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2012高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第三节函数的单调性、最值和极值(文)



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第三节

函数的单调性、最值和极值

函数的单调性、最(极)值是高考的热点,新课程中函数的单调性、最(极)值的要求 提高了,可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中,函数的单调性、极(最)值往往 是以某个初等函数为载体出现,综合题往往与不等式、数

列等联系起来,处理方法除了定义 法之外,一般采用导数法.难度值控制在 0.3~0.6 之间. 考试要求:①了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法;②了解函数 单调性与导数的关系;③能求函数的最大(小)值;④掌握用导数研究函数的单调性. 题型一 已知函数的单调性、最(极)值,求参变量的值. 例1 设函数 f ( x ) ? 6 x ? 3 ( a ? 2 ) x ? 2 ax .
3 2

(1)若 f ( x ) 的两个极值点为 x 1 , x 2 且 x 1 x 2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 ( ?? , ?? ) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由. 点拨 因为是三次函数,所以只要①利用“极值点 ? f ? ( x ) ? 0 的根”,转化为一元二次方

程根的问题;②利用 f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上单调 ? f ?( x ) >0(<0) ,转化为判断一元二次函数 图像能否在 x 轴上方的问题. 解
2 f ? ( x ) ? 18 x ? 6( a ? 2) x ? 2 a

(1)由已知有 f ? ( x1 ) ? f ? ( x 2 ) ? 0 ,从而 x1 x 2 ?
2 2

2a 18

? 1 ,所以 a ? 9 ;

(2)由 ? ? 3 6 ( a ? 2 ) ? 4 ? 1 8 ? 2 a ? 3 6 ( a ? 4 ) ? 0 ,得 f ?( x ) ? 0 总有两个不等的实根,
f ( x ) 不恒大于零,所以不存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 R 上的单调函数.

易错点 ①三次函数的极值点 x 1 , x 2 与原函数 f ( x ) 的导数关系不清; ②含参变量 a 的问题是逆向思维,学生易出现错误; ③学生不会将 f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上是单调函数的问题转化为 f ?( x ) ? 0( ? 0) 恒成立问题. 变式与引申 1:(2011 年高考江西卷理) 设 f ( x ) ? ?
? ? ? x ?
?

? ?

x ? ?ax

?

(1)若 f ( x ) 在 ( , ? ? )上存在单调递增区间,求 a 的取值范围;
?

(2)当 ? ? a ? ? 时, f ( x ) 在 [?, ? ] 上的最小值为 ?

?? ?

,求 f ( x ) 在该区间上的最大值.

题型二:已知最(极)值或其所在区域,通过单调性分析参变量的范围. 例 2 已知函数 f ( x ) ? x ? (1 ? a ) x ? a ( a ? 2) x ? b ( a, b ? R ) .
3 2

(1)若函数 f ( x ) 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值;
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(2)若函数 f ( x ) 在区间( ? 1,1)上至少有一个极值点,求 a 的取值范围. ........ 点拔:第(1)问利用已知条件可得 f ? 0 ? ? 0, f ? (0 ) = 0 ,求出 a,b 的值.第(2)问利用“极 值点 ? f ?( x ) ? 0 ”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解析: (1)由函数 f ( x ) 的图像过原点,得 b ? 0 ,
2 又 f ? ( x ) ? 3 x ? 2 (1 ? a ) x ? a ( a ? 2 ) , f ( x ) 在原点处的切线斜率是 ? 3 ,

则 ? a ( a ? 2 ) ? ? 3 ,所以 a ? ? 3 ,或 a ? 1 . (2)法一:由 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? a, x 2 ? ?
a?2 3

.又 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上至少有一个极值点,

a?2 ? ?1 ? ? ? 1, ? ? 1 ? a ? 1, ? ? 1 ? a ? 1, ? ? 5 ? a ? 1, ? ? ? ? ? 3 即? 解得 ? 或? a ? 2 或? 1 1 , ? a?2 ?a ? ? , ?a ? ? . ?a ? ? a ? ? . 3 ? 2 ? 2 ? ? 3 ?
? 所以 a 的取值范围是 ? ? 5, ? ? 1? ?? 2? ? 1 ? 1 ? ? ,? . ? 2 ?

2 法二: f ? ( x ) ? 3 x ? 2 (1 ? a ) x ? a ( a ? 2 ) ,由题意

① f ( x ) ? 0 必有一根在(-1,1)上,
'

故 f (-1) ? f (1) ? 0 ,即 (5 ? 4 a ? a )(1 ? a ) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ? 1 ;
' ' 2 2

或 f (-1) = 0 ,则 a ? ? 1 ,当 a ? 1, f (1) ? 0 (舍去) ,当 a ? ? 1 时,经检验符合题意;
'

同理 f (1) = 0 ,则 a ? 1或 5 ,经检验,均不符合题意,舍去.
'

② f ( x ) ? 0 有两个不同的根在(-1,1)上
'

? f ' (-1) ? 0 ? 1 1 故 ? f ' (1) ? 0 解得: ? 1 ? a ? ? 或 ? ? a ? 1 2 2 ?? ? 0 ?
? 所以,a 的取值范围 ? ? 5, ? ? 1? ?? 2? ? 1 ? 1 ? ? ,? . ? 2 ?

易错点:①解不等式 f ?( x ) ? 0 出错;②第(2)问的解法一,不易分析.;③第(2)问的解法 二,分类讨论,不易讨论完整.
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变式与引申 2:将(2)中改为“ f ( x ) 在区间( ? 1,1)上有两个极值点”,或改为“ f ( x ) 存 在极值点,但在区间( ? 1,1)上没有极值点”,如何求 a 的取值范围? 题型三 函数的单调性、最(极)值与不等式结合的问题 例3 设函数 f ( x ) ? x e
2 x ?1

? a x ? b x ,已知 x ? ? 2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点.
3 2

(1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)设 g ( x ) ?
2 3

x ? x ,试比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小.
3 2

点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数,分析第(1)问先由极值点转化为 方程的根,再用待定系数法;第(3)问中比较两个函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小,可构造新函数
F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,再通过分析函数 F ( x ) 的单调性来讨论 F ( x ) 与 0 的大小关系.
x ?1 2 2 x ?1 解 (1)因为 f ? ( x ) ? e (2 x ? x ) ? 3 ax ? 2 bx ? x e ( x ? 2) ? x (3 ax ? 2 b ) ,

又 x ? ? 2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ? ( ? 2 ) ? f ? (1) ? 0 ,
? ? 6 a ? 2 b ? 0,
1 3

因此 ?

? 3 ? 3 a ? 2 b ? 0,

解方程组得 a ? ?

,b ? ?1 .

(2)因为 a ? ?

1 3

x ?1 , b ? ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? x ( x ? 2 )(e ? 1) ,

令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x1 ? ? 2 , x 2 ? 0 , x 3 ? 1 .
? 1) 0) ? 因为当 x ? ( ? ? , 2 ) ? (0, 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? ( ? 2, ? (1, ? ) 时, f ?( x ) ? 0 . 0 ? ? 1) 所以 f ( x ) 在 ( ? 2,) 和 (1, ? ) 上是单调递增的;在 ( ? ? , 2 ) 和 (0, 上是单调递减的.



3






2 x?

1
1


)


3? x


2

f(
1

?x )

2

x?

11 x e ? 3
e

3

?x ,
)

故x

2

F (x ? f x ? g ( ? x) ) x

? x (? x
x ?1

?x , e

(

令 h( x) ? e

x ?1

? x ,则 h ? ( x ) ? e

? 1 .令 h ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,

1 1 因为 x ? ? ? ? ,? 时, h ? ( x ) ≤ 0 ,所以 h ( x ) 在 x ? ? ? ? ,? 上单调递减. 1 故 x ? ? ? ? ,? 时, h ( x ) ≥ h (1) ? 0 ; ? ? 因为 x ? ?1, ? ? 时, h ? ( x ) ≥ 0 ,所以 h ( x ) 在 x ? ?1, ? ? 上单调递增.

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? 故 x ? ?1, ? ? 时, h ( x ) ≥ h (1) ? 0 .

所以对任意 x ? ( ?? , ? ) ,恒有 h ( x ) ≥ 0 ,又 x ≥ 0 ,因此 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ≥ 0 , ?
2

故对任意 x ? ( ?? , ? ) ,恒有 f ( x ) ≥ g ( x ) . ? 易错点 ①求导数时, ( x e
2 x ?1

) ? 易出错;②比较两个函数的大小属于不等式问题,学生容易

只从不等式的简单知识出发,而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申 3: 将第(3)问改为:设 g ( x ) ?
2 3 x ? x ,试证 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立.
3 2

本节主要考查: (1)用导数研究函数单调性,极值; (2)利用单调性、极值点与导数的关系解 决一些综合问题; (3)方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用; (4)数形结合思想. 点评: (1)讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的 定义域,函数的单调区间是定义域的子集; (2)求函数单调区间的常用方法:定义法、图像法、复合函数法、导数法等; (3)利用求导的方法研究函数的单调性、最(极)值,函数在区间上为单调问题转化为导函 数在区间上的正负问题,从而转化为不等式问题,再而研究函数的最(极)值.需灵活应运用 函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等. 习题 1—3 1. 已知: 函数 f ( x ) ? ?
? log
3

x

(0 ? x ? 9) ( x ? 9)

? ? x ? 11

b c , a , , 均不相等, f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) , 若 且

则 a ? b ? c 的取值范围是(
A. ( 0 ,


9)
C.

9)

B. (2,

(9 ,

11 )

D . (2,

11 )

2. 已知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的定义域均为非负实数集,对任意的 x ? 0 ,规定 f ( x ) ? g ( x )
? min{ f ( x ), g ( x )}, 若 f ( x ) ? 3 ? x , g ( x ) ? 2 x ? 5 , 是 f ( x ) ? g ( x )的最大值为

.

3. 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3 x ? 1 .
3 2

(1)设 a ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)设 f ( x ) 在区间(2,3)上不单调,求 a 的取值范围. 4.已知函数 f ( x ) ?
x , g ( x ) ? a ln x , a ? R .

(I)若曲线 y ? f ( x ) 与曲线 y ? g ( x ) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线 的方程; (II)设函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,当 h ( x ) )存在最小值时,求其最小值 ? ( a ) 的解析式;

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(III)对(2)中的 ? ( a ) ,证明:当 a ? (0, ? ? ) 时, ? ( a ) ? 1. 5.设函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

(1)当 b ?

1 2

时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性;

(2) b ? 0 时,求 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式 ln( n ? 1) ? ln n ?
1 n
2

都成立.

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