y ?1 ? ? , ?x ( x ? ?x) x

1 1 ??x ? ? x ? ?x x ( x ? ?x) x

1 ?y ?1 1 ? f ?( x) ? ( ) ' ? lim ? lim ?? 2. ?x ?0 ?x ?x ?0 ( x ? ?x) x x x

1 1 公式三:( ) '?? 2 x x

请同学们求下列函数的导数:
2) y ? f ( x) ? x, 3) y ? f ( x) ? x ,
2

y ' ?1

y ' ? 2x
y ' ? 3x
2

4)y ? f ( x) ? x 1 5) y ? f ( x) ? , x

3

1 y' ? ? 2 x n 猜想? 当f ( x) ? x 时

f(x)=? f(x)=nx

'

n-1

n? R

1) y ? f ( x) ? C

y' ? 0 2) y ? f ( x) ? x, y ' ?1 2 3) y ? f ( x) ? x , y ' ? 2 x
1 4) y ? f ( x) ? , y ' ? ? 1 2 x x

表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0 表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1

这又说明什么? 这又说明什么?

探究:

画出函数y=1/x的图像。根据图像, 描述它的变化情况。并求出曲线在 点(1,1)处的切线方程。

x+y-2=0

1.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
2.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

三.典例分析 题型:求曲线的切线方程

例1.已知y ? x,1),求y?;
4

2)求曲线在点( 11 , )处的切线方程.
例2.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点, (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。

(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。

1 1 练习 1: 求双曲线 y= 在点(2, )处的切线方程. x 2

1 2 7 练习 2:求抛物线 y = x 经过点(4, )处的 4 4 切线方程.

练习:已知抛物线 y=ax +bx+c 通过点(1,1),且在点 (2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求 a、b、c 的值.
所以 a+b+c=1. 解:因为 y=ax +bx+c 过点(1,1),
2

2

y′=2ax+b,
曲线过点(2,-1)的切线的斜率为 4a+b=1.
又曲线过点(2,-1), 所以 4a+2b+c=-1.
a +b + c = 1 , ? ? 由?4a+b=1, ? ?4a+2b+c=-1,

a=3, ? ? 解得?b=-11, ? ?c=9.

所以 a、b、c 的值分别为 3、-11、9.

例 3 求过点(1,-1)与曲线 y=x3-2x 相切的直线方程.

解:设 P(x0,y0)为切点,
则切线斜率为 k=f′(x0)=3x -2
2 0

故切线方程为 y-y0=(3x -2)(x-x0)①
∵(x0,y0)在曲线上,∴y0=x0-2x0②
又∵(1,-1)在切线上, ∴-1-y0=(3x -2)(1-x0)③
∴将②代入③式得-1-(x -2x0)=(3x -2)(1-x0).
2 3 2 化简得 2x0-3x0+1=0. 分解因式得(x0-1) (2x0+1)=0. 5 1 解得 x0=1 或 x0=- . 则切线斜率为 k=1 或 k=4 2 5 故所求的切线方程为:y+1=x-1 或 y+1=- (x-1). 4 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.

2 0

3

2 0

3 0

2 0

题型三:导数的几何意义的应用
f (1) ? f (1 ? x ) lim ? ?1 练:设f(x)为可导函数,且满足条件 x ?0 , 2x 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

f (1) ? f (1 ? x ) 解: ? f ( x )是 可 导 函 数 且 lim ? ?1, x ?0 2x 1 f (1) ? f (1 ? x) ? lim ? ?1, 2 x?0 1 ? (1 ? x)

f (1 ? x) ? f (1) ? lim ? ?2, x ?0 (1 ? x) ? 1

? f ?(1) ? ?2.

故所求的斜率为-2.

基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx (n ? R) ' 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx

5.若f(x)=a ,则f(x)=a ln a 6.若f(x)=e ,则f(x)=e
' x ' x

x

'

x

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x

看几个例子 : 例3.已知y ? log 2 x,求曲线在点

x ? 2处的切线方程.
1 2 y? ? ( x ? 2) 2 2ln 2

例4.已知y ? cos x,求曲线在点 5? x? 处的切线方程. 6 3 1 5?
? ? (x ? ) 2 2 6 例5:求下列函数的导数 1 ' ?5 (1). y ? 4 ; y ? ?4 x x 1 3 2 ' (2). y ? x x. y ? x 2 y?


赞助商链接

更多相关文章:
§3.2.1几个常用函数的导数
§3.2.1几个常用函数的导数 - 霍 山 县 上 土 市 中 学 导 学 案 §3.2.1 几个常用函数导数 学科组: 高二数学组 主备教师:李儒江 参与教师:周龙...
3.2.1 几个常用函数的导数,3.2.2基本初等函数的导数公...
3.2.1 几个常用函数的导数,3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则 学校:___姓名:___班级:___考号:___ 1.已知 f ? x ? ? ax ? 3x ?...
3.2.1 几个常用函数的导数》限时训练
3.2.1 几个常用函数的导数》限时训练 - ☆石家庄市复兴中学数学教学案(文) GESX—0087 编制时间:2018-1-6 使用时间:2018-1-8 编制人:刘燕 审核人:孙...
3.2.1几个常用函数导数_图文
3.2.1几个常用函数导数_数学_高中教育_教育专区。3.2.1 几个常用函数导数 课前预习学案(预习教材 P88~ P89,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 ...
3.2.1几个常用函数的导数教案
3.2.1几个常用函数的导数教案_数学_高中教育_教育专区。3.2.1 几个常用函数的导数教案 教学目标: 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数; 利用公式解决...
3.2.1几个常用函数的导数(第2课时)
在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 A. (0, 0) B. (2, 4) 3.2.1 几个常用函数的导数 第 2 课时 上课时间: 【教学目标】 掌握四个公式 ,学会...
3.2.1几个常用函数的导数
甘肃省环县第一中学导学案 高一语文必修 1 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数主备: 李学书 备课(教研)组长: 刘吉雄 审核: 授课教师: 课前预习学...
3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式_数学_自然科学_专业资料。基础巩固强化 一、选择题 1.设 y=e3,则 y′等于( A.3e2 C.0 [答案] C ...
3.2.1几个常用函数的导数教案
3.2.1几个常用函数的导数教案 - 3.2.1 几个常用函数的导数教案 教学目标: 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数; 利用公式解决简单的问题。 教学重点...
人教版高中数学选修1-1教案:3.2.1几个常用函数的导数
人教版高中数学选修1-1教案:3.2.1几个常用函数的导数 - §3.2.1 几个常用函数的导数 项目 内容 修改与创 课题 (共 1 课时) 新 1.使学生应用由定义求...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图