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第二章基本初等函数、导数及其应用第11课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第11课时

变化率与导数、导数的计算

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.导数的概念 (1)函数 y= f(x)在 x= x0 处的导数 称函数 y= f(x)在 x= x0

处的瞬时变化率 Δy f( x0+ Δx)- f( x0) lim lim = _________ 为函数 y= f(x)在 x= Δx→ 0 Δ x Δx→ 0 Δx Δy x0 处的导数,记作 f′(x0 )或 y′|x=x0,即 f′(x0)= lim = Δx→ 0Δ x f( x0+ Δx)- f( x0) lim Δ x→ 0 Δx ___________________________ .
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基本初等函数、导数及其应用

(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点

P(x0,y0) 处的______________( 切线的斜率 ___________ 瞬时速度就是位移函数s(t)
y-y0=f′(x0)(x-x0) . 对时间t的导数).相应地,切线方程为____________________

(3)函数f(x)的导函数
f( x+ Δx)-f( x) lim Δ x→ 0 Δx 称函数f′(x)=______________________ 为f(x)的导函数.

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基本初等函数、导数及其应用

温馨提示:在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值, 不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是 一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.

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基本初等函数、导数及其应用

2.几种常见函数的导数 (1)说出xα、sin x、cos x的导数是什么? 提示:(xα)′=αxα-1(α∈Q); (sin x)′=cos x; (cos x)′=-sin x.

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基本初等函数、导数及其应用

(2) 原函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 f′(x)=0 axln a f′(x)=______

ex f′(x)=______
1 xln a f′(x)=_________ 1 f′(x)=_________ x
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基本初等函数、导数及其应用

3. 导数的运算法则

f′(x)±g′(x) (1)[f(x)± g(x)]′= _________________ ; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)· g(x)]′= __________________________ ;
f′( x) g( x)- f( x) g′( x) 2 ?f( x) ? [ g ( x ) ] (3) ?g( x) ?′= __________________________ (g(x)≠ 0).

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基本初等函数、导数及其应用

1 3 1. (教材改编题 )f′(x)是函数 f(x)= x + 2x+ 1 的导函数,则 3 f′(- 1)的值为 ( ) A. 0 B. 3 C. 4 7 D.- 3

1 3 解析:选 B.∵f(x)= x + 2x+ 1,∴f′ (x)= x2 + 2. 3 ∴ f′(- 1)= 3.

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基本初等函数、导数及其应用

3 2.有一机器人的运动方程为 s= t + (t 是时间, s 是位移 ), t
2

则该机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为 ( 19 A. 4 15 C. 4 17 B. 4 13 D. 4

)

答案:D

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基本初等函数、导数及其应用

3.函数y=xcos x-sin x的导数为(
A.xsin x C.xcos x B.-xsin x D.-xcos x

)

解析:选B.y′=x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x- cos x=-xsin x.

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基本初等函数、导数及其应用

x2 1 4.已知曲线 y= - 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的 4 2 3 横坐标为 ________ . 1 3 1 解析:令 y′= x- = ,解得 x=3 或- 2(舍去 ),故切点的 x 2 2 横坐标为 3.

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基本初等函数、导数及其应用

x- 1 1 5. (2014· 河南洛阳市统考 )曲线 y= 在点 (3, )处的切线 x+ 1 2 x-8y+1=0 . 方程为 ______________

( x+ 1)-( x- 1) 2 解析:依题意, y′= = 2 2 ,曲 ( x+ 1) ( x+ 1) x- 1 1 2 1 线 y= 在点 (3, )处的切线的斜率是 2= ,所求 x+ 1 2 ( 3+ 1) 8 1 1 的切线方程是 y- = (x- 3),即 x- 8y+ 1= 0. 2 8

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基本初等函数、导数及其应用

导数的运算
求下列函数的导数: (1)y=(3x - 4x)(2x+ 1); (2)y= x sin x; ln x (3)y= 3 e - 2 +e; (4)y= 2 ; x +1
x x x 2 2

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基本初等函数、导数及其应用

[解]

(1)∵ y= (3x - 4x)(2x+ 1)

2

= 6x3+ 3x2 - 8x2- 4x= 6x3- 5x2- 4x, ∴ y′= 18x - 10x- 4. (2)y′=(x2 )′sin x+ x2 (sin x)′ = 2xsin x+ x cos x. (3)y′=(3xe x)′- (2x)′+ e′ = (3x )′e x+ 3x(ex )′- (2x )′ = 3xe x ln 3+ 3xex- 2x ln 2 = (ln 3+ 1)· (3e)x- 2x ln 2.
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2

2

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基本初等函数、导数及其应用

( ln x) ′( x + 1)- ln x( x + 1) ′ (4)y′= ( x2+ 1) 2 1 2 ( x + 1)- 2xln x x = ( x2+ 1) 2 x + 1- 2x ln x = 2 2 . x( x + 1)
2 2

2

2

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基本初等函数、导数及其应用

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少

差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利 用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时

可以避免使用商的求导法则,减少运算量;

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基本初等函数、导数及其应用

1.求下列函数的导数: cos x n x (1)y= x e .(2)y= ; (3)y= exln x; sin x
解: (1)y′=nx
2 n- 1 x

e +x e =x
2

n x

n- 1 x

e (n+ x).

- sin x- cos x 1 (2)y′= =- 2 . 2 sin x sin x 1 x?1 (3)y′=e ln x+e · =e ? + ln x? . ? x x
x x

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基本初等函数、导数及其应用

导数的几何意义
(1)(2014· 云南昆明市调研)若曲线f(x)=acos x与曲线 g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a-b=( A.-1 B.0 )

C.1

D.2

(2)(2014· 湖北荆州市质量检测)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2 +(a-2)x的导数是f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在

原点处的切线方程为(
A.y=-2x B.y=3x C.y=-3x D.y=4x

)

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基本初等函数、导数及其应用

[解析] (1)依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,于是有
f′(0)=g′(0),即-asin 0=2×0+b,b=0,m=f(0)=g(0),即 m=a=1,因此a-b=1. (2)由已知得f′(x)=3x2+2ax+a-2为偶函数, ∴a=0,∴f(x)=x3-2x,f′(x)=3x2-2.又f′(0)=-2,f(0)=0,

∴y=f(x)在原点处的切线方程为y=-2x.
[答案] (1)C (2)A

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基本初等函数、导数及其应用

(1)求曲线切线方程的步骤: ①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率;

②由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f′(x0)· (x-x0).
(2)求曲线的切线方程需注意两点: ①当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导

数不存在)时,切线方程为x=x0;
②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.
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基本初等函数、导数及其应用

2.(2012· 高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点 P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,

-4 . 两切线交于点A,则点A的纵坐标为________
1 2 解析:因为 y= x ,所以 y′= x,易知 P(4, 8), Q(- 2, 2), 2 所以在 P、 Q 两点处切线的斜率的值为 4 或- 2. 所以这两条切线的方程为 l1: 4x- y- 8= 0, l2: 2x+ y+ 2= 0, 将这两个方程联立方程组求得 y=- 4.
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基本初等函数、导数及其应用

导数与线性规划的交汇

(2013· 高考江苏卷)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标 轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x, 1 [- 2, ]. y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是________ 2

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基本初等函数、导数及其应用

[解析] 由于 y′= 2x,所以抛物线在 x= 1 处的切线方程为 y - 1= 2(x- 1),即 y= 2x- 1. 1 1 画出可行域 (如图 ).设 x+ 2y= z,则 y=- x+ z,可知当直 2 2 1 1 1 线 y=- x+ z 经过点 A( ,0),B(0,- 1)时,z 分别取到最 2 2 2 1 大值和最小值,此时最大值 zmax= ,最小值 zmin=- 2,故 2 1 取值范围是 [- 2, ]. 2

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基本初等函数、导数及其应用

(1)本题以y=x2在x=1处的切线问题为条件,利用导数的几何 意义求得切线方程,构造出求x+2y的取值范围的可行域,充 分体现了导数与线性规划的交汇. (2)利用导函数的特性,在求解有关奇(偶)函数问题中,发挥

出奇妙的作用.

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基本初等函数、导数及其应用

π π 3.若 f(x)= asin(x+ )+ bsin(x- )(ab≠ 0)是偶函数,则实 4 4 a+b=0 . 数 a,b 应满足 ________

π π 解析:f′(x)= acos(x+ )+ bcos(x- ), 因为函数 f(x)是偶函 4 4 π 数, 所以导数 f′(x)是奇函数, 所以 f′(0)= 0, 即 acos + bcos 4 π = 0,从而得 a+ b= 0. 4
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基本初等函数、导数及其应用

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