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2.2.1 平面向量基本定理



2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理

1.知识目标:
⑴了解平面向量基本定理及其意义,并利用其进行正交 分解;

⑵理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表
达式.

2.能力目标: 通过平面向量基本定理得出的过程,体会由特殊到一 般的方法,培养学生“

数”与“形”相互转化的思想 方法.

3.情感目标:
通过本节课的教学,培养学生严肃认真的科学态度与 积极探索的良好学习品质.

1.向量共线充要条件

? ? 向量b与非零向量a共线 ,

?
? | a |的 ? 倍; ? | a |的 | ? |倍;

? ? 有且只有一个实数λ ,使得b =λ a .

? ? ? 当 ? ? 0时, b 与 a同向, 且| b | 是 ? ? ? 当 ? ? 0 时, b 与 a反向, 且| b | 是 ? ? ? 当 ? ? 0 时, b ? 0 ,且 | b |? 0 .

2.向量的加法

? b ? a

? b

B

? ? a?b

C

? A O a 平行四边形法则

? ? a?b
O

B

? A a 三角形法则

? b

导入1 一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住 在北偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,它 们分别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉 力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐 桃子往哪边运动? 如果是1只大猴子和4只小猴子呢?

导入2
(1)如何求此时竖直和水平 方向速度? (2)利用什么法则?

v

v sin ?

?
v cos ?

?? ? ?? ? 探究:给定平面内两个向量 e1、 e 2 ,平面内任一向量 是否都可以在这两向量方向上分解呢?

N

B

?? ? e2
A

? ? e1

M

M

? ? e1

? a

C

A

?? ? e2

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ? OM ? ?1 OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

O

N

B

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

N A B C

? ? e1

?? ? e2

? a

O

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON M ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ? OM ? ?1 OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

平面向量基本定理
?? ?? ? 如果e1 , e2是同一平面内的两个不平行的向 ? 量,那么该平面内的任一向量a, 存在唯一 的一对实数a1,a2 , 使

? ?? ?? ? a ? a1 e1 ? a 2 e 2

? ? ? ?? ? 我们把不共线的向量 e1 ,e2叫做
表示这一平面内所有向量的一组基底, 记为:

?

? ? e1, e2

?

说明:① e1、e2是两个不共线的向量;

② a是平面内的任一向量;
③ a1,a2实数,唯一确定.
??? ? ???? ? ???? 证明:∵ OA ? OM ? ON

N

A

∴ 存 在 实 数 a1 , a2 使
a ? a1e1 ? a2 e2 .

???? ? OM ? a1e1

,

e2 O e1 ???? ON ? a2 e2

M

. 于是

(存在性)

设存在实数 x,y 使 a ? xe1 ? ye2 ,只要证 a1 ? x 且 a2 ? y . (唯一性)

则,a1 e1 ? a2 e2 ? x e1 ? y e2 , 即
(x - a1 )e1 ? ( y - a2 )e2 ? o. 由于e1 与e2 不平行,如果x - a1 , y - a2 中有一个不为0, x - a1 e1 ,由平行向量基本定理, 不妨设y - a2 ? 0, 则e2 ? y - a2 得e1 与e2 平行,这与假设矛盾, 因此 x - a1 ? 0, y - a2 ? 0, 即x ? a1 , y ? a2 .

例1. 如图 ,

ABCD的对角线AC和BD交于点M , ??? ? ? ???? ? ?? ???? ???? ???? ? AB ? a, AD ? b, 试用基底a、 b表示 MA, MB, MC ???? ? 和 MD.

? b

? a

???? ??? ? ???? ? ? AC ? AB ? AD ? a ? b , 解: ? ??? ? ??? ? ???? ? ?? DB ? AB - AD ? a - b,

???? 1 ???? 1 ? ? 1? 1? ? MA ? - AC ? - a ? b ? - a - b, 2 2 2 2

?

?

???? 1 ??? ? 1 ? ? 1? 1? MB ? DB ? a - b ? a - b, 2 2 2 2 ???? ? 1 ??? ? 1? 1? MC ? AC ? a ? b, 2 2 2

?

?

???? ? ? 1 ??? 1? 1? MD ? - DB ? - a ? b. 2 2 2

例2.已知A、B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证:对直线l上 ??? ? ??? ? ??? ? 任一点P,存在实数t,使OP关于基底 OA, OB 的分解式为

??? ? ??? ? ??? ? OP ? ?1 - t ? OA ? tOB

?

? ??

?

并且,满足 ??? 式的点P一定在l上.

设点P在直线l上,则由平行向量基本定理知, 证明: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 存在实数t,使 AP ? t AB ?( t OB - OA ) . ??? ? ??? ? ??? ? 所以OP ? OA ? AP

??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? tOB - tOA ??? ? ??? ? ? ?1 - t ? OA ? tOB.
O

l

P B A

??? ? ??? ? ??? ? 设点P满足等式OP ? ?1 - t ? OA ? tOB, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则OP ? OA - tOA ? tOB, 即OP - OA ? t OB - OA

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 亦即AP ? t AB, 故 AP / / AB. 又因为有公共点A,

?

?

所以A、B、P共线, 所以P在直线l上.

由例2所证可知,对直线l上任意一点p,一定存在唯一的实数t,

满足向量等式???,反之对每一个数值t , 在直线l上都有惟一的一个点P

与之对应;向量等式???叫做 直线l的向量参数方程

???? ? 1 ??? ? ??? ? OA ? OB 点M 是AB的中点,则 OM ? 2

其中实数t叫做参变数 ,简称 参数 1 在 ? ?? 式中,令t ? , 2

?

?

这是线段AB的中点的向量表达式.

例3. 如图,已知梯形ABCD,AB//CD,且AB= 2DC,M,N分别 是DC,AB的中点.请大家动手,在图中确定一组基底,将其他 向量用这组基底表示出来.

D

M

C

A
解析: 设AB = e1 ,AD =

N

B

DC =

1 2

AB =

1 2

e2,则有:
e1

BC = BD + DC = (AD–AB)+DC 1 1 e = e2 - e1 + 2 1 = - e1 + e2
2

MN = DN-DM

1 D =(AN-AD)- 2 DC 1 1 = 2 e1 - e2 - 4 e1 1 = 4 e1 - e2 . A

M

C

N

B

1.在 ???? AD ?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ABCD中,设 AC ? a, BD ? b,则 AB ?
? ? a ?b ?? .(用a、 b来表示) 2

D

? ? a -b , 2 C

? ? ?? ? 2.如图,已知向量e1、,求作下列向量 e2 : ? ? ? ? ?? ? e1 (1). 3e1 ? 2e2 ; ? ? ?? ? (2). 4e1 - e2 .

A

B

?? ? e2

3.如果e1、 e2是平面内所有向量的一组基底,

? ?

D ) 那么(   
的实数?1、?2 有无数对

A.对平面?中的任一向量 a,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 B.对实数?1、?2,?1 e1 ? ?2 e2 不一定在平面?内 C .空间任一向量 a可以表示为a ? ?1 e1 ? ?2 e2, 这里?1、?2是实数 D.若实数?1、?2 使?1 e1 ? ?2 e2 ? 0, 则?1 ? ?2 ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4.如图,在Δ ABC中, 点O是BC的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N, ?? ? ??? ?? ? ?? ? 若AB = mAM,AC = nAN,则m + n的值为________.
A

2

N B O C

M

1. 在这节课中,你有什么收获? 2.你最感兴趣的是什么? 3.你想继续探究些什么?

获得幸福的秘诀,并不在为了追求快乐 而全力以赴,而是在全力以赴之中寻出 快乐。 ——纪德



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