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广东省江门市棠下中学2014-2015学年高二数学上学期10月月考试卷 文(含解析)



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广东省江门市棠下中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学 试 卷(文科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)某礼堂的座椅第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位,依此类 推,那么第十五排的座位个数是() A.

27 B. 33 C. 45 D. 51 2. (5 分)△ABC 中,a=1,b= ,A=30°,则 B 等于() A. 60° B. 60°或 120° C. 30°或 150°

D. 120°

3. (5 分)已知△ABC 中,AB=6,BC=4,∠B=60°,则△ABC 的面积为() A. 6 B. 9 C. 6 D. 9 4. (5 分)在﹣1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则() A. a=2,b=5 B. a=﹣2,b=5 C. a=2,b=﹣5 D. a=﹣2,b=﹣5 5. (5 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 6. (5 分)等比数列{an}中,前 n 项和满足 S5=10,S10=50,则 S15=() A. 210 B. 250 C. 310 D. 350 7. (5 分)已知△ABC 的三边长 a=3,b=4,c= A. B. C. ,则该三角形的最大内角为() D.

8. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A:B:C=3:1:2,则 a:b: c=() A. 1:2:3 B. 3:1:2 C. 1: :2 D. 2:1:

9. (5 分)设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则

的值为()

A.

B.

C.

D. 1

10. (5 分)在△ABC 中,若 bcosA=acosB,则该三角形是() A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分). 11. (5 分)若数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+3n,则数列的项 a5=_. 12. (5 分)cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为. 13. (5 分)一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处; 行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°处.这时船与灯塔的距离为 km. 14. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 ,则数列{an}的通项公式为.
n

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 80 分). 15. (12 分)已知{an}为等差数列,且 a3=﹣6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn; (3)求使得 Sn 取最小值的序号 n. 16. (12 分)已知在△ABC 中,∠A=45°,a=2,c=
2

,解此三角形.

17. (14 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1, (x∈R) . (1)求函数 f(x)的最小正周期. (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

18. (14 分)某地计划从 2006 年起,用 10 年的时间创建 50 所“标准化学校”,已知该地在 2006 年投入经费为 a 万元,为保证计划的顺利落实,计划每年投入的经费都比上一年增加 50 万元. (1)求该地第 n 年的经费投入 y(万元)与 n(年)的函数关系式; (2)若该地此项计划的总投入为 7250 万元,则该地在 2006 年投入的经费 a 等于多少? 19. (14 分)如图所示,某观测站在城 A 南偏西 20°方向的 C 处,由城 A 出发的一条公路, 走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路上距 C 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米可到达城 A?

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20. (14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数列{bn}中, b1=2,点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上; (Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (Ⅲ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

广东省江门市棠下中学 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)某礼堂的座椅第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位,依此类 推,那么第十五排的座位个数是() A. 27 B. 33 C. 45 D. 51 考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 观察座位数的特征:5,7,9.它们的后一项与前一项的差为同一个常数,是等差数 列,从而依据等差数列的通项公式即可求出第 15 项即可. 解答: 解:由于第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位, ∴5,7,9,?构成一个等差数列, 第十五排的座位个数是它的第 15 项, ∴第十五排的座位个数是 5+(15﹣1)×2=33. 故选 B. 点评: 本小题主要类比推理、等差数列的应用、等差数列通项公式等基础知识,考查运算 求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 2. (5 分)△ABC 中,a=1,b= ,A=30°,则 B 等于() A. 60° B. 60°或 120° C. 30°或 150° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得 解答: 解:由正弦定理可得 ,求出 sinB 的值,根据 B 的范围求得 B 的大小. ,∴ ,∴sinB= .

D. 120°

又 0<B<π ,∴B=





故选 B. 点评: 本题考查正弦定理的应用,根据三角函数的值求角的大小,由 sinB 的值求出 B 的大 小是解题的易错点.

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3. (5 分)已知△ABC 中,AB=6,BC=4,∠B=60°,则△ABC 的面积为() A. 6 B. 9 C. 6 D. 9 考点: 专题: 分析: 解答: 三角形的面积公式. 解三角形. 直接利用三角形的面积公式求解即可. 解:△ABC 中,AB=6,BC=4,∠B=60°, = =6 .

则△ABC 的面积为 S=

故选:C. 点评: 本题考查三角形的面积的求法,基本知识的考查. 4. (5 分)在﹣1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则() A. a=2,b=5 B. a=﹣2,b=5 C. a=2,b=﹣5 D. a=﹣2,b=﹣5 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 在﹣1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,即﹣1,a,b,8 成等差 数列, 利用等差数列的性质列出关于 a 与 b 的方程组, 求出方程组的解集即可得到 a 与 b 的值. 解答: 解:根据题意得:﹣1,a,b,8 成等差数列, ∴2a=﹣1+b①,2b=a+8②, 由①得:b=2a+1, 将 b=2a+1 代入②得:2(2a+1)=a+8,即 3a=6, 解得:a=2, 将 a=2 代入得:b=2a+1=5, 则 a=2,b=5. 故选 A 点评: 此题考查了等差数列的性质,利用了方程的思想,熟练掌握等差数列的性质是解本 题的关键. 5. (5 分)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于() A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的通项公式化简 a1+a4+a7=39 和 a3+a6+a9=27,分别得到①和②,用②﹣ ①得到 d 的值,把 d 的值代入①即可求出 a1,根据首项和公差即可求出前 9 项的和 S9 的值. 解答: 解:由 a1+a4+a7=3a1+9d=39,得 a1+3d=13①, 由 a3+a6+a9=3a1+15d=27,得 a1+5d=9②, ②﹣①得 d=﹣2,把 d=﹣2 代入①得到 a1=19, 则前 9 项的和 S9=9×19+ 故选 B. ×(﹣2)=99.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,是一道中 档题. 6. (5 分)等比数列{an}中,前 n 项和满足 S5=10,S10=50,则 S15=() A. 210 B. 250 C. 310 D. 350 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先根据{an}为等比数列判断出 S5,S10﹣S5,S15﹣S10,进而求得 10,40,S15﹣50 也为 等比数列,利用等比中项的性质求得 S15. 解答: 解:∵数列{an}为等比数列, ∴S5,S10﹣S5,S15﹣S10,也为等比数列, ∵S5=10,S10=50, ∴10,40,S15﹣50 也为等比数列, ∴S15=210, 故选:A 点评: 本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解 答,注意等比中项公式的应用. 7. (5 分)已知△ABC 的三边长 a=3,b=4,c= A. B. C. ,则该三角形的最大内角为() D.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 判断得到 C 为最大角,利用余弦定理表示出 cosC,把三边长代入求出 cosC 的值,即 可确定出 C 的度数. 解答: 解:∵a<b<c, ∴C 为最大角, ∵△ABC 的三边长 a=3,b=4,c= , ∴由余弦定理得:cosC= 则该三角形最大内角 C 为 . = =﹣ ,

故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 8. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A:B:C=3:1:2,则 a:b: c=() A. 1:2:3 B. 3:1:2 C. 1: :2 D. 2:1: 考点: 正弦定理.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 解三角形. 分析: 由三角形三角之比求出各自的度数,进而求出 sinA,sinB,sinC 之比,利用正弦定 理求出三边之比即可. 解答: 解:∵在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A:B:C=3:1:2, ∴A=90°,B=30°,C=60°, 即 sinA:sinB:sinC=1: : =2:1: ,

利用正弦定理得:a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:1: , 故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理,以及内角和定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

9. (5 分)设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则

的值为()

A.

B.

C.

D. 1

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先利用等比数列的通项公式分别表示出 a2,a3,a4,代入原式化简整理,进而利用公 比求得答案. 解答: 解:根据题意, = = =

故选 A 点评: 本题主要考查了等比数列通项公式的应用.考查了学生对等比数列基础知识的掌握 和灵活利用. 10. (5 分)在△ABC 中,若 bcosA=acosB,则该三角形是() A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 应用正弦定理和已知条件,得到 sin(A﹣B)=0,故有 A﹣B=0,得到△ABC 为等腰三 角形. 解答: 解:∵在△ABC 中,acosB=bcosA, 由正弦定理可得,sinAcosB=cosAsinB,即 sinAcosB﹣cosAsinB=0, ∴sin(A﹣B)=0. 由﹣π <A﹣B<π 得,A﹣B=0, 则△ABC 为等腰三角形, 故选:A.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了三角形的形状判断,涉及的知识有正弦定理,两角和与差的正弦函数公 式,以及正弦函数的图象与性质,根据三角函数值求角的大小,推出 sin(A﹣B)=0 是解题 的关键. 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分). 11. (5 分)若数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+3n,则数列的项 a5=_94. 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+3n,可得 a2=2a1+3=5,同理可得 a3,a4,a5. 解答: 解:∵数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+3n, ∴a2=2a1+3=5,同理可得 a3=16,a4=41,a5=94. 故答案为:94. 点评: 本题考查了递推式的应用,属于基础题.

12. (5 分)cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由两角和与差的余弦函数公式化简后即可求值. 解答: 解:cos45°cos15°+sin15°sin45°=cos(45°﹣15°)=cos30°= 故答案为: . .

点评: 本题主要考察了两角和与差的余弦函数,属于基本知识的考查. 13. (5 分)一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°处; 行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°处.这时船与灯塔的距离为 30 km. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题意画出相应的图形,求出∠B 与∠BAC 的度数,再由 AC 的长,利用正弦定理 即可求出 BC 的长. 解答: 解:根据题意画出图形,如图所示,可得出∠B=75°﹣30°=45°, 在△ABC 中,根据正弦定理得: = ,即 = ,

∴BC=30 km, 则这时船与灯塔的距离为 30 故答案为:30

km.

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点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 14. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 ,则数列{an}的通项公式为 .
n

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 当 n=1 时,直接由前 n 项和求首项,当 n 大于等于 2 时,由 an=Sn﹣Sn﹣1 求解. n 解答: 解:由 Sn=3+2 , 当 n=1 时,a1=S1=5. 当 n≥2 时, .

所以



故答案为



点评: 本题考查了数列的概念及简单表示法,考查了由前 n 项和求通项,注意分类讨论, 是基础题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 80 分). 15. (12 分)已知{an}为等差数列,且 a3=﹣6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn; (3)求使得 Sn 取最小值的序号 n. 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等差数列的公差,由已知列方程求得首项和公差,则通项公式可求; (2)直接由等差数列的前 n 项和得答案; (3)把等差数列的前 n 项和配方,利用二次函数的性质求得使得 Sn 取最小值的序号 n. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差 d, ∵a3=﹣6,a6=0,

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解得 a1=﹣10,d=2, ∴an=﹣10+(n﹣1)?2=2n﹣12; (2)由(1)得 (3)由(2)得
*

; ,

∵n∈N ,∴当 n 为 5 或 6 时,Sn 有最小值. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题. 16. (12 分)已知在△ABC 中,∠A=45°,a=2,c= ,解此三角形.

考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: 直接利用正弦定理求出 C,然后分别求出 B,以及 b 即可. 解答: 解:由正弦定理得 sin C= sin 45°= ? = ?(3 分)

∵a=2,c= ,∴c>a,?(4 分) ∴本题有二解,即∠C=60°或∠C=120°,?(6 分) 1)当∠C=60°时,∠B=180°﹣60°﹣45°=75°,由 b= 2)当∠C=120°时,∠B=180°﹣120°﹣45°=15°.由 b= sin B 得 b= sin B 得 b= +1;?(9 分) ﹣1?(12 分)

点评: 本题考查正弦定理的应用,三角形的解法,注意角的大小,防止错解. 17. (14 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1, (x∈R) . (1)求函数 f(x)的最小正周期. (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理,进而根据三角函数的性 质求得函数的最小正周期. (2)根据 x 的范围,确定 2x+ 小值. 解答: 解: (1) = = , = 的范围,最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴函数 (2)∵ 又 ∴函数 在区间 , 在区间 上的最大值为 2,最 的最小正周期为 π . 上为增函数,在 上为减函数,

小值为﹣1. 点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图象与性质.考查了学生对三 角函数基础知识的灵活运用. 18. (14 分)某地计划从 2006 年起,用 10 年的时间创建 50 所“标准化学校”,已知该地在 2006 年投入经费为 a 万元,为保证计划的顺利落实,计划每年投入的经费都比上一年增加 50 万元. (1)求该地第 n 年的经费投入 y(万元)与 n(年)的函数关系式; (2)若该地此项计划的总投入为 7250 万元,则该地在 2006 年投入的经费 a 等于多少? 考点: 数列的应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的通项公式即可得出; (2)利用等差数列的前 n 项和公式即可求出. 解答: 解: (1)根据题意,从 2006 年~~,该地每年投入的经费(单位:万元)依次可以 构成一个等差数列{an},其中首项 a1=a,d=50. ∴y=an=a1+(n﹣1)d=50n+a﹣50 (n∈N+,且 n≤10) . (2)根据题意,此项计划的总投入为 又 S10=7250,∴10a+2250=7250,解得 a=500, 因此,该地在 2006 年投入的经费 a=500 万元. 点评: 熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式是解题的关键. 19. (14 分)如图所示,某观测站在城 A 南偏西 20°方向的 C 处,由城 A 出发的一条公路, 走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路上距 C 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去,走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米可到达城 A? .

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考点: 正弦定理. 专题: 应用题. 分析: 先求出 cos∠BDC,进而设∠ADC=α ,则 sinα ,cosα 可求,在△ACD 中,由正弦定 理求得得 AD,答案可得. 解答: 解:由已知得 CD=21,BC=31,BD=20, 在△BCD 中,由余弦定理得 cos∠BDC= =﹣ ,

设∠ADC=α ,则 cosα = ,sinα = 在△ACD 中,由正弦定理得

, = ,

AD=

sin(

+α )



× + ×

)=15,

即所求的距离为 15 公里. 点评: 本题主要考查了解三角新的实际应用.解题的关键是利用正弦定理,利用边和角的 关系求得答案. 20. (14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,等差数列{bn}中, b1=2,点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上; (Ⅰ)求 a1 和 a2 的值; (Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (Ⅲ)设 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列的函数特性;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由于 an 是 Sn 与 2 的等差中项,可得 2an=Sn+2,分别令 n=1,2 即可得出 a1,a2;

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(II)设等比数列{an}的公比为 q,则

= =2,利用通项公式

即可得出;由

于点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上,可得 bn+1=bn+2,即 bn+1﹣bn=2,利用等差数列的通项公式就 看得出. (III) ,利用“错位相减法”即可得出.

解答: 解: (I)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项,∴2an=Sn+2, 当 n=1 时,2a1=a1+2,解得 a1=2; 当 n=2 时,2a2=a1+a2+2,∴a2=2+2=4. (II)设等比数列{an}的公比为 q,则 = =2,



=2×2

n﹣ 1

=2 .

n

∵点 P(bn,bn+1)在直线 y=x+2 上, ∴bn+1=bn+2,即 bn+1﹣bn=2; ∴bn=2+(n﹣1)×2=2n. (III)
2 3 n+1



∴Tn=1?2 +2?2 +?+n?2 , 3 4 n+1 n+2 2Tn=1?2 +2?2 +?+(n﹣1)?2 +n?2 , ∴﹣Tn=2 +2 +?+2 ﹣n?2 = ∴ .
2 3 n+1 n+2

﹣n?2 =2 ﹣4﹣n?2 =(1﹣n)?2 ﹣4,

n+2

n+2

n+2

n+2

点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“错位相减法”等基 础知识与基本技能方法,属于难题.

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