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温州市 八校期中联考 高二数学试题



绝密★考试结束前

温州市 2016学年 八校期中联考 高二数学试题
第二学期
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高
锥体的体积公式: V 台体的体积公式: V 球的表面积公式: S

? ?

1 3 1 3

sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 h S1 ? S1S 2 ? S 2

?

?

其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

? 4?R 2 球的体积公式: V ?

4

3

?R 其中 R 表示球的半径

3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求.) 1.已知集合 P ? {x | x2 ? 2} , Q ? {0,1, 2,3} ,则 (CR P) ? Q ? ( ▲ ) A. ?0,1? B. ?0? C. ?2,3? D. ?1, 2,3?

3 ) ? , 0 ? ? ? ? ,则 sin 2? 的值等于( ▲ ) 2 5 12 12 24 A. B. ? C. 25 25 25 3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知单位向量 a 和 b 满足 a ? b ? 3 a ? b ,则 a 与 b 的夹角为(
2.已知 sin(? ? A.

?

D. ?

24 25

▲ ) D. ?10 ▲ )

? ? 2? 5? B. C. D. 3 6 6 3 5.已知 m、n 为空间两条不同直线, ? 、 ?、? 为不同的平面,则下列命题正确的是( ▲ ) A.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a ? ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , a ? ? , b ? ? ,则 a ? b D.若 m ? ? , m ? n , n ? ? ,则 ? ? ? 6.设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,则( ▲ )
A.

1 1 ? 有最大值 4 a b

B. ab 有最小值
2 2

1 2

C. a ? b 有最大值 2

D. a ? b 有最小值

2 2

温州市六校联考高二数学试题 第 1 页 共 8 页

7.已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 相外切,若 过点 P(?1,1) 的直线 l 与圆 C 交于 A , B 两点,当 ?ACB 最小时,弦 AB 的长为( ▲ ) A.4 B. 2 3 C .2 D. 3 8.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) ,其部分图像如图所示,点 P, Q 分别为图像上相 邻的最高点与最低点, R 是图像与 x 轴的交点,若 P 点的横坐 标为

1 1 , f ( ) ? 3, PR ? QR ,则函数 f ( x ) 的解析式可以 3 3

是( ▲ ) A. f ( x) ? 3 sin( B. f ( x) ? 3 sin(

?

x? ) 2 6 2? 5? x? ) C. f ( x) ? 3 sin( 3 18
D. f ( x) ? 3 sin(? x ?

?

x? ) 2 3

?

?

?

6

)

(第 8 题图)

9.已知函数 f ( x) ? x(1 ? x ) ,设关于 x 的不等式 f ( x2 ? 1) ? f (ax) 的解集为 A ,若 [ ? 则实数 a 的取值范围为( ▲ )

1 1 , ] ? A, 2 2

5 5 , ) 2 2 5 5 5 5 C. (? , ?1) ? (1, ) D. (??, ? ) ? ( , ??) 2 2 2 2 ABCD ? A B C D 10.如图,在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1 中,点 P 是平面 A1BC1 内一动点,且满足 PD ? PB1 ? 6 , 则点 P 的轨迹所形成
A. (?2, 2) B. ( ? 的图形的面积是( ▲ ) A. 2? C.

16? 3

11? 2 52? D. 9
B.
(第 10 题图)

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,11-14 题:每小题 6 分,15-17 题:每小题 4 分,共 36 分.)

y2 ? x 2 ? 1的焦距是 ▲ ;渐近线方程为 ▲ . 2 ? ? 1 ?x ? ? ,x ?0 12.设函数 f ( x ) ? ? ? , 则 f (?2) ? ▲ ;使 f (a) ? 0 的 a 的取值范围是 ▲ . ?2? ?log x, x ? 0 ? 2
11.双曲线 温州市六校联考高二数学试题 第 2 页 共 8 页

13.设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S2 ? 3 ,且 an?1 ? Sn ? 1 ,

n ? N ? ,则 a1 ?

▲ ; Sn = ▲ .

?x ? y ? 2 ? 14.若实数 x, y 满足不等式组 ? ax ? y ? 4 ,目标函数 z ? 3 x ? y , ? y ? ?1 ?

若 a ? 1 ,则 z 的最小值为 ▲ ;若 z 的最大值为 5 ,则实数
a= ▲ .

15.已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ▲ . 16.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 A 、 B 在抛物线上,且
2

?AFB ? 90? ,弦 AB 中点 M 在准线 l 上的射影为 M 1 ,则

MM1 AB

(第 15 题图)

的最大值为 ▲ .

17.记 min ?a, b? ? ?

? ? ? ? ? ?? ?a, a ? b ? ,已知向量 a, b, c 满足 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为 120 , ?b, a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? c ? ? a ? ?b , ? +? =2 ,则当 min c ? a, c ? b 取得最大值时, c ? ▲ .

?

?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. (本题 15 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c .已知 a ? 2 3 , A ? (Ⅰ)当 b ? 2 时,求 c ; (Ⅱ)求 b ? c 的取值范围.

?
3



19. (本题 15 分)如图,将正六边形 ABCDEF 中的一半图形 ABCD 绕 AD 翻折到 AB1C1D ,使得

?B1 AF ? 60? . G 是 BF 与 AD 的交点. (Ⅰ)求证:平面 ADEF ? 平面 B1FG ; (Ⅱ)求直线 AB1 与平面 ADEF 所成角的正
弦值.
A G B

B1

C1 F

E

C

D

(第19题图) (第 19 题图)

温州市六校联考高二数学试题 第 3 页 共 8 页

20. (本题 15 分)设函数 f ( x) ?

4x ? a , h( x) ? 2 f ( x) ? ax ? b . 2 x ?1

(Ⅰ)判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)若 f ( x ) 为奇函数,且 h( x) 在 [?1,1] 有零点,求实数 b 的取值范围.

21. (本题 15 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 , an?1 ? an ? an an?1 ? 0 (n ? N * ) . 2

(Ⅱ)求证: a1 ? a1a2 ? a1a2a3 ? ? ? a1a2 ?an ? 1 .

22. (本题 14 分)给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) .设 t ? 0 ,过点 T (0, t ) 斜率为 k 的 直线 l 与 a 2 b2 椭圆 C 交于 M , N 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)用 a, b, k , t 表示 ?OMN 的面积 S ,并说明 k , t 应满足的条件; (Ⅱ)当 k 变化时,求 S 的最大值 g (t ) . y

x
O

(第 22 题图)

温州市六校联考高二数学试题 第 4 页 共 8 页

温州市 2016学年 八校期中联考 高二数学参考答案
第二学期
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,11-14 题:每小题 6 分,15-17 题:每小题 4 分,共 36 分.) 11. 2 3 ; 2 x ? y ? 0 14. 2 ; 12. 4 ; (0,1) 13. 1 ; 2 ? 1
n

5 2

15. 8 ?

? 2

16.

2 2

17.

2 21 7

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.解: (Ⅰ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 与 a ? 2 3 , A ?
2 2 2

?
3

,b ? 2 ……………….4 分 ……………….7 分

得 c ? 2c ? 8 ? 0 即 (c ? 4)(c ? 2) ? 0 . 又 c ? 0 ,故取 c ? 4 .
2

(Ⅱ)(方法一)由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? 4sin B ,同理 c ? 4 sin C . …….9 分 sin A 2? b ? c ? 4(sin B ? sin C ) ? 4[sin B ? sin( ? B)] 3 ? 3 1 ? 4(sin B ? cos B ? sin B) ? 4 3 sin( B ? ) . ……………….12 分 6 2 2 ? 2? ? ? 5? 由 A ? 知, 0 ? B ? , ? B? ? . 3 3 6 6 6 1 ? 得 ? sin( B ? ) ? 1 . 2 6 所以 2 3 ? b ? c ? 4 3 ,即 b ? c 的取值范围是 (2 3,4 3] ……………….15 分
2 2

(方法二)由余弦定理得 12 ? b ? c ? 2bc ? cos

?
3
…………… ……………….10 分

? (b ? c ) ? 3bc
2

? ( b ? c )2 ? 3 ? (
解得 b ? c ? 4 3 . 又b? c ? a ? 2 3 .

b?c 2 ) 2

所以 b ? c 的取值范围是 (2 3,4 3] .

…………… ……………….15 分

温州市六校联考高二数学试题 第 5 页 共 8 页

19.解: (Ⅰ)由正六边形对称性可知 BF ? AD , 因此 B1G ? AD , FG ? AD . ……………….3 分 又 B1G ? FG ? G , B1G ? 平面 B1GF , FG ? 平面 B1GF , 所以 AD ? 平面 B1GF . ……………….5 分 又因为 AD ? 平面 ADEF , 所以平面 B1GF ? 平面 ADEF .……………….7 分 (Ⅱ) (方法一)由(Ⅰ)已得平面 B1GF ? 平面 ADEF . 作 B1H ? FG 于 H , 又由于平面 B1GF I 平面 ADEF ? FG , 所以 B1H ? 平面 ADEF . 连 接 AH , 则 ?B1 A H 就 是 直 线 B1 A 与 平 面
A G B H E B1

C1 F

ADEF 所成的角. ……………….11 分 不妨设正六边形边长为 2 .则 AF ? AB 1 ?2且

?B1 AF ? 60? , ?B1 AG ? ?FAG ? 60?
得 B1F ? 2 , B1G ? FG ? 3 .

C

D

3 ? 3 ? 22 1 B1G 2 ? GF 2 ? B1F 2 ? ? . 在 ?B1GF 中, cos ?B1GF ? 3 2B1G ? GF 2 ? 3? 3

2

2

sin ?B1GH ?

2 6 2 2 BH 6 . B1H ? B1G ? sin ?B1GH ? , sin ?B1 AH ? 1 ? , 3 3 B1 A 3

所以直线 AB1 与平面 ADEF 所成角的正弦值为

6 . 3

……………….15 分
z B1

(方法二)如图,以 A 为坐标原点,以 AD 为 x 轴, 过 A 在平面 ADEF 内作垂直于 AD 的直线为 y 轴, 过 A 作垂直于平面 ADEF 的直线为 z 轴建立空间直 角坐标系.不妨设正六边形边长为 2 .则

C1 A G B

y F

uuu r uuu r AD ? ( 4 , 0 , , 0 )AF ? (1, 3,0) ,设 uuu r AB1 ? ( x, y, z ) . ???? ???? AB ? AD x?4 1 由 ???? 1 ???? ? ? cos 60? ? 2 | AB1 | ? | AD | 2 ? 4
得 x ?1 ①.

E

C

D

x

???? ??? ? AB1 ? AF x ? 3y 1 ??? ? ? 由 ???? ? cos 60? ? 得 x ? 3 y ? 2 ②. 2? 2 2 | AB1 | ? | AF | uuu r 2 又 ( AB1 ) ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 ③.

……………….10 分

温州市六校联考高二数学试题 第 6 页 共 8 页

uuu r 1 2 2 1 2 2 .所以 AB1 ? (1, ,z ? , ) . ……………….13 分 3 3 3 3 uuu r r uuu r r r AB1 ? n 6 r r ? 取平面 ADEF 的法向量 n ? (0,0,1) . cos AB1 , n ? uuu . 3 | AB1 | ? | n |
由①②③得 x ? 4, y ? 所以直线 AB1 与平面 ADEF 所成角的正弦值为 20.解: ( Ⅰ ) 若 f ( x ) 为 奇 函 数 , 则 对 于 x ? R 有 f ( ? x) ? ? f ( x) 得
? 2x ?1 ? a ? 2? x? 1 ? ? 2 ? x 1 1 a ? ?1 . ? a ? 2?x ,所以

6 . 3

……………….15 分

4x ? a 4? x ? a ? ? ,化为 2 x ?1 2? x ?1

……………….3 分

若 f ( x ) 为偶函数,则对于 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) 得
x ?1 ? x ?1 ? x ?1 x ?1

4 ? a 4? x ? a ? ? x ?1 , 2 x ?1 2
x

? 2 ? a ? 2 ,所以 a ? 1 . 化为 2 ? a ? 2 ……………….6 分 综上知,当 a ? ?1 时, f ( x ) 为奇函数;当 a ? 1 时, f ( x ) 为偶函数;
当 a ? ?1 时, f ( x) 非奇非偶.
x

……………….8 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知若 f ( x ) 为奇函数,则 a ? ?1 .此时 h( x) ? 2 ? ( ) ? x ? b 在 [?1,1] 有零点,
x

1 2

即有 x ?[?1,1] 满足方程 b ? 2 ? ( ) ? x .
x x
x

1 2

……………….11 分

由于函数 b ? 2 ? ( ) ? x 在 [?1,1] 单调递增,在 x ?[?1,1] 时其值域为 [?
x

1 2

5 5 , ] ,所以 2 2

?

5 5 5 5 ? b ? ,即实数 b 的取值范围为 [? , ] . 2 2 2 2

……………….15 分

21. (Ⅰ)解:由已知可得数列 ?an ? 各项非零. 否则,若有 ak ? 0 结合 ak ? ak ?1 ? ak ak ?1 ? 0 ? ak ?1 ? 0 , 继而 ? ak ?1 ? 0 ? ak ?2 ? 0 ? ? ? a1 ? 0 ,与已知矛盾. 所以由 an?1 ? an ? an an?1 ? 0 可得 即数列 ?

1 1 ? ? 1. an ?1 an

……………….4 分

?1? 1 1 ? 是公差为 1 的等差数列. 所以 ? ? (n ? 1) ? n ? 1 . an a1 ? an ?
……………….7 分 ……………….11 分

1 (n ? N * ) . n ?1 1 1 ? ( )k . (Ⅱ) 证明一: a1a2 ? ak ? 2 ? 3 ?? ? (k ? 1) 2
所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ?

温州市六校联考高二数学试题 第 7 页 共 8 页

1 1 2 1 1 ? ( ) ? ? ? ( )n ? 1 ? ( )n ? 1 . 2 2 2 2 所以 a1 ? a1a2 ? a1a2a3 ? ? ? a1a2 ?an ? 1 . ……………….15 分

a1 ? a1a2 ? a1a2a3 ? ?? a1a2 ?an ?

证明二: a1 ? a1a2 ? a1a2a3 ? ? ? a1a2 ?an

1 1 1 1 ? ? ??? 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 2 ? 3 ??? (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ??? ……………….11 分 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? 1. 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 所以 a1 ? a1a2 ? a1a2a3 ? ? ? a1a2 ?an ? 1 . ……………….15 分 ?
22.解: (Ⅰ) l 方程为 y ? kx ? t ,将 l 方程代入 C 方程整理得 (b2 + a2 k 2 ) x2 + 2a2 ktx + a2 (t 2 - b2 ) = 0 . ……………….3 分 D = 4a4 k 2t 2 - 4a2 (t 2 - b2 )(b2 + a2 k 2 ) = 4a2b2 (b2 + a2 k 2 - t 2 ) . 由 D > 0 得 k , t 应满足的条件为 b2 + a 2 k 2 - t 2 > 0 . ……………….5 分
S=
1 D abt b 2 + a 2 k 2 - t 2 1 t= . | xM - xN || OT | = 鬃2 2 2 2 b +a k b2 + a 2 k 2 2

所以 S = (Ⅱ) S =

abt b2 + a 2 k 2 - t 2 2 2 2 2 ,其中 b + a k > t b2 + a 2 k 2

……………….8 分

t 1 2 1 abt b2 + a 2 k 2 - t 2 = abt - ( 2 ) + 2 .……………….10 分 b + a 2 k 2 2t 4t b2 + a 2 k 2

t 1 1 b 2t 2 ? b2 b2 ? ,得 Smax ? ab . ,即 t 2 ? 取 ,有 2 k ? ? , 2 2 2 2 b ?a k 2t 2 a 2 t t 1 b b2 2 2 2 2 ? 2? , 当0 ? t ? ,即 0 < t 2 < , b ? a k ? 2t ,有 2 2 2 2 b ?a k b 2t 2 at 2 2 b ?t . 所 以 , 当 k 变 化 时 , S 的 最 大 值 取 k ? 0 , 得 Smax ? b b ?1 ab, t ? ; ? ?2 2 g (t ) ? ? ……………….14 分 ? at b 2 ? t 2 , 0 ? t ? b . ? 2 ?b
当t ?

温州市六校联考高二数学试题 第 8 页 共 8 页



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