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组合一学案



编号

04

高三(6、8)班数学导学案 学生姓名:

班级:

执笔人:廖德福

审核人:
王新敞
奎屯 新疆

审签领导:

印数:

学生自评:

教师评价:

课题:

组合 (一)
王新敞
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1 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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教学目标:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式; 能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点:组合的概念和组合数公式 教学难点:组合的概念和组合数公式
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2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元
m 素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ...

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第一课时 复习引入: 1 分类计数原理: 2.分步计数原理: 3.排列的概念:
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3.组合数公式的推导:
3 (1)从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢? 3 启发:由于排列是先组合再排列 ,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4 可以求得,故我们 .........

4.排列数的定义
m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n )

3 3 可以考察一下 C 4 和 A4 的关系,如下:

6 阶乘:
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m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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组 合 abc ? abd ? acd ? bcd ?

abc,

bac,

abd, bad, acd, cad, bcd, cbd,

排列 cab, acb, bca, cba dab, adb, bda, dba dac, adc, cda, dca dbc, bdc, cdb, dcb

由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排 列数 A4 ,可以分如下两步:① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有 C 4 个;② 对每一
3 3 个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有 A3 种方法.由分步计数原理得: A4 = C4 ? A3 ,所以,
3 3 3 3

8.提出问题: 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的活 动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?

3 A4 C ? 3. A3 3 4

(2)推广:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ,可以分如下两步:① 先求从 示例 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
m m n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据分步计 m 数原理得: An = C n ? Am . m m

m

(3)组合数的公式: 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而示例 2 只要求 选出 2 名同学,是与顺序无关的 引出课题:组合 . ..
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n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m 或 C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) C ? m? m!(n ? m)! Am m!
m n

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二、讲解新课:
1

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04

高三(6、8)班数学导学案 学生姓名:

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第二课时 三、讲解范例:
4 例 1.计算: (1) C 7 ; 7 (2) C10 ;

第三课时 四、课堂练习: 1.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题: (1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览,有多少种不同的方法? (2)从 4 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 2. 7 名同学进行乒乓球擂台赛,决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为( ) C .7 A . 42 B . 21 D .6 3.如果把两条异面直线看作“一对” ,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( )

(1)解: (2)解法 1: 解法 2: 例 2.求证: C n ?
m

m ? 1 m ?1 ?C n . n?m

证明:

A . 15 对

B . 25 对

C . 30 对

D . 20 对

4. 设全集 U ? ?a, b, c, d? , 集合 A 、B 是 U 的子集, 若 A 有 3 个元素,B 有 2 个元素, 且 A ? B ? ?a? , 求集合 A 、 B ,则本题的解的个数为 ( ) C .7 A . 42 B . 21 D .3 5.从 6 位候选人中选出 2 人分别担任班长和团支部书记,有 种不同的选法 6.从 6 位同学中选出 2 人去参加座谈会,有 种不同的选法 7.圆上有 10 个点: (1)过每 2 个点画一条弦,一共可画 条弦; (2)过每 3 个点画一个圆内接三角形,一共可画 个圆内接三角形 8. (1)凸五边形有 条对角线; (2)凸 n 五边形有 条对角线
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x?1 2 x?3 例 3.设 x ? N ? , 求 C2 x?3 ? C x ?1 的值

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3 3 9.计算: (1) C15 ; (2) C6 ? C84 .

例 4. (1)6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分法? 10. A, B, C , D, E 5 个足球队进行单循环比赛, (1)共需比赛多少场?(2)若各队的得分互不相同, 则冠、亚军的可能情况共有多少种?

2 1 1 错解: C5 C4C6 ? 240 种选法 引导学生用直接法检验,可知重复的很多
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11.空间有 10 个点,其中任何 4 点不共面, (1)过每 3 个点作一个平面,一共可作多少个平面?(2) 以每 4 个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体?

例 5.4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种? 解法一: (直接法)

12.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值? 解法二: (间接法) 13.写出从 a, b, c, d , e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合
2

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