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2016长白山职业技术学院单招数学模拟试题及答案



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2016 长白山职业技术学院单招数学模拟试题及答案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,) 1.已知全集 U= ?a, b, c, d A. ?a

?;集合 M= ?a, b, ?;N= ?b, c ?,则 M ? (CU N ) =
C. ?a, b,

>
?

B. ?a, d

?

?

D. ?c, d

?
2 ? 0 ,则 a 的范围是

2. 在求简单对数不等式中,形成下列变式题:①对于 loga

0 ? a ? 1;
②对于 loga

2 ? 1,则 a 的范围是 a ? 2 ;③对于 loga 2 ? 0 ,则 a 的范围是

a ? 1;
则上述求解正确的是 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

3.已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 s 2 ? 4 ,则数据

3x1 ? 7,3x2 ? 7,?3xn ? 7 的平均数和标准差分别是
A. 22,36 B.22,6 C.20,6 D.15,36

4.设函数 f ( x) ?| x |2 ,则 f ! ( x) ? A. ? 2 | x | B. 2 | x | C. ? 2 x D. 2 x

5.向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,1) ,则 | 2a ? b | 最大值为 A. 3 B. 4 C. 5 D.6

6.若直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 M : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 1 相交于 A、B 两点且|AB|= 3 , 则 MA ? MB ? A. ? 1 B.1 C. ? 0.5 D.不能确定

7. 某卫星发射场实验区用四根垂直于水平地面的立柱支撑一个平行四边形的太阳能电 池板,现在测得其中的三根立柱 AA1 ,BB1,CC1,的长度分别为 10m,15m,30m.则柱 DD1= A. 20m B. 25m C.30m D.35m

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8. 在 (1 ? x) 5 ? (1 ? x ? x 2 ) 4 的展开式中, x 7 的系数是 A. 6 B. ? 6 C. 5 D. ? 5

9. 已 知 函 数 f1 ( x) ? sin x ? cos x, f 2 ( x) ? sin x ? 1, f 3 ( x) ? cos x ? 1, f 4 ( x) ? 2cox | x | , 则它们的图象经过平移后能够重合的是 A. f 1 ( x) , f 2 ( x) , f 3 ( x) 重合但不能与 f 4 ( x) 重合 B. f 2 ( x) , f 3 ( x) , f 4 ( x) 重合但不能 与 f 1 ( x ) 重合 C. f 1 ( x ) , f 2 ( x) 重合; f 3 ( x) , f 4 ( x) 重合 重合 10. 已知集合 M= {( x, y) | y ? x} ,P= {( x, y) | x ? y ? 2} ,S= {( x, y ) | y ? 0} ,若 D. f 1 ( x ) , f 4 ( x) 重合; f 2 ( x) f 3 ( x)

T ? M ?P?S,
点 E ( x, y) ? T , 则x ? 3 y 的最大值是 A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

11. 设 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,且 A ? B ? C , cos 20 A ? cos 20 B ? cos 20C ? 1 , 则这样的数组 ( A, B, C ) 的个数为 A. 8 B. 36 C. 3 D.10

12. 设 an (n ? 2) 是 ( x ? 3) n 的展开式中含 x 2 项的系数,则 A. 16 B. 17 C.18 D.19

3 2 33 3n ? ? ? 的值为 a 2 a3 an

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.) 13.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线是圆 x 2 ? y 2 ? 2 px ? 16 ? p 2 ? 0 的一条切线,则圆的另 一条垂直于 x 轴的切线方程是。 14. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? 3} , 则不等式 f (| 2 x ? 1 |) ? 0 的解集是。 15.平面向量也称二维向量,其坐标表示及其运算可以推广到 n(n>2)维向量,n 维 向量的坐标为 ( x1 , x2 ?, xn ) ;设 a ? ( a1 , a 2 ? , a n ) , b ? (b1 , b2 ? , bn ) ,规定 a, b 的夹角 ? 的余弦

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cos? ?

?a b
i ?1 2 i i n i ?1

n

i n

?
2 i

a1 ? b1 ? a 2 ? b2 ? ? ? a n ? bn
2 2) 2 2 (a12 ? a 2 ? ?an ) ? (b12 ? b2 ? ? ? bn )

,若

(? a ) ? (? b )
i ?1

a ? (1,1,?,1) , b ? (?1,?1,1,1,?,1) (前两个是 ? 1 ,其余都是 1),则 cos ? =。
16.数轴 Ox,Oy 的夹角为 ?xoy ? 45? ,设 P 为斜坐标系 xOy 平面上的任意一点,

e1, , e2 是 Ox,Oy 轴正方向上的单位向量,若 OP ? xe1 ? ye2 ,则称 P 的斜坐标是

( x, y ) ,已知斜坐标 F1 (?1,0), F2 (1,0), M ( x, y) 的点,满足 | MF1 |?| MF2 | ,则动点
M 的轨迹方程是。
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.) 17. 已知锐角 ?ABC中,a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab, 且 tan A ? csc 2 A ? tan B 。 (1)求证 2 A ? B ?

?
2

;(2)求角 A, B, C 的大小。

18. 已知数列{ an }满足 a1 ? p,a 2 ? p ? 41 , 且an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20. (其中 p 是给 定的实常数)。又 bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) 。 (1)求数列{ bn }的通项公式; (2)求 n 的值,使得{ an }的最小。

19.一个口袋内有 2 个不同的红球和 4 个不同的白球。 (1)从中任取 3 个球,求白球的个数不少于红球的概率; (2)若取一个红球得 2 分,取一个白球得 1 分,从中任取 4 个球,求总分不少于 5 分的概率。

20.如图,已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长为 2, ?ABC 是 等腰三角形,且 ?ACB ? 90? , AC ? 2 , D 是 AA 1 的中点。 (1)求异面直线 AB与C1 D 所成的角; (2)若 E 为 AB 上一点,试确定 E 的位置,使得 A1 E ? C1 D ;

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(3)在(2)的条件下,求点 D 到平面 B1C1 E 的距离

21. .如图,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 于 A,B 两点,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4。 (1)求直线 l 的方程和抛物线的方程; (2)过焦点F任作直线 MN 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 M,

N 两点,E 是其准线上的任意一点,求证:直线 EM,EF,EN 的斜
率 k EM , k EF , k EN 成等差数列。

22.设函数 f ( x) ? 单调函数。

a 3 b 2 x ? x ? x(a ? 0) ,在点 x ? ?1 处取极值,且在 (? 1,1)内是 3 2

(1)求证:| a |≤1; (2)若 a >0, 且在 (? 1,1)内有 f ?( x) ? 0 ,试求 f ( x) 的极大值的取值范围.

参考答案
1.答案 A, CU N ? {a, d} ,∴ M ? (CU N ) ? {a} 2.答案 C,画出函数图象比较即可得结论①③ 正确, ②错误. 3.答案 B,由 x? ? 3x ? 7 ? 3 ? 5 ? 7 ? 22, S ? ? 3S ? 3 ? 2 ? 6, 4.答案 D,

f ?( x) ? (| x |2 )? ? ( x 2 )? ? 2x

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5.答案 B,设 OA ? 2a ? (2 cos? ,2 sin ? ),OB ? b ? ( 3,1) ,则 | 2a ? b | 的几何意义是 点 A(2 cos? ,2 sin ? ), B( 3,1) 两点之间的距离|AB|,且点 A,B 同在以 O 点为圆心,以 2 为 半径的圆上, ∴ | 2a ? b | 的最大值是 4. 6. 答案 C,过圆心 M 作 MN ? AB 于 N,,则

1 3 ,∴ AB ? 2 2 3 1 sin ?AMN ? ,? ?AMN ? 60? ,? ?AMB ? 120? ,? MA ? MB ?| MA | ?MB ? cos120? ? ? 2 2 AN ?
7.答案 B,设 AC,BD 相交于点 O,则 O 为平行四边形 ABCD 的中心,∴

A1 A ? C1C ? B1 B ? D1 D,? D1 D ? 10+30-15=25.
5 2 3 4
7

8.答案 B,

(1 ? x) ? (1 ? x ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x) , ∴ x 的系数是 ? 6 . 9.答案 D, ? 3? f1 ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 2 cos( ? x) , f 4 ( x) ? 2 cos x , 4 4 ? f 2 ( x) ? sin x ? 1. f 3 ( x) ? sin( x ? ) ? 1 , 10.答案 D,设 x ? 3 y ? b ,则当 2 1 b y ? ? x ? 过(1,1)时 b 取最大值是 4。11.答案 A, 3 3 ? cos20A ? cos20B ? cos20C ? 1,? 20A ? 2k? ,20B ? 2m? ,20C ? 2n? , k , m, n ? N , k? m? n? A? ,B ? ,C ? ,? k ? m ? n ? ? , 且k ? m ? n,? ( A, B, C ) 共有 8 组解。 10 10 10
2 12.答案 B, an ? Cn ? 3n?2 ,?

3n 3n 1 1 ? n?2 2 ? 32 ? 2( ? ) ? 17 。 an 3 ? Cn n ?1 n

13.答案: x ? ?9或x ? 7, 抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程是 x ? ?1 ,而圆方程是

x 2 ? y 2 ? 2 px ? 16 ? p 2 ? 0 ,又 (?1,0) 在圆上,? ( p ? 1) 2 ? 16, 即 p ? ?5或p ? 3 。
14.答案: (?1,0) ? (1,2) ,提示由已知得 a ? 0 ,所以不等式

f (| 2 x ? 1 |) ? 0 ? 1 ?| 2 x ? 1 |? 3 ? ?1 ? x ? 0或1 ? x ? 2 。
15.答案:
n n n n?4 ,提示: ? a i bi 中正负抵消 4 项,而 ? ai2 ? ? bi2 ? n 。 n i ?1 i ?1 i ?1

16.答案: y ? ? 2 x ,提示: ? e1 , e2 ?? 45? , e1 ? e1 ? 1, e1 ? e1 ? 1, e1 ? e2 ? 而 | MF1 |2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? 2 (1 ? x) y , | MF2 | 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2

2 , 2

?

2 (1 ? x) y 。

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17.解:(1) tan A ? csc 2 A ? tan B, ?

2 sin 2 A ? 1 sin B sin A 1 sibB ? ? ? , cos A 2 sin A cos a cos B 2 sin A cos A cos B ? cos2 A ? cosB ? sin B ? sin 2 A ? 0,

? cos(2 A ? B) ? 0 ? 0 ? A, B ?

? ? ? ? , ? ? ? 2 A ? B ? ? ,即 2 A ? B ? ,所以有 2 A ? B ? 。 2 2 2 2

( 2 )由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab, 得 cosC ?

a2 ? b2 ? C 2 2 ? 3? , ? , ? C ? ,? A ? B ? 2ab 2 4 4 5? ? 5? ? ? ? A? , B ? ; 所以 ? A ? , B ? ,C ? 。 12 3 12 3 4

18.解:(1)由已知 an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20. 及 bn?1 ? bn ? n ? 20,

b1 ? a2 ? a1 ? ?41,
n 2 ? 41n ? 21。 由累加法可得: bn ? 2
(2)由 an?1 ? an ? 0,?bn ? 0 ? n 2 ? 41n ? 42 ? 0 ? n ? 42或n ? ?1(舍) ,故

n ? 42 ,有 an?1 ? an , n ? 42 ,有 an?1 ? an , n ? 42 ,有 an?1 ? an ,则

n ? 42或43 时, an 最小。
19.解:从袋中取 3 个球的事件总数为 C63 ? 20 种,设“取 3 个球中,白球的个数不少于 红球的事件”为 A,从事件 A 取出 3 个球中:2 个白球,1 个红球或 3 个白球,
1 2 3 则事件 A 的基本事件数为 C2 ? C4 ? C4 ? 16种,所以 P( A) ?

4 ,即所求概率为 5

4 。 5
4 (2)从袋中取 4 个球的事件总数为 C6 ? 15种,设“取一个红球得 2 分,取一个白球

得 1 分,从中任取 4 个球,求总分不少于 5 分”的事件为 B,5 分情况有:① 2, 2,1,1;②2,1,1,1.即4个球中至少有一个红球,故事件 B 的对立事件 B
4 为“取出个球中全是白球”,则事件 B 的基本事件数为 C4 ? 1 ,故

P( B) ? 1 ? p( B) ?

14 14 ,即所求概率为 . 15 15

20.解:(1)取 CC1 的中点 F,连结 AF,BF,则 AF ∥ C1 D , 所以 ? BAF 是异面直线 AB 与

C1 D 所成的角或

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补角,因为 ?ABC 是等腰直角三角形,AC=2,所以 AB= 2 2 .又因为 CC1 =2,所以 AF=BF= 5 , 所以 cos ?BAF ?

10 10 ,故异面直线 AB 与 C1 D 所成的角是 arccos . 5 5

(2)过 C1 作 C1 M ? A1 B1 于 M ,则 M 为 A1 B1 的中点, C1 M ? 平面 AA1C1C 。连结

DM ,则 DM 为 C1 D 在平面 AA1 B1 B 的射影。要使得 A1 E ? C1 D ,因为

AA1 ? 2, AB ? 2 2 ,可得 E 为 AB 的中点。
(3)取 AC 的中点 N,连结 EN , C1 N ,则 EN ∥ B1C1 ,因为 B1C1 ? 平面 AA1C1C , 所以平面 B1C1 NE ? 平面 AA1C1C 。过点 D 作 DH ? C1 N 于 H,则 DH ? 平面

B1C1 NE ,所以 DH 的长度为点 D 到平面 B1C1 NE 的距离。在正方形 AA1C1C ,
得 DH ?

3 5 3 5 。即点 D 到平面 B1C1 E 的距离为 。 5 5

21.解:(1)分别过点 A, B 作准线的垂线 AA 1 , BB 1 ,垂足分别为 A 1 , B1 ,由抛物线的 定义知 | AF | = | AA 1 | ,在 Rt ?ABC 中, 1 | , | BB 1 | = | BA 1 | , | BC |? 2 | BB

1 1 | AC |? | AF | ? | AC | ,即 F 为线段 AC 的中点,? 2 p ? 2 | FK |? 4 。 2 2 2 所以抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线方程为 3x ? y ? 3 ? 0 。 | AA1 |?
(2)因为直线 EM,EF,EN 的斜率分别为 k EM , k EF , k EN ,

n M ( x1 , y1 ), N ( x2 y2 ), E(?1, n), 则 k EF ? ? ,直线 MN 的方程设为 x ? m y ? 1, 2 ? y1 ? y 2 ? 4m 代人 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? , k EM + k EN ? y1 ? y 2 ? ?4

?

4( y1 ? n) 4( y ? n) 4 y ( y ? n) ? 4 y1 ( y 2 ? n) 4n ? 2 2 ? 2 1 ? ? ?n ? 2 k EF , 2 y1 y 2 ( y1 ? y 2 ) y1 y 2 y1 ? y1 ? y 2 y 2 ? y1 ? y 2

即直线 EM,EF,EN 的斜率成等差数列。 22.(1)证明: f ?( x) ? ax2 ? bx ? 1 ,因为 f ( x) 在 x ? ?1 处取极值,所以 ? 1 是方程

1 f ?( x) ? 0,即ax2 ? bx ? 1 ? 0 的根,所以 f ?( x) ? 0 的解集为{ ? 1, },且 b ? a ? 1 。 a 1 1 所以 f ( x) 在点 x ? 处取极值,所以 ? ( ?1,1) ,故 | a |? 1 。 a a

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( 2 )由 a >0 , | a |? 1 ? 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x) 在 (??,?1] , [ ,?? ) 上是单调增函数。 所以 f ( x) 的极大值为 f (?1) ? ? a ?

1 3

1 1 a ?1 1 1 b ?1 ? ? a ? ? 1 ? a ? ,又因为 2 3 2 6 2

1 a

1 2 0 ? a ? 1 ,所以 f (?1) ? ( , ] 。 2 3



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