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必修一2.2.2 函数的简单性质---奇偶性2



第2章

函数

2.2.2 函数的简单性质 ---奇偶性

y

y

x
0 ① 0 ②

x

y

y

0

x
0

x




观察下列两个函数图象并思考以下问题: (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?
y y

o

x

f ( x) ? x

o

2

x

f ( x) ? x

x
f ( x) ? x 2

-3 9

-2 4

-1 1 -1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

2 4 2 2

3 9 3 3

x
f ( x) ? x

-3 -2 2 3

对于该函数定义域中任意一个x,都有 f(-x)=f(x)
P ' ?? x0 , f ?? x0 ??
y
● ●

P?x0 , f ?x0 ??
x
f ?? x0 ? ? f ?xo ?

? x0

0

x0

当自变量取一对相反数时,它们的函数值相等

函数图 象关于y 轴对称

对定义域中的任意 一个x,都有f(-x)=f(x)

偶函数的定义 一般的,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于 任意的x∈A,都有f(-x)= f(x),那么称函数y=f(x) 是偶函数(even function)

观察函数f(x)=x和f(x)=-1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?
y y

x
0 0

x

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=1/3=-f(3) f(-2)=1/2=-f(2) f(-1)=1=-f(1)

y

P ' ?? x0 , f ?? x0 ??

? x0



x0
0 ●

x

P?x0 , f ?x0 ??

f ?? x0 ? ? ? f ?xo ?

当自变量取一对相反数时,它们的函数值也互为相反数.

函数图象 关于原点 对称

对定义域中的任
意一个x,都有 f(-x)=-f(x)

奇函数的定义 一般的,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于 任意的x∈A,都有f(-x)= - f(x),那么称函数y=f(x) 是奇函数(odd function )

小结:
用定义判断函数奇偶性的步骤: (1) 先判断定义域是否关于数“0”对称;若不满足则为 非奇非偶函数,若满足则进入(2)

(2) 再判断f(?x)与?f(x)的关系
(3) 下结论:如果对定义域中的任意x都有:f(?x)=f(x) 则为偶函数; f(?x)=-f(x)则为奇函数,否则为非奇 非偶函数

对于定义在 R 上的函数 f ?x ? ,下列判断是否正确? ⑴若 f ?? 2? ? f ?2? ,则函数 f ?x ? 是偶函数; ⑵若 f ?? 2? ? f ?2? ,则函数 f ?x ? 不是偶函数; ⑶若 f ?? 2? ? f ?2? ,则函数 f ?x ? 不是奇函数;
? ? ? ?

⑷若 R 中有无数 x, 满足f ?? x? ? ? f ?x? ,则函数 f ?x ? 是奇函数.



定义:对于f(x)定义域A内的任意一个x,

如果都有f(-x)=-f(x),那么 f(x)为奇函数
如果都有f(-x)=f(x) ,那么 f(x)为偶函数

图像性质:偶函数的图象关于y轴对称,奇函 数的图象关于原点对称,反之亦然.


●判断函数奇偶性的方法:①图像法,②定义法
●用定义判断函数奇偶性的步骤:

(1) 先判断定义域是否关于数“0”对称;若不满足则为 非奇非偶函数,若满足则进入(2) (2) 再判断f(?x)与?f(x)的关系 (3) 下结论:如果对定义域中的任意x都有:f(?x)=f(x)

则为偶函数; f(?x)=-f(x)则为奇函数,否则为非奇
非偶函数

●函数按奇偶性可分为:

①奇函数 ③非奇非偶函数

②偶函数 ④既奇又偶函数

●主要思想方法:数形结合,类比推理,

由特殊到一般。

数 量 关 系 形 式 奇 形 数 结 合 论 奇 偶

,

若奇函数f(x)在 x=0处有定义, 则f(0)=0

? ? ? ?

1.一次函数y=kx+b是奇函数吗? 2.反比例函数是奇函数吗? 3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗? 4.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数,

5、如果函数 是奇函数,求

f ( x) ? x ? bx ? 5x ? d
3 2

b, d

AC=BC

y
(-a,b) (a,b)

0 C

x

关于y轴对称的两点横坐标互为相反数,纵坐标相等

y
(-a,b) (a,b)

0

x

横坐标互为相反数,纵坐标相等的两点关于y轴对称的

关于原点对称的两点横坐标互为相反数,纵坐标也互 为相反数。
y

0

x

横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数的两点关于原 点对称

y

0

x

下列函数具有奇偶性吗? y y

y

-2

0

x
1

0

x

0

x

y?x

2

x ? ?? 2,1?

y ? x ?x ? 1?
3

y ? x2

x ? ?? 2,2?



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