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2011-2012(2)概率统计A(B卷)(答案)



2011—2012 学年第二学期 概率论与数理统计 A (B 卷)标准答案(理工类多学时)
一、填空题(每小题 3 分, 共 15 分) 1、0.4; 2、0.5904 (注:答

369 1 9 ?3 ? y ?2? 也对) 3、 ; 4、 e ;5、 FX ? ; ? 2 625 2 ? 3 ?
5、 C

二、单项

选择题( 每小题 3 分, 共 15 分 ) 1、 B ; 2、 A ; 3、 B ; 4、 C ; 三、应用题 1、解

以 A1 , A2 , A3 分别表示产品是甲,乙,丙厂生产的,

B 表示事件“取出的产品是次品” ,由题意:

P? A1 ? ? 0.45 ,

P? A2 ? ? 0.35 ,

P? A3 ? ? 0.20 ,

P?B A1 ? ? 0.04 ,
(1) 由全概率公式得:

P?B A2 ? ? 0.02 ,
3

P?B A3 ? ? 0.05 ……………………(2分)

P?B ? ? ? P? Ai ?P?B Ai ?
i ?1

= 0.45 ? 0.04 ? 0.35 ? 0.02 ? 0.20 ? 0.05 ? 0.035 …………………………(5分) (2) 由贝叶斯公式得:

P?A1 B ? ?

P? A1 ?P?B A1 ?

? P? A ?P?B A ?
3 i ?1 i i

?

0.45? 0.04 ? 0.514 ……………………………(10分) 0.035

2、设 Ai ?i ? 1,2,3? 分别表示甲、乙、丙中靶三个事件,则“恰有1人中靶”这一事件可表示为 “至少有1人中靶”这一事件可表示为 A ? A2 ? A3 A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 , 1 (1) P ( A A2 A3 ? A A2 A3 ? A A2 A3 ) = P A A2 A3 + P A A2 A3 + P A A2 A3 1 1 1 1 1 1

?

? ?

? ?

?

= 0.5 ? ?1 ? 0.6?? ?1 ? 0.8? + ?1 ? 0.5?? 0.6 ? ?1 ? 0.8? + ?1 ? 0.5?? ?1 ? 0.6?? 0.8 =0.26 (2) P? A ? A2 ? A3 ? = 1 ? P A P A2 P A3 1 1 = 1 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 =0.96 四、解答题 (1)由

? ?? ?? ?


…………………………(5分)

………………………… (10分)

? f ?x?dx ? 1 即 ?
??

?

2

0

A x d ?1 x

A?

1 2

…………………………(3分)

(2)P?1 ? X ? 2? ?

?

2

1

1 3 xdx ? 2 4

………………………… (6分)

(3) E ? X ? ?

E X2

? ?

1 2 4 x dx = ; 0 2 ?? 3 21 ?? ? ? x 2 f ?x ?dx = ? x 3dx =2 0 2 ??

?

??

xf ?x ?dx = ?

2

…………………………(8分)

2 ?4? D? X ? ? E?X ? ? E ? X ?=2- ? ? = 9 ?3?
2 2

2

………………………… (10分)

五、解答题 解: ? X ~ N 2, ? 2

?

?

?

X ?2

?

~ N ?0,1?

…………………………(2分)

? 2 X ?2 2 ? ?2? ? 2? ?2? P?0 ? X ? 4? = P? ? ? ? ? = ?? ? ? ?? ? ? = 2?? ? ? 1 =0. 5 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?

?

?2? ?? ? ? 0.75 ?? ?

…………………………(5分)

? X ?2 ?2? ??2? P? X ? 0? = P? ? ? = ?? ? ? ? ? ? ?? ?
= 1 ? ??

?2? ? =1-0.75=0.25 ?? ?

…………………………(8分)

六、解答题 解: (1) f X ?x ? ?

?

??

??

? 1 6 x 2 ydy ? f ?x, y ?dy = ??0 ?0 ?
0 ? x ?1 其它

0 ? x ?1 其它
…………………………(2分)

?3 x 2 =? ?0
fY ? y ? ? ?
?? ??

? 1 6 x 2 ydx ? f ?x, y ?dx ? ??0 ?0 ?
0 ? y ?1 其它

0 ? y ?1 其它
…………………………(4分)

?2y =? ?0

(2)由(1)知: f ?x, y ? ? f X ?x ? fY ? y ?

?

X 与 Y 相互独立

…………………………(7分)
1? x 0

(3) P? X ? Y ? 1? ?
1 2

? dx?
0

1

6 x 2 ydy
…………………………(10分)

? ? 3?1 ? x? ? x2dx =
0

1 10

七、解答题 1、解: (1) x ?

1 ?14.6 ? 14.7 ? 15.1 ? 14.9 ? 14.8 ? 15.0 ? 15.1 ? 15.2 ? 14.7 ? 9
…………………………(4分)

=14.9 (2) 1 ? ? ? 0.95 , ? ? 0.05 ,? z? ? 1.96 ,
2

? ? ? ? z? , X ? z? ? ……………………(6 分) ? 的置信水平为 0.95 的置信区间为: ? X ? ? n 2 n 2? ? ? 代入数据: x ? 14.9 , z? ? 1.96 , ? ? 0.15 , n ? 9 得

? 的置信水平为 0.95 的置信区间为: ?14.802,14.998?
2、解.

2

……………………(8 分)

E ? X ? ? ? xf ?x, ? ?dx ? ? x ? ?e??x dx ?
??

??

??

1

0

?

…………………………(2 分)

令 E? X ? ? X , 即 X ?

1

?



? ? 的矩法估计为: ? ?
似然函数: L?? ? ?
n i

1 X

…………………………(4 分)

? f ?x , ? ?
i ?1

当 x1, x2 ? xn ? 0 时,

L?? ? ? ? e
n

??

? xi
i ?1

n



LnL?? ? ? n ln ? ? ? ? xi
i ?1

n

dLnL?? ? n n ? ? ? xi d? ? i ?1
dLnL ?? ? 1 ? 0 ,得: ? ? d? x

…………………………(6 分)



? ? 的极大似然估计为:
八、解答题

1 X

…………………………(8 分)

?

E?2 X ? Y ? ? 2E? X ? ? E?Y ? ? 2 ? 2 ? 0 D?2 X ? Y ? ? 4D? X ? ? D?Y ? ? 4 ?1 ? 1 ? 5 2X ? Y ~ N ?0,1? ? 2 X ? Y ~ N ?0,5? ? 5

………………………………… (2 分) …………………………………(3 分)

?

2X ? Y ? ? ? 1? = ??1? ? ??? 1? P 2 X ?Y ? 5 ? P ? 5 ? 2 X ? Y ? 5 = P?? 1 ? 5 ? ? = 2??1? ? 1 ………………………………………………………(6 分)

?

? ?

?



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