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高考数学概念方法题型易误点技巧总结(08)—圆锥曲线



2008 届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(八) 圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义: (1) 第一定义中要重视 “括号” 内的限制条件: 椭圆中, 与两个定点 F 1 , F 2 的距离的和等于常数 2 a , 且此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹; 双曲线中,与两定

点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中 的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥ |F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 ( 1 ) 已 知 定 点 F1 (?3,0), F2 (3,0) , 在 满 足 下 列 条 件 的 平 面 上 动 点 P 的 轨 迹 中 是 椭 圆 的 是 A. PF B. PF C. PF 1 ? PF 2 ? 10 1 ? PF 2 ? 4 1 ? PF 2 ?6 C); (2)方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”, 其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的 关系, 要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? 则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): D. PF1
2

? PF2

2

? 12 (答:

x2 上一动点 P (x,y) , 4

x2 y2 x ? a cos ? (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )? 其中 ? 为参数) , y ? b sin ? (参数方程, a b
焦点在 y 轴上时

?

y2 x2 ? 2 =1( a ? b ? 0 )。方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠ 2 a b

0,且 A,B,C 同号,A≠B)。 如(1)已知方程

1 1 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____(答: (?3, ? ) ? (? , 2) ); 2 2 3? k 2?k

2 2 (2) 若 x, y ? R , 且 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 , 则 x ? y 的最大值是____,x ? y 的最小值是___ (答: 5, 2 )

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 y ? ? =1 ,焦点在 轴上: =1( a ? 0, b ? 0 )。方程 a2 b2 a2 b2

Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号)。
-1-

如(1)双曲线的离心率等于

x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: 9 4 2

x2 ? y 2 ? 1); 4
(2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 则 C 的方程为_______(答: x2 ? y 2 ? 6 ) ( 3 ) 抛 物 线 : 开 口 向 右 时 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 开 口 向 左 时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 开 口 向 上 时

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,

x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):

x2 y2 (1) 椭圆: 由 x , y 分母的大小决定, 焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程 ? ?1表 m ?1 2 ? m
2 2

示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: ( ?? ,?1) ? (1, ) ) (2)双曲线:由 x , y
2 2

3 2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭圆、 双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 a , b ,确定椭圆、双曲线 的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例): a2 b2

①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ; ③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0),四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长 轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ; ④准线:两条准线 x ? ? 大,椭圆越扁。

c a2 ; ⑤离心率: e ? ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越 a c

-2-

如(1)若椭圆

25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ); ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值 为__(答: 2 2 ) (2)双曲线(以

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例): a 2 b2

①范围: x ? ? a 或 x ? a, y ? R ; ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ; ③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0),两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2a, 虚轴长为 2 b , 特别地, 当实轴和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线, 其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ; ④准线:两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ? 口越大; ⑥两条渐近线: y ? ?

a2 ; c

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开 a b x。 a

如 (1) 双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 , 则该双曲线的离心率等于______ (答: (2)双曲线 ax ? by ? 1的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2

13 13 或 ) ; 2 3

(答:4 或

1 ); 4

(3)设双曲线 是________(答: [

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ 的取值范围 a2 b2

? ?

, ] ); 3 2

(3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例): ①范围: x ? 0, y ? R ; ②焦点:一个焦点 (

p , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离; 2

③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0); ④准线:一条准线 x ? ? ⑤离心率:e ? (答: (0,

p ; 2

c 2 , 抛物线 ? e ? 1 。 如设 a ? 0, a ? R , 则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________ a

1 ) ); 16 a
-3-

x2 y2 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ?
2 2 x0 y0 ? ? 1; a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ?

2 2 x0 y0 =1; ? a2 b2
2 2 x0 y0 ? ?1 a 2 b2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ?

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定 有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲 线相交的充分条件,但不是必要条件;? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 , 当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交 的充分条件,但不是必要条件。 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______(答: (-

15 ,-1)); 3
(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______(答:[1,5) 5 m

∪(5,+∞)); (3)过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有 1 2

_____条(答:3); (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双 曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相 交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: a2 b2

①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线 两支相切的两条切线,共四条; ②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一 支相切的两条切线,共四条; ③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; ④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的 直线。
-4-

如(1)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);

(2)过点(0,2)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答: 9 16

? ? 4 4 5? ? ?? , ? ? ); 3 ? ? 3 ? ?
(3)过双曲线 x 2 ? 线 l 有____条(答:3); ( 4 )对于抛物线 C : y 2 ? 4 x ,我们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,若点
2

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则满足条件的直 2

M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离);
(5)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、

q ,则

1 1 ? ? _______(答:1); p q

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右准线分 (6)设双曲线 16 9
别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);

(7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答:

8 13 ); 13

(8)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲 线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:① ? 3, 3 ;② a ? ?1 );

?

?

7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相 应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如(1)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为____(答: 25 16

35 ); 3
(2)已知抛物线方程为 y ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距
2

离等于____; (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____(答: 7, (2, ?4) );

(4)点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为 25 9
-5-

_______(答:

25 ); 12

(5) 抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是 5, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______ (答:2); (6)椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 之值 4 3
2 6 ,?1) ); 3

最小,则点 M 的坐标为_______(答: (

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、 余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分别为 r 1, r 2 ,焦点 ?F 1PF 2 的面 积为 S ,则在椭圆

x2 y2 ? ? 1 中, a2 b2
b2 ? c2 ; max = arccos a2

2b 2 ? ① = arccos( ? 1) ,且当 r1 ? r2 即 P 为短轴端点时, ? 最大为 ? r1r2
② S ? b tan
2

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;
<