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高中函数求值域十二种方法


一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})
二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})
三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四.判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。
解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3
当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。
点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。
五.最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。
当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。
点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )
A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞)
(答案:D)。
六.图象法
通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。
解:原函数化为 -2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。
点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。
解:设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})
八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。
解:设t=√2x+1 (t≥0),则
x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。
点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习:求函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}
九.构造法
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为{y|y≥5}。
点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})
十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。
解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。
函数的值域为{z|z≥1}.
点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。
练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0,故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)
十二.不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。
解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知 x/(1-x)>0
1-x≠0
解得,0<x<1。
∴函数的值域(0,1)。
点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用:求下列函数的值域
1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})
2.Y=2x/(2x-1)。 (y>1或y<0)
注意变量哦

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