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排列数、组合数和式的计算方法



排列数、组合数和式的计算方法
江苏 蔡道平 排列数、组合数和式的计算是本章的难点之一,在解题时,要根据和式的结构灵活运用 各种方法才能解决问题,下面举例说明常用的求和方法。 1. 拆项法 例 1 计算:

1 2 3 n ?1 n + 3 + 4 + ? + n + n +1 2 A2 A3 A4 An An +1


>
因为

k k (k + 1) ? 1 = k + 1 ? 1 = 1 ? 1 = = k +1 (k + 1)! (k + 1)! (k + 1)! k! (k + 1)! Ak +1 (k + 1)!

所以 , 在上式中将 k 用 1,2,3,…, n 依次代入,再将各式相加,得

1 2 3 n ?1 n + 3 + 4 + ? + n + n +1 2 A2 A3 A4 An An +1

?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ? = ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? + ? ? ? ? 2! ? ? 2! 3! ? ? 3! 4! ? ? n! (n + 1)!? =1 ? 1 (n + 1)!
0 1 2 m m

例 2 计算: C n - C n + C n -…+ (?1) C n . 解 ∵ C n = C n ?1 + C n ?1 ( k = 1,2, …m),
k k k ?1

∴ C n = C n ?1 ,
0 0 1 0 1 ? C n = ?C n ?1 ? C n ?1 , 2 1 2 C n = C n?1 + C n ?1 ,

……
m m m (?1) m ?1 C n ?1 = (?1) m ?1 C n ?? 2 + (?1) m ?1 C n ??1 1 1 m m m (?1) m C n = (?1) m C n ??1 + (?1) m C n ?1 . 1

将上述 m+1 个等式相加得
0 1 2 m m C n ? C n + C n ? … + (?1) m C n = (?1) m C n ?1 .

说明 例 1 是分式的和,故运用了数列中求分式的和的方法:拆项法;例 2 中各项符号 正、负相间,故利用了组合数的性质: C n = C n ?1 + C n ?1 ,使其前后相消求得和.
k k k ?1

2. 并项法

例 3 计算: 解

m m m m m C m + C m +1 + C m + 2 + ? C n ? 2 + C n ?1

m m m m m C m + C m +1 + C m + 2 + ? C n ? 2 + C n ?1

= C m +1 + C m +1 + C m + 2 + ? C n ? 2 + C n ?1
m m m m

(

m +1

)

= C m + 2 + C m + 2 + ? + C n ? 2 + C n ?1
m m m