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浙江省杭州二中2014届高三第五次(3月)月考数学(文)试题 Word版含答案



2013 学年杭州二中高三年级第五次月考数学试卷(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的

答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 球的表面积公式 柱体的体积公式

S=4π R

2

V=Sh
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S 2 3

球的体积公式

V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积

V= Sh
其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

1 3

h 表示台体的高
如果事件 A, B 互斥, 那么

P(A+B)=P(A)+P(B)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? R , A ? {x x( x ? 3) ? 0}, B ? {x x ? ?1} ,则图中阴影部分表示的集 合为( ) B. (?1, 0) C. [?1, 0) D. (??, ?1) )

A. (?3, ?1) 2.复数

m?i ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m 的值为( 2 ? 3i 1 1 3 3 A. B. C. D. 3 2 5 2

3. 已知 q 是等比数列 {an } 的公比,则“ q ? 1 ”是“数列 {an } 是递减数列”的( 件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4.若关于直线 m, n 与平面 ? , ? ,有下列四个命题:

)条

①若 m / /? , n / / ? ,且 ? / / ? ,则 m / / n ;②若 m ? ? , n ? ? ,且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n / / ? ,且 ? / / ? ,则 m ? n ;④若 m / /? , n ? ? ,且 ? ? ? ,则 m / / n ; 其中真命题的序号( )

A.①②

B.③④ C.②③ D.①④ 5.如图,定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如右图所示,则式 子 (2 tan

5? ?1? ) ? ln e ? 10lg 2 ? ? ? 的值为( 4 ? 3?
B.13 C.8

?1

) D.4

A.11

6.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为

1 ,它的长轴长等于圆 2

x2 ? y2 ? 2x ?15 ? 0 的半径,则椭圆的标准方程是(
x2 y 2 ? ?1 A . 16 12
D. B.



x2 ? y2 ? 1 4

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

x2 y 2 ? ?1 4 3

7.将函数错误!未找到引用源。的图像平移后所得的图像对应的函数为错误!未找到引用 源。,则进行的平移是( ) A.向右平移错误!未找到引用源。个单位 B. 向左平移错误!未找到引用源。个单位 C. 向右平移错误!未找到引用源。个单位 D. 向左平移错误!未找到引用源。个单位 8.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积是( )

A.8 C.

B.

20 3

17 3

D.

14 3
?2 ) 2 , 则 x? y? ?2 ) 6 ,

9 . 设 x , y?R , 且 满 足
3 ? i n ?( ?( x ? 2 ) ? x2 ? s x ? 3 i n ?( ? ?( y ? 2 ) ? y2 ? s y



) A.1 B.2 C.3 D.4

10.函数 y ? f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导函数, 且函数 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线 为 l : y ? g ( x) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ), F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,如果函数 y ? f ( x) 在区间

[a, b] 上的图象如图所示,且 a ? x0 ? b ,那么(
A.F '( x0 ) ? 0, x ? x0 是 F ( x) 的极大值点 点 C. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 不是 F ( x) 极值点

) B.F '( x0 ) = 0, x ? x0 是 F ( x) 的极小值

D. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 是 F ( x) 极值点

非选择题部分 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若一组样本数据 2 , 3 , 7 , 8 , a 的平均数为 5 ,则该组数据的方差 s 2 ? .

?x ? y ?1 ? 12 . 设 实 数 x , y 满 足 不 等 式 组 ? y ? x ? 2 , 则 目 标 函 数 z ? x ? 2 y 的 最 小 值 ? y?0 ?
为 . 13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, S m?1 ? ?2, S m ? 0, S m?1 ? 3 ,则正整数 m 的值为 _____________. 14.从集合 A ? ??2, ?1,1 ? 中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? ??1,1,3? 中随机选取一个 数记为 b ,则直线 y ? kx ? b 不 经过第四象限的概率为 . 15.已知正实数 x , y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 16. 过双曲线
x a
2 2

. .

?

y

2

b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P , 作与实轴平行的直线, 交两渐近线 M 、

N 两点,若 PM ? PN ? 2b 2 ,则该双曲线的离心率为

.

17.在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,若两定点 A, B 满足 OA ? OB ? OA ? OB ? 2 , 则点集 P | OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 2, ? , ? ? R 所表示的区域的面积是

?

?

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边为 a 、 b 、 c . (1)若 cos ?

?? ? ? A ? ? 2cos A ,求 A 的值; ?3 ?
1 2 ,且 ?ABC 的面积 S ? 2c ,求 sin C 的值. 3

(2)若 cos A ?

19. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

3 3an ? , an ?1 ? ,n? N . 5 2an ? 1

(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?

(2)是否存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t ,使 m 、 s 、 t 成等差数列,且 am ?1 、 as ? 1、

at ? 1 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 m 、 s 、t ;如果不存在,请说明理由.
20.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形,

且 PA ? AD ? 1 , AB ? 2 , ?PAB ? 120 , ?PBC ? 90 , (1)求证:平面 PAD 与平面 PAB 垂直; (2)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 21.定义函数 f k ? x ? ?

a ln x 为 f ? x ? 的 k 阶函数. xk

(1)当 a ? 1 时,求一阶函数 f1 ? x ? 的单调区间; (2)讨论方程 f2 ? x ? ? 1 的解的个数; (3)求证: 3e ln x ? x .
3

22.已知抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3.
2

(1)求 p 的值; (2)若 A , B 两点在抛物线上,满足 AM ? BM ? 0 ,其中 M ? 2, 2? .则抛物线上是否存 在异于 A , B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线在点 C 处有相同的切线? 若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,说明理由.

2013 学年高三年级第五次月考数学文科答案 ADDCB 11. DBCDB

26 5

12. ?

7 2
6 2

13. 5 17. 16 3

14.

2 9

15. 2 6 ? 3 18.(1)由 cos ? A ?

16.

? ?

??

? ? ? ? 2 cos A ,得 cos A cos 3 ? sin A sin 3 ? 2 cos A , 3?

1 3 ? cos A ? sin A ? 2cos A , 3 sin A ? 3cos A ,? tan A ? 3 , 2 2
0 ? A ? ? ,? A ?

?
3



(2)

cos A ?

1 ? 2 2 2 ,? 0 ? A ? ,? sin A ? 1 ? cos A ? , 3 2 3

由S ?

1 2 2c 2 ? bc sin A ? bc ,得 b ? 3c , 2 3
2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 9c ? c ? 2c ? 8c ,? a ? 2 2c , 由正弦定理得:

a c 2 2c c sin A 1 ? ? . ? ,即 ,? sin C ? sin A sin C sin A sin C 2 2 3

19.(1)因为 an ?1 ?

? 3an 1 1 2 1 1? 1 ? ? . 所以 ,所以 ? 1 ? ? ? 1? . 2an ? 1 an ?1 3an 3 an ?1 3 ? an ?

因为 a1 ?

?1 ? 3 2 1 1 2 ,则 ? 1 ? .所以数列 ? ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列; 5 3 3 a1 3 ? an ? 1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? an 3 ?3?
n ?1

(2)由(1)知,

?

3n 2 a ? ,所以 . n 3n ? 2 3n

假设存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t 满足条件, 则有 ?

? ?m ? t ? 2s , 2 ? ?? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1?

3n 2 由 an ? n 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , 3 ?2

? 3s ? ? 3m ?? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1?? t ? 1? . 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?

2

即3

m ?t

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32 s ? 4 ? 3s .

m t s 因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 .

因为 3m ? 3t ? 2 3m?t ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立, 这与 m 、 s 、 t 互不相等矛盾. 所以不存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t 满足条件. 20.(Ⅰ)平面 PAD ⊥平面 PAB ∵ ?PBC ? 90
0

∴ BC ? PB

∵四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形 ∴ BC ? AB ∵ PB ?平面 PAB , AB ?平面 PAB ,且 PB ∩ AB ? B ∴ BC ⊥平面 PAB ∵ AD ∥ BC ∴ AD ⊥平面 PAB ∵ AD ?平面 PAD 平面 PAD ⊥平面 PAB 分)

(4 分) (6

(Ⅱ)如图,过点 P 作 BA 延长线的垂线 PH ,垂足为 H ,连接 CH . 由(Ⅰ)可知 AD ⊥平面 PAB ∵ AD ?平面 ABCD ∴平面 PAB ⊥平面 ABCD ∵ PH ?平面 PAB ,平面 PAB ⊥平面 ABCD , 平面 PAB ∩平面 ABCD = AB ∴ PH ⊥平面 ABCD ∴ CH 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. ∴ ?PCH 为 PC 与底面 ABCD 所成的角. (9 分)

?PAB ? 1200 ,??PAH ? 600 ,
PA ? 1 ,? 在直角三角形 PAH 中,

PH ? PA ? sin 600 ?

3 1 , AH ? PA ? cos 600 ? 2 2
1 5 ? 2 ? , BC ? AD ? 1 2 2

在直角三角形 HBC 中, BH ? AH ? AB ?

故 CH ?

BH 2 ? BC 2 ?

29 2

在直角三角形 PHC 中, PC ?

PH 2 ? CH 2 ? 2 2 ,?sin ?PCH ?
6 . 8

PH 6 ? PC 8

故直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 21.(1) f1 ( x) ?

(12 分)

a ln x a ? a ln x a(1 ? ln x) ( x ? 0) , f1?( x) ? ? ( x ? 0) x x2 x2 令 f1?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? e. ?当 a ? 0 时, f1 ( x) 无单调区间; 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (0, e), 单减区间为 (e, ??) . 当 a ? 0 时, f1 ( x) 的单增区间为 (e, ??) ,单减区间为 (0, e) .
(2)由

4 分.

a ln x ln x 1 ? 1, 当 a ? 0 时,方程无解.当 a ? 0 时, 2 ? . 2 x x a ln x x ? 2x ln x 1 ? 2ln x 令 g ( x) ? 2 ( x ? 0). 则 g ?( x) ? ? . 由 g ?( x) ? 0 得 x ? e , x x4 x3 1 从而 g ( x) 在 (0, e ) 单调递增,在 ( e , ??) 单调递减. g ( x)max ? g ( e ) ? . 2e 当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,当 x ??? g ( x) ? 0. 1 1 ? ,即 a ? 2e 时,方程有两个不同解. a 2e 1 1 当 ? ,即 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解 a 2e 1 1 1 当 ? , ? 0 或即 a ? 2e 或 a ? 0 时,方程有唯一解. a 2e a 综上,当 a ? 2e 时,方程有两个不同解.当 0 ? a ? 2e 时,方程有 0 个解.当 a ? 2e 或 a ? 0 时,方 程有唯一解. 9 分. (3)特别地,当 a ? 1 时 x 2 ? 3x 2 ln x 1 ? 3ln x ln x ? 由 f3 ( x) ? 3 ( x ? 0) 得 f 3?( x) ? . x6 x4 x

?当 0 ?

由 f3?( x) ? 0 得 x ? e 3 , 则 f 3 ( x) 在 (0, e 3 ) 单调递增,在 (e 3 , ??) 单调递减. f 3 ( x) max ? f 3 (e 3 ) ?
1 1
1

1

1 . 3e

? f3 ( x) ?

x3 ln x 1 3ln x ? 即 . ? , e x3 3e
2

22. (1) x ? 2 py ; (2) (i)设 A , B 两点的坐标为 A( x1? y1 )? B( x2 ? y2 ) ,且 x1 ? x2 , ∵ AM ? BM ? 0 ,可得 M 为 AB 的中点,即 x1 ? x2 ? 4 . 显然直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2 ? 2k ,

将 y ? kx ? 2 ? 2k 代入 x ? 2 py 中,得 x ? 2 pkx ? 4(k ? 1) p ? 0 .
2

2

2分

∴?

?? ? 4 p2 k 2 ? 16(k ? 1) p ? 0, ? x1 ? x2 ? 2 pk ? 4.

∴ p ? 1 . 故 p 的取值范围为 (1? ? ? ) .

(ii)当 p ? 2 时,由(i)求得 A , B 的坐标分别为 A ? 0? 0? ? B ? 4? 4? 假设抛物线 L ? x ? 4 y 上存在点 C ? t ?
2

? t2 ? ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的 ?(t ? 0且t ? 4 ) 4 ? ?

圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.设圆的圆心坐标为 N (a , b) ,

? a 2 ? b2 ? (a ? 4)2 ? (b ? 4)2 , ? ? ? ? NA ? NB , 2 ∵? ∴? ? t2 ? 2 2 2 NA ? NC . ? ? a ? b ? ?a ? t ? ? ?b ? ? . ? 4? ? ? ?
?a ? b ? 4, ? 即? 1 4a ? tb ? 2t ? t 3 . ? 8 ?

? t 2 ? 4t a ? ? , ? ? 8 解得 ? 2 ?b ? t ? 4t ? 32 . ? 8 ?
t ,而 t ? 0 ,且该切线与 NC 垂直, 2

∵抛物线 L 在点 C 处切线的斜率为 k ? y? |x ?t ?

t2 4 ? t ? ?1 .即 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 . ∴ 4 a ?t 2 b?
将a ? ?

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 ,b ? 代入上式,得 t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 . 8 8

即 t (t ? 4)(t ? 2) ? 0 .∵ t ? 0 且 t ? 4 ,∴ t ? ?2 . 故满足题设的点 C 存在,其坐标为 ? ?2,1? .



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