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选修2-2第二章《直接证明和间接证明》



学科教师辅导讲义
讲义编号 学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级:高三 辅导科目:数学 课时数:3 学科教师:

直接证明和间接证明复习

授课日期及时段 教学目的 1、结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:综合法 和分析法,了解间接证明的一种基本方法:反证法; 2、了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点. 教

学内容

一、课前检测
b a a2 ? b2 ? ab ;② ? ? 2 ; 1、已知 a, b ? R且a, b ? 0 ,则在① a b 2

③ ab ? (

a?b 2 a ? b 2 a2 ? b2 ) ;④ ( ) ? 2 2 2

这四个式子中, 恒成立的个数是 A 1个 B 2个 答案:C
c c

C

3个

D (

( 4个 )



2、已知 a, b, c 均大于 1,且 loga ? logb ? 4 ,则下列各式中,一定正确的是 A 答案:B。
ac ? b

B

ab ? c

C

bc ? a

D

ab ? c

3、设 M 是 ?ABC内一点 , 且AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义f (M ) ? (m, n, p) ,其中
1 1 4 m、n、p 分别是 ?MBC, ?MCA, ?MAB的面积, 若f ( P) ? ( , x, y )则 ? 的最小值是 2 x y

A.8 B.9 C.16 答案:D。 4、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存 储费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. 答案:20 5、给出下列四个命题: 1 1 ①若 a ? b ? 0, 则 ? ; a b 1 1 ②若 a ? b ? 0, 则a ? ? b ? a b

( D.18



③若 a ? b ? 0, 则

2a ? b a ? ; a ? 2b b

2 1 ④ 若a ? 0, b ? 0, 且2a ? b ? 1, 则 ? 的最小值为 9. a b 其中正确 命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) ..

答案:②④。 6、若 a ? b ? c , n ? N * ,且 答案:4。
3 7、若函数 y ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3 是偶函数,则 f ( ? ) , f (a 2 ? a ? 1) (a∈R)的大小关系 4 3 是 f (? ) f (a 2 ? a ? 1) . 4 答案:≥ 1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是 a?b b?c a?c



8、用分析法证明:若 a>0,则 答案:证明:要证 只需证
a2 ? 1 a2 a2 ? 1 a2

a2 ?

1 a2

? 2 ? a?

1 ?2。 a

? 2 ? a? 1 ? 2。 a

1 ?2, a

?2? a?

∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证 ( 只需证 a 2 ? 只需证 即证 a2 ?
1 a
2

a2 ?

1 a
2

? 2) 2 ? ( a ?

1 ? 2 )2 a

? 4 ? 4 a2 ? ?

1 a
2

? a2 ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 2 (a ? ) , a a
2

1

a2 ?

1 a2

2 1 1 1 1 ( a ? ) ,只需证 a 2 ? ? (a 2 ? 2 ? 2) , 2 2 a 2 a a

1 a2

? 2 ,它显然成立。∴原不等式成立。

9、设 0 ? a ? 1, x 2 ? y ? 0 ,求证: log a
x y x y

(a x ?a y )

1 2 ? log a ? . 8

答案:证明:因为 a ? a ? 2 a a ? 2a 又 0 ? a ? 1 ,所以 log a ( a
? log a ?
2
x

x? y 2

? 2a
x ? x2 2

x? x2 2


x ? x2 2

?ay )

? log a (2 a

)

? log a 2 ?

= loga 2 ? ( x ? )2 ?

1 2

1 2

1 8

1 .也可以用分析法证明。 8 10、△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,

求证:

1 1 3 ? ? 。 a?b b?c a?b?c 1 1 3 ? ? ,即需证 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 3 。 a?b b?c a?b b?c a?b?c

答案:证明:要证 即证

c a ? ?1。 a?b b?c

又需证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) ,需证 c2 ? a 2 ? ac ? b2 ∵△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理,有 b2 ? c2 ? a2 ? 2cacos60? ,即 b2 ? c2 ? a 2 ? ac 。 ∴ c2 ? a 2 ? ac ? b2 成立,命题得证。

二、直接证明和间接证明知识梳理
1、直接证明包括综合法和分析法 (1)综合法的定义:一般地,从命题的已知条件出发,利用公理、已知的定义及定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。 综合法可用框图表示为: (用 P 表示已知条件,Qi ?i ? 1,2,3,?, n?为定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论)

要点: (1)执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法” 。 (2)它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推 导得出结论。 (3)综合法常用在证明等式或不等式中。 (2)分析法的定义:一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件, 逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定 义、公理等) ,或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析 法. 分析法的思维框图: (用 Pi ?i ? 1,2,3,?? 表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等, )则用分析法证明可用框图表示为: Q 所要证明的结论, 要点:①执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法” 。 ②它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充 分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止。 ③分析法常用在证明等式或不等式中。 ④分析法的格式:要证??,只需证??,只需证??,因为??成立,所以 原不等式得证。 适用综合法和分析法的数学问题:常用在证明等式或不等式中。 综合法和分析法的联系:在实际证题过程中,分析法与综合法是统一运用的,把分析 法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合;没有综合也没有分析。问 题仅在于,在构建命题的证明路径时,有时分析法居主导地位,综合法伴随着它;有时却 刚刚相反,是综合法导主导地位,而分析法伴随着它。 2、间接证明包括反证法 (1)反证法的定义:一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立, 然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定 理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命 题成立,这样的证明方法叫做反证法. 反证法的思维框图: (证明命题“若 则 ” )它的全部过程和逻辑根据可以表示为:

要点:①分清命题的条件和结论. ②做出与命题结论相矛盾的假设. ③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果. ④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从 而间接地证明原命题为真. 一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真; ②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛 盾结果; ③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立。 适合反证法的数学问题: ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;比 如“存在性问题、唯一性问题”等; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研 究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题。

三、重难点突破
重点:会用综合法、分析法和反证法证明问题;了解综合法、分析法和反证法的思考过程。 难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用。 题型 1 综合法 例 1 如图,设在四面体 垂 直 于 中, , 所 在 , 的 是 的中点。求证: 平 面 .

【解题思路】要证 直线与 垂直. 、

垂直于

所在的平面,只需在

所在的平面内找到两条相交

解:连 所以 而

因为

是 又因为

斜边上的中线, , 的公共边,







所以 而 由此可知 垂直于 ,因此

于是 ∴ ,

,

所在的平面。

1 2 3 ? ? ?2 log5 19 log3 19 log2 19 答案:待证不等式的左端是 3 个数和的形式,右端是一常数的形式,而左端 3 个分母的真

举一反三: (变式 1)求证:

数相同, 由此可联想到公式 loga b ?

1 , 转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的 logb a

形式.∵ loga b ?

1 ,因为 左边 ? log19 5 ? 2 log19 3 ? 3 log19 2 logb a

? log19 5 ? log19 32 ? log19 23 ? log19 (5 ? 32 ? 23 ) ? log19 360
因为 log19 360 ? log19 361, 所以

1 2 3 ? ? ? 2. log5 19 log3 19 log2 19

(变式 2)在锐角三角形 ABC 中,求证: 答案:∵在锐角三角形 ABC 中, A ? B ?

?
2

,所以

?
2

? A?

?

? ?? ? B ? 0 ,因在 ? 0, ? 内正弦 2 ? 2?

?? ? 函 数 单 调 递 增 , 所 以 sin A ? sin? ? B ? ? cos B 即 sin A ? cos B 同 理 , sin B ? cos C , ?2 ?
sin C ? cos A 所以 sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C 题型 2 分析法

例 1 若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是 解:∵要证 P<Q,只要证 P2<Q2, 只要证:2a+7+2 a(a+7)<2a+7+2 (a+3)(a+4), 只要证:a2+7a<a2+7a+12, 只要证:0<12, ∵0<12 成立,∴P<Q 成立.

举一反三:(变式 1)求证:

3? 7 ?2 5

答案:∵ 3 、 7 、 5 均为正数 ∴要证 3 ? 7 ? 2 5 成立,只需证明 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 , 两边展开得 10 ? 2 21 ? 20 即 21 ? 5 , 所以只需证明 ( 21) 2 ? 52 即 21 ? 25 , ∵ 21 ? 25 恒成立, ∴ 3 ? 7 ? 2 5 成立. (变式 2)求证: a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ?

?

??

?

2

答案:法一:要证 a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ? 成立,
2

?

??

?

只需证明 a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? a 2 c 2 ? b 2 d 2 ? 2acbd , 即只需证明 b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2acbd 即 (bc ? ad) ? 0 ,∵ (bc ? ad) ? 0 恒成立, ∴ a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ? 成立.
2

?

??

?

法二:∵ b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2acbd ∴
a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? a 2 c 2 ? b 2 d 2 ? 2acbd ,
2



?a

? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ?

??

?

2

(变式 3)若 tan?? ? ? ? ? 2 tan? 求证: 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) . 答案:由 tan?? ? ? ? ? 2 tan? ,得
sin ?? ? ? ? 2 sin ? ? , cos?? ? ? ? cos ?

即 sin?? ? ? ?cos? ? 2 cos?? ? ? ?sin ? (*) 另一方面,要证 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) , 即证 3 sin[(? ? ? ? ? )] ? sin[(? ? ? ) ? ? ] 即证
3 sin[(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ] ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ?



化简,得 sin?? ? ? ?cos? ? 2 cos?? ? ? ?sin ? . ∵上式与(*)式相同.所以,命题成立. 题型 3 综合法和分析法 例 1 求证:

a ? a ?1 ? a ? 2 ? a ? 3

【解题思路】由于本题所给的条件较少,且不等式中项都是根式的形式,因而用综合法证 明比较困难.这时,可从结论出发,逐步反推,寻找使命题成立的充分条件;此外,若注意 到, a ? a ? 1 ? 法一:分析法 要证 a ? a ? 1 ? a ? 2 ? a ? 3 成立, 只需证明 a ? a ? 3 ? a ? 2 ? a ? 1 , 两边平方得 2a ? 3 ? 2 a(a ? 3) ? 2a ? 3 ? 2 (a ? 2)(a ? 1) , (a ? 3) 所以只需证明 a(a ? 3) ? (a ? 2)(a ? 1) (a ? 3) , 两边平方得 a 2 ? 3a ? a 2 ? 3a ? 2 ,即 0 ? 2 ,∵ 0 ? 2 恒成立, ∴原不等式得证. 法二:综合法 ∵ a ? a ?1 ?
1 a ? a ?1 1 a ?2 ? a ?3 1 a ? a ?1

, a ?2 ? a ?3 ?

1 a ?2 ? a ?3

也可用综合法证明.



a ?2 ? a ?3 ?



a ? a ? 2, a ? 1 ? a ? 3 ,
∴. a ? a ? 1 ? a ? 2 ? a ? 3 ? 0 ∴
1 a ? a ?1 ? 1 a?2 ? a?3

.

∴ a ? a ? 1 ? a ? 2 ? a ? 3 .即原不等式成立. 举一反三:(变式 1)设 a,b 均为正数,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 证明:法一:(分析法) 要证 a3+b3>a2b+ab2 成立, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.

又因为 a+b>0, 只需证 a2-ab+b2>ab 成立. 又需证 a2-2ab+b2>0 成立, 即需证(a-b)2>0 成立. 而依题设 a≠b,则(a-b)2>0 显然成立,由此命题得证. 法二:(综合法) a≠b?a-b≠0?(a-b)2>0?a2-2ab+b2>0 ?a2-ab+b2>ab.(*) 而 a,b 均为正数,∴a+b>0, 由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b), ∴a3+b3>a2b+ab2. 题型 4 反证法 例 1 设二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 中的 a, b, c 均为奇数,求证:方程 f ?x ? ? 0 无整数 根. 【解题思路】由于要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不 够清晰,所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论. 证明:假设方程 f ?x ? ? 0 有整数根 n ,则 an2 ? bn ? c ? 0 成立, 所以 n(an ? b) ? c ? 0 . 因为 c 为奇数,所以 n(an ? b) 也为奇数,且 n 与 (an ? b) 都必须为奇数. 因为已知 a , b 为奇数,又 n 为奇数,所以 (an ? b) 为偶数, 这与 (an ? b) 为奇数矛盾,所以假设不成立,原命题成立. 举一反三: (变式 1) 若 a, b, c 都为实数, 且 a ? x 2 ? 2z ? 证: a, b, c 中至少有一个大于 0. 答案:假设 a, b, c 都不大于 0,则 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 又 a ? b ? c ? (x 2 ? 2z ?

?
2

b ? y 2 ? 2x ? ,

?
3

, c ? z2 ? 2y ?

?
6





?
2

) ? ( y 2 ? 2x ?

?
3

) ? (z 2 ? 2 y ?

?
6

)

? ( x 2 ? 2x ? 1) ? ( y 2 ? 2 y ? 1) ? ( z 2 ? 2z ? 1) ? ? ? 3

.

? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ? ? 3 ? 0
因为 ( x ? 1) 2 ? 0 , ( y ? 1) 2 ? 0 , ( z ? 1) 2 ? 0 , ? ? 3 ? 0 , 所以 a ? b ? c ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ? ? 3 ? 0 , 所以 a ? b ? c ? 0 ,这与 a ? b ? c ? 0 矛盾, 所以假设不成立,原命题成立. (变式 2)设函数 f ( x) 在 x ? R 内都有 f ( x) ? 0 ,且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 恒成立,求证: 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 0 . 答 案 : 假 设 “ 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x ) ? 0 ” 不 成 立 , 则 ?x 0 , 有 f ( x ) ? 0 成 立 , ∵ f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 又∵ f ( x0 ) ? f (
x0 x0 x x x ? ) ? f ( 0 ) f ( 0 ) ? f 2( 0 ) 2 2 2 2 2

这与 f ( x0 ) ? 0 矛盾,所以假设不成立,原命题成立. (变式 3)已知: p 3 ? q 3 ? 2 ,求证 p ? q ? 2 答案:假设 p ? q ? 2 ,则 p ? 2 ? q 成立, 所以 p 3 ? (2 ? q) 3 ? 8 ? 12 p ? 6q 2 ? q 3 . 因为 p 3 ? q 3 ? 2 ,所以 0 ? 6 ? 12q ? 6q 2 , 所以 0 ? 6(1 ? q) 2 ,这与 6(1 ? q) 2 ? 0 矛盾, 所以假设不成立,原命题成立.

四、课堂练习
a+b 1 2ab 1、已知函数 f(x)=( )x,a,b ? R+,A=f( ),B=f( ab),C=f( ),则 A、B、C 的 2 2 a+b 大小关系为 A.A ? B ? C C.B ? C ? A 答案:A B.A ? C ? B D.C ? B ? A ( )

2、已知 a, b ? R且a, b ? 0 ,则在①

b a a2 ? b2 ? ab ;② ? ? 2 ; a b 2 a?b 2 a ? b 2 a2 ? b2 ) ;④ ( ) ? 2 2 2

③ ab ? (

这四个式子中,恒成立的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案:C 3、用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是 A.假设 a、b、c 都是偶数 B.假设 a、b、c 都不是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数 答案:B
? a ( a ? b) 4、定义运算 a ? b ? ? ,例如,1? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? x2 ? (1 ? x ) 的最大值为 _________________ . b ( a ? b ) ?

(

)

答案: 5、 要证明

3- 5 2

3

+

7

<2

5

, 可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是 ③综合法

(填序号) .

①反证法 答案: ②

②分析法

? ? 1 a2 ? b2 6、已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p= logc ,q= log c ? ? ? ? ,则 p,q 的大 2 ? a? b?

2

小关系是 答案: p<q

.

1 1 3 + = ,试 a+b b+c a+b+c 问 A、B、C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明. 证明:A、B、C 成等差数列,下面用综合法给出证明: 7、在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 ∵ 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c

∴ ∴

a+b+c a+b+c + =3, a+b b+c c a + =1, a+b b+c

∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ∴b2=a2+c2-ac. 在△ABC 中,由余弦定理,得 cosB= a2+c2-b2 ac 1 =2ac=2, 2ac

∵0° <B<180° ∴B=60° . ∴A+C=2B=120° , ∴A、B、C 成等差数列. 8、若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: lg 证明:要证 lg
a?b b?c a?c + lg + lg > lg a ? lg b ? lg c 。 2 2 2

a?b b?c a?c + lg + lg ? lg a ? lg b ? lg c , 2 2 2 a?b b?c c?a 只需证 lg · · ? lg(a ? b ? c) , 2 2 2 a?b b?c c?a 只需证 · · ? abc 。 2 2 2 a?b b?c c?a 但是, ? bc ? 0 , ? ab ? 0 , ? ac ? 0 。 2 2 2 a?b b?c c?a 且上述三式中的等号不全成立,所以, · · ? abc 。 2 2 2 a?b b?c a?c 因此 lg + lg + lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2 1? b 1? a , 9、已知 a ? 0, b ? 0且a ? b ? 2, 求证: 中至少有一个小于 2. a b 1? b 1? a 1? b 1? a , ? 2, ?2 答案:证明:假设 都不小于 2,则 a b a b

因为 a ? 0, b ? 0 , 所以 1 ? b ? 2a,1 ? a ? 2b , 1 ? 1 ? a ? b ? 2(a ? b) 即 2 ? a ? b ,这与已知 a ? b ? 2 相矛盾,故假设不成立 1? b 1? a , 综上 中至少有一个小于 2 a b 10、已知 a, b, c 为正实数, a ? b ? c ? 1 求证: (1) a 2 ? b 2 ? c 2 ?
1 ; (2) 3a ? 2 ? 3b ? 2 ? 3c ? 2 ? 6 . 3

答案:证明

(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc
? a2 ? b2 ? c2 ? a2 ? b2 ? a2 ? c2 ? b2 ? c2

所以 得证 a
2

3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a ? b ? c) 2 ? 1
? b2 ? c2 ? 1 3

3a ? 2 ? 1 3a ? 3 ? , 2 2 3b ? 3 3c ? 3 同理 3b ? 2 ? , 3c ? 2 ? 2 2 3(a ? b ? c) ? 9 ?6 ∴ 3a ? 2 ? 3b ? 2 ? 3c ? 2 ? 2 ∴原不等式成立.

(2)∵ 3a ? 2 ? (3a ? 2) ? 1 ?

五、课堂小节
(1)综合法的特点: “顺推证法”或“有因导果法”是综合法的两种形象的说法,从已知 看需知,逐步靠拢已知。 (2)综合法是从已知的 P 出发,得到一系列的结论 Q1 , Q2, ??? ,直到最后的结论是 Q. 运用综合法可
以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.

(3)分析法的特点: “逆推证法”或“执果索因法”是分析法的两种形象的说法,从已知 看可知,逐步推出未知。
(4)分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探求得到 Q 所需要的已知 P 1, P 2, ??? ,直到所有的已知 P 都 成立;

(5)综合法和分析法各有优缺点。分析法思考起来比较自然,容易找到解题的思路和方 法,缺点是思路逆行,叙述较繁,综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于 思考。实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来。 (6)反证法主要使用与要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的不 够清晰,如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明.
(7)当一个命题的结论是以“最多” , “最少” , “唯一”等形式或以否定形式出现是宜用反证法来证明。 注意“至少一个” 、 “至多一个” 、 “都是”的否定形式分别为“一个也没有” 、 “至少有两个” 、 “不都是” 。 用反证法的步骤是:①否定结论 ? A ? B ? C ②而 C 不合理③因此结论不能否定,结论成立。

六、课后作业
一、选择题 1、 命题“对于任意角 θ, cos4θ-s in4θ=cos2θ”的证明: “cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2 θ)(cos2θ

+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 答案:B

)

xn· (x2 n+3) 2、已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1= (n=1,2,?),试证:“数列{xn}对任意的正整数 n, 2 3xn+1 都满足 xn>xn+1,”当此题用反证法否定结论时应为( A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn≤xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn-1,且 xn≥xn+1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 答案:B 3、要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2b2≤0 a4+b4 B.a2+b2-1- 2 ≤0 (a+b)2 C. 2 -1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 答案:D 4、已知 a、b 是非零实数,且 a>b,则下列不等式中成立的是 ( b A.a<1 B.a2>b2 ) ) )

C.|a+b|>|a-b| 答案:D

1 1 D. ab2>a2b

?a+b? ?1? ?,B=f( ab),C 5、(2009· 杭州市模拟)已知函数 f(x)=?2?x,a,b∈(0,+∞),A=f? ? ? ? 2 ? ? 2ab ? =f?a+b?,则 A、B、C 的大小关系为( ? ? A.A≤B≤C C.B≤C≤A 答案:A 6、设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x,c= A.a C.c 答案:C 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7、否定“任何三角形的外角都至 少有两个钝角”其正确的反设应是________. 答案:存在一个三角形,它的外角至多有一个钝角[来源:学&科&网] 8、已知 a,b 是不相等的正数,x= 答案:x<y 1 9 9、 已知 a, b, μ∈(0, +∞)且a+b=1, 则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是________. 答案:(0,16] 10、(原创题)如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b a+ b ,y= a+b,则 x,y 的大小关系是________. 2 B.b D.不能确定 1 中最大的一个是( 1-x ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A )

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演 步骤.) 11、已知 a, b,c 是不等正数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c<a+b+ c. 证明:∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1, 1 1 1 1 1 1 + + + 1 b c c a a b 1 1 1 ab< 2 + 2 + 2 =a+b+c.

∴ a+ b+ c=

1 bc+

1 ca+

12、已知:a>0,b>0,a+b=1. 求证: 1 a+2+ 1 b+2≤2. 1 b+2≤2. 1 1 (a+2)(b+2)≤4,

证明:要证

1 a+2+

1 1 只要证:a+2+b+2+2 ∵由已知知 a+b=1, 故只要证

1 1 (a+2)(b+2)≤1,

1 1 只要证(a+2)(b+2)≤1, 1 只要证 ab≤4, 1 ∵a>0,b>0,1=a+b≥2 ab,∴ab≤4, 故原不等式成立. 13、△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,a,b,c 分别为三内角 A,B,C 的对边.求

证:

1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 1 1 3 c + = ,只需证明 + =3,只需证明 + a+b b+c a+b+c a+b b+c a+b

解:要证明

a =1,只需证明 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)· (b+c),只需证明 c2+a2=ac+b2. b+c ∵△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,∴B=60° , 则余弦定理,有 b2=c2+a2-2accos60° ,即 b2=c2+a2-ac , ∴c2+a2=ac+b2 成立.故原命题成立,得证.



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