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河北衡水中学2017届高三摸底联考数学(文)试卷(含答案)


河北衡水中学 2017 届高三摸底联考(全国卷)
文数试题
注意事项:
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。每小题选出 答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他 答案标号。所有试题都要答在答题卡上。

第 l 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 A ? x x 2 ? 3 x ? 0 , B ? x 1<x ? 3 ,则如图所示表示阴影部分表示的集合为 A. ?0,1? C. (1,3) B. ?0,3? D. ?1,3?

?

?

?

?

2.已知向量 m ? (a,2) , n ? (1,1 ? a ) ,且 m ? n ,则实数 a 的值为 A.0 B.2
3

C.-2 或 1

D.-2

3.设复数 z 满足 (1 ? i ) ? z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 对应的点位于复平面内 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知 4 张卡片上分别写着数字 1,2,3,4,甲、乙两人等可能地从这四张卡片中选择 1 张,则他 们选择同一卡片的概率为 A.1 B.

1 16
2 2

C.

1 4

D.

1 2

5.若直线 l : mx ? ny ? 4 和圆 O : x ? y ? 4 没有交点,则过点 (m, n) 的直线与椭圆 点个数为 A.0 个

x2 y2 ? ? 1 的交 9 4

B.至多一个

C.1 个

D.2 个

6.在四面体 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 球的表面积是 A. 8 6? B. 6? C. 24?
·1·

2 , SA ? AC ? 2 , SB ? 6 ,则该四面体外接

D. 6?

7.已知数列 ?an ?为等差数列, S n 为前 n 项和,公差为 d ,若 A.

S 2017 S17 ? ? 100 ,则 d 的值为 2017 17
D.20

1 20

B.

1 10

C.10

8.若函数 f ( x) ? A sin( wx ? ? )( A>0) 的部分图像如图所示,则关于 f ( x) 描述中正确的是

5? ? , ) 上是减函数 12 12 ? 5? B. f ( x) 在 ( , ) 上是减函数 3 6 5? ? C. f ( x) 在 ( ? , ) 上是增函数 12 12 ? 5? D. f ( x) 在 ( , ) 上是增函数 3 6
A. f ( x) 在 ( ? 9.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A.a=13 C.a=11 10.函数 f ( x) ? B.a=12 D.a=10

23 ,则 12

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图像经过四个象限的一个充分必要条件是 3 2 4 1 1 A. ? <a< B. ? 1<a< 3 3 2 6 3 C. ? 2<a<0 D. ? <a< 5 16

11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

113 3 104 C. 3
A.

B.35 D.

107 3

?log 5 ?1 ? x ?, ( x<1) 1 f ( x) ? ? 1<a<2 f ( x ? ? 2) ? a 2 x 12.已知函数 ,当 的实根个 ?? ( x ? 2) ? 2, ( x ? 1) ,则关于 x 的方程
数为 A.5 B.6 C.7 D.8

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线进过点 (2,?1) ,则它的离心率为_______.
·2·

14.曲线 f ( x) ? x ? 3 x ? 2 ln x 在 x ? 1 处的切线方程为_________.
2

15.某大型家电商场为了使每月销售 A 和 B 两种产品获得的总利润达到最大,对于某月即将出售的 A 和 B 进行了相关调查,得出下表:

如果该商场根据调查得来的数据,月总利润的最大值为______元. 16.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行; 数字 2,3 出现在第 2 行,数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8, 9,10 出现在第 4 行;依此类推,则第 20 行从左至右算第 4 个数字为_______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 12 分) 已知顶点在单位圆上的△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 b 2 ? c 2 ? 4 ,求△ ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2, A1C ?

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图, 如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x(单位:盒,100≤x≤200)表示这个开学 季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润. (Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 和中位数;
·3·

(Ⅱ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅲ)根据直方图估计利润 y 不少于 4800 元的概率

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 C(2,0)的直线与抛物线 y2=4x 相交于点 A、B 两点,设 A(x1,y1), B(x2,y2). (1)求证:y1y2 为定值 (2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线 方程和弦长,如果不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x(a, b ? R ) .
2

(1)当 a ? ?1, b ? 3 时,求函数 f ( x) ? ,2? 上的最大值和最小值; ?2 ? (2)设 a>0 ,且对任意的 x>0, f ( x) ? f (1) ,试比较 ln a 与 ? 2b 的大小.

?1 ?

请考生在第 22、23、24 题中任意选一题作答。如果多做,则按所做第一题记分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 A、B、C、D 四点在同一个圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (Ⅰ)若

EC 1 ED 1 DC 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
2

(Ⅱ)若 EF ? FA ? FB ,证明:EF∥CD. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l
·4·

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 的参数方程为: ? (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ. ?y ? 1 t ? 2 ?
(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求|PQ|值. 24.(本小题满分 12 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 , g ( x) ? x ? 1 ? 2 . (Ⅰ)解不等式 g ( x) <5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

河北衡水中学 2017 届高三摸底联考(全国卷) 数学(文)

第一部分:评分细则
一、选择题:CBACD 二、填空题: 13. DBCCD CB

5 2

14. x - y - 3 ? 0

15. 960

16. 194

三、解答题 17、解: (Ⅰ)由 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,

b2 ? c2 ? a 2 1 ? 故 cos A ? 2bc 2
又∵ 0 ? A ? ? (Ⅱ)由 ∴ A ? 60?

---- 3 分 ---------- 5 分 -------------- 8 分
·5·

a ? 2 得 a ? 2sin A ? 3 sin A

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 即

? 3?

2

1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 60? ,即 3 ? 4 ? 2bc ? ∴ bc ? 1 10 分 2

∴ S ?ABC ?

1 1 3 -------------bc sin A ? ?1? sin 60? ? 2 2 4

12 分

18、解: (Ⅰ)证明:如图,取 AB 的中点 O,连结 OC, OA1,A1B.因为 CA=CB,所以 OC⊥AB.------------2 分 由于 AB=AA1, 所以 OA1⊥AB.-----------4 分 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C;-------6 分 ,故△AA1B 为等边三角形,

A1 B1

C1

A

C O B

(Ⅱ)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 .又 ,则 ,故 OA1⊥OC.

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高.---9 分 又△ABC 的面积 ,------10 分 .-----12 分 , ,

故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 19、解: (1)由频率直方图得:需求量为[100,120)的频率= 需求量为[120,140)的频率= 则中位数 x ? 140 ?

,需求量为[140,160)的频率=

2 460 --------5 分 ? 20 ? 3 3

(2)因为每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元, 所以当 当 所以 (3)因为利润不少于 4800 元,所以
·6·

时,

,----------7 分 --------------------------------9 分

,解得

所以由(1)知利润不少于 4800 元的概率

-----------------12 分

20、解:(Ⅰ) (解法 1)当直线 AB 垂直于 x 轴时, y1 ? 2 2 , y2 ? ?2 2 , 因此 y1 y2 ? ?8 (定值) --------------2 分 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2)

由?

? y ? k ( x ? 2) 2 得 ky ? 4 y ? 8k ? 0 2 ? y ? 4x
4分

? y1 y2 ? ?8 因此有 y1 y2 ? ?8 为定值
(解法 2)设直线 AB 的方程为 my ? x ? 2

由?

?my ? x ? 2 2 得 y ? 4my ? 8 ? 0 2 y ? 4 x ?

? y1 y2 ? ?8
(4 分)

因此有 y1 y2 ? ?8 为定值 (Ⅱ)设存在直线 l : x ? a 满足条件,则 AC 的中点 E (

x1 ? 2 y1 , ) , AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y12 2 2
1 1 1 2 2 AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y1 ? x1 ? 4 2 2 2
7分

因此以 AC 为直径的圆的半径 r ? E 点到直线 x ? a 的距离 d ?|

x1 ? 2 ?a| 2
1 2 x ?2 ( x1 ? 4) ? ( 1 ? a) 2 4 2

所以所截弦长为 2 r ? d
2

2

?2

?

x1 ? 4 ? ( x1 ? 2 ? 2a ) 2 ? ? 4(1 ? a ) x1 ? 8a ? 4a 2

2

10 分 12 分

当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x ? 1 21. 【解析】 (1)当 a ? ?1, b ? 3 时, f ? x ? ? ? x ? 3 x ? ln x ,且 x ? ? , 2 ? , 2
2

?1 ?

? ?

f ? ? x ? ? ?2 x ? 3 ?

? 2 x ? 1?? x ? 1? .……………………… 2 分 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ?? ?? x x x
·7·

由 f ?( x) ? 0 ,得

1 ? x ? 1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 2 , 2

所以函数 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递增; ,函数 f ( x) 在 (1, 2) 上单调递减, 所以函数 f ? x ? 在区间 ? , 2 ? 仅有极大值点 x ? 1 ,故这个极大值点也是最大值点, 2 故函数在 ? , 2 ? 上的最大值是 f ?1? ? 2 , ……………………………4 分 2 又 f ? 2? ? f ?

1 2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

3 ?1? ?5 ? 3 ? ? ? 2 ? ln 2 ? ? ? ? ln 2 ? ? ? 2 ln 2 ? ? ln 4 ? 0 , 4 ?2? ?4 ? 4

故 f ? 2? ? f ?

?1? ?1 ? ? ,故函数在 ? , 2 ? 上的最小值为 f ? 2 ? ? 2 ? ln 2 .…………6 分 ?2? ?2 ?

(Ⅱ)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取到最小值, 又 f ' ( x) ? 2ax ? b ?
'

1 2ax 2 ? bx ? 1 ? x x

设 f ( x) ? 0 的两个根为 x1 , x 2 ,则 x1 x 2 ? ? 不妨设 x1 ? 0, x 2 ? 0 ,

1 ?0 2a

则 f ( x) 在 (0, x 2 ) 单调递减,在 ( x 2 ,??) 单调递增,故 f ( x) ? f ( x 2 ) , 又 f ( x) ? f (1) ,所以 x 2 ? 1 ,即 2a+b=1,即 b=1﹣2a 9分

令 g(x)=2﹣4x+lnx,则 g′(x)=

令 g′(x)=0,得 x=

当 0<x< 时,g′(x)>0,g(x)在( 0, )上单调递增;

1 4

? ? )上单调递减; 当 <x 时,g′(x)<0,g(x)在( ,

1 4

因为 g(x)≤g( )=1﹣ln4<0 故 g(a)<0,即 2﹣4a+lna=2b+lna<0,即 lna<﹣2b 12 分

·8·

23、解:(1)∵ρ=4cosθ. ∴ρ2=4ρcosθ, 由 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,得 x2+y2=4x,……………………………3 分 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,

?x=-1+ 23t 由? 1 ?y=2t ?x=-1+ 23t (2)把? 1 ?y=2t

消去 t,解得 x- 3 y +1 ? 0 .

所以直线 l 的普通方程为 x- 3 y +1 ? 0 .…………………5 分

代入 x2+y2=4x.整理得 t2-3 3t+5=0.

设其两根分别为 t1,t2,则 t1,t2 分别为 P,Q 所对应的参数,
2 ) ? 4t1t2 = 7.…………10 分 则 t1+t2=3 3,t1t2=5.所以|PQ|=|t1-t2|= (t1 ? t2

24、解析: (1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ? 1 ? 2 ? 5 ,? x ? 1 ? 3 所以原不等式的解集为 x ? 2 ? x ? 4 (2)因为对任意的 所以 ,都有 , ,解得 ?2 ? x ? 4 . 5分 ,使得 = 成立

?

?

又f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 ? (2 x ? a ) ? (2 x ? 3) ? a ? 3 ,
所以 从而

·9·

故实数 a 的取值范围是 ?- ?, - 5? ? ?- 1 , ? ??

10 分 ://sj.fjjy.org 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·10·


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