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高中数学公式汇总(上海版)



集合命题不等式公式
1、 CU ( A ? B) =_____ CU A ? CU B ____; CU ( A ? B) =_____ CU A ? CU B ______。 2、A ? B ? A ? __ A ? B ___;A ? B ? B ? __ A ? B __; U B ? CU A ? __ A ? B ___; C ____ A ? C B? ?

? A ? B ____; CU A ? B ? U ? ______ A ? B _____。 U 3、含 n 个元素的集合有:__ 2 __个子集,__ 2 ? 1 __个真子集,__ 2 ? 1 __个非空子集,
n n n

__ 2 ? 2 __个非空真子集。 4、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 否 至少有一个 一个都没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 小于等于 至少有 n 个 至多 n-1 个 小于 大于等于 至多有 n 个 至少 n+1 个 至少有一个 x 不成 对所有 x 都成立 P或q (非 p) (非 q) 且 立 对任何 x 都不成立 至少有一个 x 成立 P且q (非 p) (非 q) 或 5、四种命题的相互关系:__原命题___与___逆否命题__互为等价命题;____否命题____与 ____逆命题___互为等价命题。 6、若 p ? q ,则 p 是 q 的___充分____条件;q 是 p 的____必要____条件。 7、基本不等式: 2 2 (1) a, b ? R :________ a ? b ? 2ab _____________等且仅当 a ? b 时取等号。
n

(2) a, b ? R ? :__________ a ? b ? 2 ab __________等且仅当 a ? b 时取等号。 (3)绝对值的不等式:__________ || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | _________ 8、均值不等式:

a?b a 2 ? b2 _______ ______ ? _____ ab _____ ? ___ ___ ? ___ ____ a, b ? R 时, 1 1 2 2 ? a b
?

2

等且仅当 a ? b 时取等号。 9、分式不等式:

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0? ? g ( x) ? g ( x) ? 0

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0? ? g ( x) ? g ( x) ? 0

10、 绝对值不等式: | f ( x) |? a(a ? 0) ? ____ f ( x) ? ?a或f ( x) ? a ________________

| f ( x) |? a(a ? 0) ? ____ ? a ? f ( x) ? a __________
11、指、对数不等式: (1) a ? 1 时:

a f ( x ) ? a g ( x ) ? _____ f ( x) ? g ( x) _______ log a f ( x) ? log a g ( x) ? _______ 0 ? f ( x) ? g ( x) ________ a f ( x ) ? a g ( x ) ? ______ f ( x) ? g ( x) ________ log a f ( x) ? log a g ( x) ? ______ f ( x) ? g ( x) ? 0 ________

(2) 0 ? a ? 1 时:

高中数学公式汇总第 1 页 共 20 页

函数公式
1、函数 y ? f (x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为 2、一元二次函数解析式的三种形式:
2

1



b 2 4ac ? b 2 ) ? (a ? 0) _; 一般式: y ? ax ? bx ? c (a ? 0) __;顶点式: y ? a( x ? 2a 4a

?b+ b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac )( x ? ) (a ? 0) ___________。 2a 2a 3、二次函数 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , x ?[m, n] 的最值: b ? ? ?n ? f ( n) b m?n 2a ? ? ? f ( m) ? 2 a ? 2 b b ? ? 0 ym i n? ? f (? ) m ? ? ?n 1 、 a ? 0 时, ymax ? ? 2a 2a ? ? f ( n) ? b ? m ? n ? b ? 2a 2 ? ? ?m ? f ( m) 2a ? b ? f (n) ? ?n ? b m?n 2a ? ? ? f ( m) ? 2 a ? 2 b b ? ? ) m?? ? n ym i n? ? 20、 a ? 0 时, ymax ? ? f ( ? 2a 2a ? ? f ( n) ? b ? m ? n b ? ? 2a 2 ? ? ?m ? f (m) 2a ? 4、奇函数 f (? x) ? _____ ? f ( x) _____,函数图象关于 原点 对称; 偶函数 f (? x) ? _____ f ( x ) ____=___ f (| x |) ___,函数图象关于 y轴 对称。 奇函数若在 x=0 有意义,则 f (0) = 0 5*、若 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) =______ f (? x ? a) _______;
零点式:____ y ? a( x ? 若 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) =______ f (? x ? a) _______。 6、函数 y ? f ( x) 在 x ?[m, n] 单调递增(减)的定义:_____________任取 x1 , x2 ?[m , n] , 且 x1 ? x2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 y ? f ( x) 在 x ?[m, n] 单调递增;若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则函数 y ? f ( x) 在 x ?[m, n] 单调递减________。 7、如果函数 f ( x ) 和 g ( x) 在 R 上单调递减,那么 f ( x) ? g ( x) 在 R 上单调递__减___,

f [ g ( x)] 在 R 上单调递___增____。
8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调 性。 (填写“相同”或“相反” )
?1 9、互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? ___ f (b) ? a _____。

10、 y ? f (x) 与 y ? f
?1

( x) 互为反函数,设 f (x) 的定义域为 D,值域为 A,则有 f [ f ( x)] ? ____ x( x ? A) _____; f ?1[ f ( x)] ? ______ x( x ? D) ______。

?1

11、定义域上的单调函数一定有反函数。 (填写“一定有”“可能有”“一定没有” , , ) 12、奇函数如果存在反函数,则反函数的奇偶性 奇函数 ; 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 (填写“相同”或“相反” ) 13、 函数 y ? f (x) 的图像向右移 a 个单位, 上移 b 个单位, 得函数____ y ? f ( x ? a) ? b ____ 的图像; 曲线 f ( x, y) ? 0 的图像向右移 a 个单位, 上移 b 个单位, 得曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图像。

高中数学公式汇总第 2 页 共 20 页

1、函数图像的对称性与周期性 (1)一个函数 y ? f (x) 本身的对称性与周期性 解析式满足 图像满足

f (a ? x) ? f (b ? x) f (a ? x) ? ? f (b ? x) f (a ? x) ? f (b ? x) f (a ? x) ? ? f (b ? x)
图像对称性 同时关于 x ? a, x ? b 对称 同时关于 (a,0), (b,0) 对称 同时关于 x ? a, (b,0) 对称 (2)两个函数图像的对称性:

? 关于直线 x ? ? ?
?
关于点 (

a?b 对称 2

a?b ,0) 对称 2

以 | a ? b | 为周期 以 2 | a ? b | 为周期

图像周期性

? ? ?

以 2 | a ? b | 为周期 以 2 | a ? b | 为周期 以 4 | a ? b | 为周期

y ? f (a ? x), y ? f (b ? x) 图像关于 x ?
y ? f (a ? x), y ? ? f (b ? x) 图像关于 (

b?a 对称; 2

b?a ,0) 对称; 2

y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 图像关于____直线 y ? x _____对称。
2、写出满足下列恒等关系的一个(组)具体的函数: 恒等关系 具体函数

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y )

y ? kx

y ? a x (a ? 0且a ? 1) y ? loga x (a ? 0且a ? 1) y ? xk (k为有理数)
y ? tan x
y ? cos x
y ? cos x

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) f ( xy) ? f ( x) f ( y)

f ( x ? y) ?
** f ( x) f ( y ) ?

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

1 [ f ( x ? y ) ? f ( x ? y )] 2
x? y x? y )f( ) 2 2

** f ( x) ? f ( y ) ? 2 f (

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幂指对函数公式
1、 a n ? ___ n a m _____, a
m ? m n

? ____

1
n

a

m

______(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

2、 ( n a )n ? _____ | a | _____, n a n ? ? 3、有理指数幂的运算性质:

? ___a___ ? ___ ? a___

n为奇数 n为偶数

ar as ? ___ ar ?s ____;(ar )s ? ____ ar s ______;(ab)r ? ___ ar br ___.(a ? 0, b ? 0, r, s ? Q) 4、指数式与对数式的互化: loga N ? b ? _____ ab ? N ______.(a ? 0, a ? 1, N ? 0)
5、对数换底公式:log a N ? _

n log c N _ .(a ? 0, a ? 1, N ? 0) ,推论:log am b n ? ? log a b m log c a

6、对数的四则运算: (a ? 0, a ? 1, M , N ? 0)

M ? log a M ? log a N ;log a M n ? n ? log a M N loga N ? _______N_________ (a ? 0, a ? 1, N ? 0) 7、对数恒等式 a ? 8、幂函数: y ? x ( ? 为常数,? ? 0 ) ,图像恒过点(1,1) ,画出幂函数在第一象限的 log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;log a
图像。

? >1

? =1

0< ? <1

? <0

9、指数函数与对数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
定义域 值域 奇偶性 单调性 a>1 增 R

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
(0,??)
R 非奇非偶

(0,??)
非奇非偶 0<a<1 减 a>1 增

0<a<1 减

图像

高中数学公式汇总第 4 页 共 20 页

三角比公式
1、设 ? 终边上任意一点坐标为 P( x, y) ,这点到原点的距离为 r ? 则 sin ? ?

x 2 ? y 2 (r ? 0) ,

y x y x r r , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? ,sec ? ? , csc ? ? 。 r r x y x y 2 2 2 2 2 2 2、同角三角比公式:平方关系:1= cos ? ? sin ? = sec ? ? tan ? = csc ? ? cot ? 。 sin ? ? cos ? (? ? k? ? , k ? Z ) cot ? ? (? ? k? , k ? Z ) 商数关系: tan ? ? cos ? 2 sin ? ? ? ? 倒数关系: sin ? csc? ? 1(? ? k? , k ? Z ) c o s s e c ? 1(? ? k? ? , k ? Z ) 2 k? tan ? cot ? ? 1(? ? ,k ? Z) 2
3、两角和与两角差公式:

sin(? ? ? ) ? ___ sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) ____; tan(? ? ? ) ? __ cos(? ? ? ) ? ___ cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ___。

tan ? ? tan ? ___ 1 ? tan ? tan ?

4、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? __ a ? b sin( x ? arctan ) ___(a ? 0)
2 2

b a

5、二倍角公式

sin 2? ? 2sin ? cos ? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 ? sin 2 ? ; 2 tan ? ? k? ? tan 2? ? _ __(? ? k? ? , ? ? ? ,k ? Z) 2 1 ? tan ? 2 2 4 ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 6、半角公式: sin ? ? ; cos ? ? 2 2 2 2

tan

?
2

??

1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ? (? ? k? , k ? Z ) 1 ? cos? sin ? 1 ? cos?

7、万能置换公式:

sin ? ?

2 tan

?

1 ? tan
其中 ? ? k? ?

2 ?

2 , cos? ? 2

1 ? tan2 1 ? tan

?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2 。

2 ?

1 ? tan2

?

?
2

2

, ? ? 2k? ? ? (k ? Z )

8、 (理)三角比的积化和差与和差化积公式

1 1 sin ? cos ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] cos ? sin ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 2 , 1 1 cos ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 2 , ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 sin cos sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 , 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 , 2 2 a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 是三角形外接圆半径。 9、正弦定理: sin A sin B sin C

高中数学公式汇总第 5 页 共 20 页

10、余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ; cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 。 2bc

11 、 三 角 形 面 积 公 式 : S ?

1 1 ab sin C ? 2 2

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) , 其中p ?

a?b?c 2

x1 1 ? x2 2 x3

y1 1 y2 1 ? y3 1

1 2

??? 2 ???? 2 ??? ???? 2 ? ? AB AC ? ( AB ? AC )

(第三格用行列式表示,第四格用向量表示)

诱导公式
1、 1 ?
o

?
180

rad , 1rad ?

180

o

?
1 1 lR = ?R 2 2 2

2、扇形的弧长公式 l ? ? R ;扇形的面积公式 S ?

3、在直角坐标系中用“+”“—”标出各个三角比在各个象限中的符号。 、

sin ?

cos?

tan ?

cot ?

sec?

csc?

( 4、诱导公式 k ? Z )
诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限

高中数学公式汇总第 6 页 共 20 页

三角函数图像与性质
名称 解析式 定义域 值域 增区间 减区间 奇偶性 周期性 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数

y ? sin x
x?R
y ? ?? 1,1?

y ? cos x
x?R
y ? ?? 1,1?

y ? tan x
x ? k? ?

y ? cot x
x ? k? , k ? Z

?
2

,k ?Z

y?R

y?R

? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? ?

?2k? ? ? ,2k? ?

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?



? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? ?
奇函数 周期 2k? , k ? 0 最小正周期 2?
x ? 2k? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
偶函数 周期 2k? , k ? 0 最小正周期 2?
x ? 2k? , y max ? 1

无 奇函数 周期 k? , k ? 0 最小正周期 ?

?k? , k? ? ? ?
奇函数 周期 k? , k ? 0 最小正周期 ?

?
2 2

, y max ? 1

最值
x ? 2k? ?

?

无最大(小)值
x ? 2k? ? ? , y min ? ?1

无最大(小)值

, y min ? ?1

零点 对称轴 对称中心

x ? k?
直线 x ? k? ? 点 (k? ,0)

x ? k? ?

?
2

x ? k?
无 点(

x ? k? ?
无 点(

?
2

?
2

直线 x ? k? 点 (k? ?

?
2

,0)

k? ,0) 2

k? ,0) 2

图象

(一)弦曲线 y ? A sin( x ? ? ) 的物理意义 ? 1、 振幅 A:表示离开平衡位置的最大值 2、 周期 T ? 2? ,表示往复振动一次所需的时间 ? 其他 3、 频率 f ? 1 ? ? ,表示单位时间内往复振动 T 2? 次数 4、 ?x ? ? 叫做相位, ? 叫做初相; x ? ? ? 表示 ? 相位移。 初相 ? 表示振动开始时物体的位置。

(二)参数 A, ? , ? , m 对 y ? A sin( x ? ? ) 图象影响 ? 1、 位置变化
y ? sin(x ? ? ) 左右平移 y ? sin x ? m 上下平移

2、 形状变化
y ? A sin x 上下伸缩 y ? sin?x 左右伸缩

高中数学公式汇总第 7 页 共 20 页

反三角函数与三角方程
反三角函数图像与性质 名称 解析式 定义域 值域 增区间 减区间 奇偶性 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
y ? arccot x

y ? arcsin x
x ? ?? 1,1?

y ? arccos x
x ? ?? 1,1?

y ? arctan x
x?R
y ? (?

x?R
y ? (0, ? )

y ? [?

? ?

, ] 2 2

y ? ?0, ? ?

? ?

, ) 2 2

?? 1,1?
无 奇函数
x ? 1, y max ?



R


R

?? 1,1?
非奇非偶函数

无 奇函数

非奇非偶函数

?
2

x ? ?1, y max ? ?

最值

x ? ?1, y min ? ?

?
2

无最大(小)值
x ? 1, y min ? 0

无最大(小)值

零点 对称轴 对称中心

x?0


x ?1


x?0


无 无 点 (0, )

(0 , 0)

(0 ,

?
2

)

(0 , 0)

?

2

图象

2、恒等式(写明 x 的取值范围):
arcsin(sinx) ?

, ] ; arccos(cosx) ? x, x ? [0, ? ] ; arctan(tanx) ? x, x ? (? , ) 2 2 2 2 sin(arcsinx) ? x, x ?[?1,1] ; cos(arccosx) ? x, x ?[?1,1] ; tan(arctan ) ? x, x ? R x x, x ? [ ?
arcsin(? x) ? arctan(? x) ?

? ?

? ?

? arcsin x,x ? [?

? ?

, ] ; arccos(? x) ? 2 2

? ? arccosx,x ? [0, ? ] ;

? arctan x, x ? (?

? ?

, ) ; arcsin x ? arccos x ? , x ? [ ?1,1] 2 2 2
方程 方程的解集

?

3、最简单的三角方程: 方程 方程的解集

sin x ? a , | a |? 1
, | a |? 1

{x | x ? k? ? (?1) arcsin a, k ? Z} sin x ? sin ?
k

{x | x ? 2k? ? ?或2k? ? ? ? ? , k ? Z}
{x | x ? 2k? ? ? , k ? Z}
{x | x ? k? ? ? , k ? Z}

cos x ? a
tan x ? a

{x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z}

cosx ? cos?
tan x ? tan ?

{x | x ? k? ? arctana, k ? Z }

高中数学公式汇总第 8 页 共 20 页

数列公式
等差数列 {an } 定义 通项公式 通项公式的 推导方法 推广的通项 公式 时 等比数列 {an }

an?1 ? an ? d , (n ? N * )
an ? a1 ? (n ? 1)d
累加法

an?1 ? q, (an ? 0, q ? 0, n ? N * ) an

an ? a1q n?1
累乘法

an ? am ? (n ? m)d

an ? am q n?m

m?n ? p?q

am ? an ? a p ? aq
Sn ? n( a1 ? a n ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2
倒序相加法

am an ? a p aq
( q ? 1) ( q ? 1) ?na1 ?na1 ? ? n S n ? ? a1 ? an q ? ? a (1 ? q ) (q ? 1) ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? ? 1? q
错位相减法

求和公式

前 n 项和公式 推导的方法:

Sn , S2n , S3n
间的关系

2(S2n ? Sn ) ? Sn ? (S3n ? S2n )
等差中项: an ?

(S2n ? Sn )2 ? Sn ? (S3n ? S2n ) an 2 ? an?1 ? an?1 (充分非必要)
n ? 2 , n ? N* Sn ? A ? qn ? (? A)

充要条件

an ?1 ? an ?1 , 2

n ? 2 , n ? N* Sn = An2 ? Bn

2、a 与 b 的等差中项____

a?b _______;a 与 b 的等比中项_____ ? ab _______。 2

3、数列的通项公式与前 n 项和的关系: an ? ?

(n ? 1) ? S1 。 S n ? S n ?1 (n ? 2, n ? N * ) ?

4、an ? kan?1 ? b (k≠0,k≠1,b≠0) 求通项时, , 将该式变形 an ? b ? k (an ?1 ? b ) k ?1 k ?1

( n ? 2 , n ? N* ) 。 5、已知 {an } 为等差数列, {bn } 为等比数列,则 (1)求数列 {an ? bn } 前 n 项和用分组求和法; (2)求数列 {an ? bn } 前 n 项和用错位相减法; 1 (3)求数列 { } 前 n 项和用裂项相消法。 an an ?1
| q |? 1 ? 0 1 ? n q ?1 6、 lim =__0__; lim C =__ C __; (其中 C 为常数) lim q ? ? 1 , n ?? n ?? n ?? n ?不存在 | q |? 1或q ? ?1 ? a 7、无穷等比数列各项和: S ? lim S n ? 1 ,其中公比 q 的取值范围为__ | q |? 1, q ? 0 __ n?? 1? q ( 8 、 已 知 lim a n ? A , lim bn ? B , 则 l i m a n ? bn ) ? A ? B ; lim( a n ? bn ) ? A ? B ;
n?? n?? n ?? n ??

lim

an A ? (bn ? 0, B ? 0) n ?? b B n
高中数学公式汇总第 9 页 共 20 页

矩阵行列式公式
1、通过对线性方程组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解,这里所用的矩阵变换有下 列三种: (1)互换矩阵的两行; (2)把某一行同乘(除)以一个非零的数; (3)某一行乘以一个数加到另一行。 通过上述三种矩阵变换, 使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时, 其增广矩阵的最后一个列 向量给出了方程的解。 2、已知矩阵 An?k ,矩阵 Bk ?m ,矩阵 Cn?m ,如果矩阵 C 中第 i 行,第 j 列的元素 cij 为 A 的 第 i 个行向量与 B 的第 j 个列向量的数量积, i ? 1, 2,?n, j ? 1, 2,?n ,那么 C=AB。 (1)只有当 A 的列数和 B 的行数相等时,矩阵之积 AB 才有意义; (2)一般的, AB ___ ? ____ BA 。 (填 ? 或 ? )

? 4? ? 4 8 12 ? ? ? ? ? 例如:若 A ? ?1 2 3? , B ? ? 5 ? ,则 AB= ? 32? , BA= ? 5 10 15 ? 。 ? 6 12 18 ? ?6? ? ? ? ?

? x? ?a b? ? x'? ? ,就可以得到另一个向量 ? ? ,即 ? y? ?c d ? ? y '? ? x ' ? ? a b ?? x ? ? ?? ? ?? ? ,这个矩阵变换把向量 ? x y ? 变换成向量 ? x ' y '? 。 y ' ? ? c d ?? y ? ? a1 b1 c1 4、 a2 b2 c2 按对角线法则展开 a1b2c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b2c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 a3 b3 c3
3、矩阵变换:向量 ? ? 的左边乘一个 2 阶方阵 ? 按第一行展开 a1

b2 b3

c2 c3 a1

? b1 b1

a2 a3

c2 c3

? c1

a2 b2 a3 b3



c2 的代数余子式是 ?
5、二元一次方程 ?

a3 b3
b1 c1 ,Dx= b2 c2 b1 a1 ,Dy= b2 a2 c1 c2

a1 ? a1 x ? b1 y ? c1 记 D= a2 ? a2 x ? b2 y ? c2

Dx ? ?x ? D ? 当 D ? 0 时,方程组有唯一解,其解为 ? ; ? y ? Dy ? ? D 当 D ? 0, 且Dx ? 0或Dy ? 0 时,方程组无解;
当 D ? Dx ? Dy ? 0 时,方程组有无数多解。

? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 6、三元一次方程 ? a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3 a1
记 D= a2

b1 b2 b3

c1

d1

b1 b2 b3

c1

a1

d1 d2 d3

c1

a1

b1 b2 b3

d1 d2 d3

a3

c2 ,Dx= d 2 c3 d3

c2 ,Dy= a2 a3 c3

c2 ,Dz= a2 c3 a3

高中数学公式汇总第 10 页 共 20 页

? ?x ? ? ? 当 D ? 0 时,方程组有唯一解,其解为 ? y ? ? ? ?z ? ? 当 D ? 0 时,方程组无解或有无穷多解。
7、算法部分请看书

Dx D Dy D Dz D



? ? ? ? ? ? 1、向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? 2 ) ,a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , y ? ? ? ? ? ? a ? (? x1 , ? y1 ) , a ? b ? | a || b | cos? = x1 ? x2 ? y1 ? y2 , 向 量 夹 角 ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 2 2 cos ? ? ? ? = , | a |? x1 ? y1 。 2 2 2 2 | a || b | x1 ? y1 x2 ? y2 ? ? 2、设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? a / / b ? a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? a ? b ? ? | a || b | ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? | a ? b |?| a ? b |
3、向量 a 与向量 b 夹角为锐角 ? a ? b ? 0且a不平行于b 4、向量 a 在向量 b 上的投影为 | a | cos ? 5、定比分点公式:P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) , PP ? ? PP ,则 P 坐标为 ( 1 2 1 2 6、 ?ABC 顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ,则 ?ABC 重心坐标为

向量复数公式

? ?

?

?

?

?

?

??? ?

????

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 , )。 1? ? 1? ?

(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , )。 3 3

7、三角形四心定义:内心:三角形角平分线的交点; 外心:三角形中垂线的交点; 重心:三角形中线的交点; 垂心:三角形高的交点; 三角形四“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点, a, b, c 是 A, B, C 对应的边。

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OA ?OC
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC

高中数学公式汇总第 11 页 共 20 页

(4)

??? ? ???? ??? ? AB AC AP ? ? ( ??? ? ???? ) ( ? ? R ),则 P 的轨迹过三角形的内心 ? AB AC

8、A、B、C 三点共线 ? AB ? ? AC (? ? 0) ? OA ? tOB ? (1 ? t )OC( OA 、OB 、OC 的关系式) 9、复数 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,则 | z | = a 2 ? b2 ; z 是纯虚数 ? a ? 0 , b ? 0 。 10、 | z1 ? z2 | 的几何意义是: Z1 , Z 2 两点间的距离。 11、 | z 2 | ? | z |2 ? z ; | a | ? | a |2 ? a (填写 ?, ? )
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?2

?

?2

12、 z ? R ? z ? z 。 13、负实数 a 的平方根是 ? ?a ? i 。 14、实数 a 的立方根是 3 a , 15 、 实 系 数

?1 ? 3i 3 ? a。 2
一 元 二 次 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0





? ? ? ? x?? ? ? ? ?

?b ? 2 b4 _ _ 2a b _ ?_ 2a ?b ? a 4 _ _ _ 2a

? a _
2

c ?_

_ _ i ?_ ?

_ _ _
2

_ _ _

_

_ 0 _ _

>

0

_? _ ? _ c? b ?

_

_

_

_

0

16 、 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 两 根 为 x1 , x2 , 则

? ( x ? x )2 ? 4 x x ? 1 2 | x1 ? x2 | = ? 1 2 | 2b | ? ?

??0 。 ??0

高中数学公式汇总第 12 页 共 20 页

直线公式
1、已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 k AB ?

y1 ? y 2 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 1 | y1 ? y 2 | k2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = 1 ?

2、直线的方程: (应用以上直线方程时应考虑其存在的条件) (1)点方向式:

x ? x0 y ? y 0 ? (过 P( x0 , y0 ) ,一个方向向量为 (u , v ) , uv ? 0 ) u v

当 u ? 0 时,该直线方程为 x ? x0 ;当 v ? 0 时,该直线方程为 y ? y0 (2)点法向式: a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 (过 P( x0 , y0 ) ,一个法向量为 ( a, b) ) (3)点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (过 P( x0 , y0 ) ,斜率为 k) 当斜率不存在时,该直线方程为 x ? x0 (4)一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为零) (5)斜截式: y ? kx ? b (斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b) 当斜率不存在时,该直线方程为 x ? 0 (6)(理)参数方程: ?

? x ? x0 ? ut (过 P( x0 , y0 ) ,一个方向向量为 (u , v ) ) ? y ? y0 ? vt

(7)(理)参数方程: ?

? x ? x0 ? t cos ? (过 P( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? ) ? y ? y0 ? t sin ?

3、直线斜率 k 和倾斜角 ? 的关系:

k ? tan ? , ? ? [0, ) ? ( , ? ) ; 2 2

?

?

(k ? 0) ? arctank ?? (k不存在) ? =? ?2 ? ? ? arctank (k ? 0)
? ?
a b

4、已知直线的法向量为 n ? (a , b) ,则该直线的方向向量为 d ? (b , ? a) ,斜率为 k ? ? (b ? 0 ) 5、两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2

?

? k1 ? k 2 | b ? b2 | ;此时两平行直线 l1,l 2 间的距离 d ? 1 ; l1 // l 2 ? ? ? b1 ? b2 1? k 2

在 l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1, 或一个为零另一个不存 。
(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

高中数学公式汇总第 13 页 共 20 页

? A1 B1 ? 0即A1 B2 ? A2 B1 ? | C1 ? C 2 | ? A2 B2 ;此时两平行直线 l1,l 2 间的距离 d ? ; l1 // l 2 ? ? A2 ? B 2 ? A1 C1 ? 0即A C ? A C 1 2 2 1 ?A C 2 ? 2

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 。
6、两直线夹角公式: (1) tan ? = |

k2 ? k1 | ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ) 1 ? k1k2

(2) cos ? =

| A1 A2 ? B1 B2 | A1 ? B1
2 2

A2 ? B2
2

2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 )

7、常见的直线系方程: (1)定点直线系方程:经过定点 P( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 ,其中 k 是待定的系数。 x ? x0 ) (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交 点的直线系方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2) 其中 ? 是待定的系数。 , ( 3 ) 平 行 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 系 方 程 为

Ax ? By ? C ' ? 0 (C ' ? C) 。
(4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 Bx ? Ay ? C ' ? 0 。 8、点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d= 9、 ? ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

的符号确定了点 P( x0 , y0 ) 关于直线 l : ax ? by ? c ? 0 的相对位置。在

直线同侧的所有点, ? 的符号是相同的,在直线异侧的所有点, ? 的符号是相反的。 (填写 “相同”或“相反” ) 10、点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 异侧

? ( Ax1 ? By1 ? C)( Ax2 ? By2 ? C) ? 0 。
11、点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 同侧

? ( Ax1 ? By1 ? C)( Ax2 ? By2 ? C) ? 0

高中数学公式汇总第 14 页 共 20 页

直线与圆锥曲线联立勿忘△
1、对于曲线 C 和方程 F ( x, y) ? 0 ,满足: (1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 F ( x, y) ? 0 的解;2) ( 以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点, 我们就把方程 F ( x, y) ? 0 叫做曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 F ( x, y) ? 0 的曲线。 2、圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 。 (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 。 (3)圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos ? ? ?[0 , 2? ),? 是参数 。 ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的复数方程: | z ? z0 |? r 3、已知点 M ( x0 , y0 ) ,圆 C: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 。
2 2 2

点在圆外 ? | CM |? r ? ( x0 ?a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ; 点在圆上 ? | CM |? r ? ( x0 ?a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ; 点在圆内 ? | CM |? r ? ( x 0 ?a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 。 4、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 相交 ? d ?

| Aa ? Bb ? Cc | a 2 ? b2

? r ;相切 ? d ?

| Aa ? Bb ? Cc | a 2 ? b2

? r;

相离 ? d ?

| Aa ? Bb ? Cc | a 2 ? b2

? r。

5、圆 C1 与圆 C2 位置关系: 外离 ?| C1C2 |? r1 ? r2 ;外切 ?| C1C2 |? r1 ? r2 ;相交 ?| r1 ? r2 |?| C1C2 |? r1 ? r2 ; 内切 ?| C1C2 |?| r1 ? r2 | (r1 ? r2 ) ;内含 ?| C1C2 |?| r1 ? r2 | (r1 ? r2 ) 。 6、圆的切线方程: (1)过圆 C: x ? y ? r
2 2 2 2

上一点 M ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 。
2 2

(2)过圆 C: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r

上一点 M ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程为

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) 2 ? r 2 。
(3)过圆 C: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0) 上一点 M ( x0 , y0 ) 的圆的
2 2 2 2

切线方程为 x0 x ? y 0 y ? D

x0 ? x y ?y ?E 0 ? F ? 0。 2 2

高中数学公式汇总第 15 页 共 20 页

(4)斜率为 k 的圆 C: x 2 ? y 2 ? r 2 的切线方程为 y ? kx ? r k 2 ? 1 。 7、圆的弦 AB 的长度= 2 R2 ? d 2 (圆半径为 R,圆心到 AB 距离为 d) 8、椭圆的定义是平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 2a(2a 大于|F1F2|)的点的 轨迹。焦点在 x 轴的椭圆标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,长轴长为 2a,短轴长为 2b, a2 b2

焦点坐标为 (? a 2 ? b2 , 0) ,对称轴为 x 轴、y 轴,对称中心为 (0 , 0) 。 9、椭圆

? x ? a cos ? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? ? ?[0 , 2? ), ?是参数 ; 2 a b ? y ? b sin ?

复数方程是 | z ? z1 | ? | z ? z2 |? 2a , 2a ?| Z1Z2 | 。

x y x2 y2 10、点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 内部 ? 02 ? 02 ? 1 。 a b a b
11、双曲线的定义是平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差等于常数 2a(2a 小于|F1F2|)的点 的轨迹。焦点在 x 轴的双曲线标准方程为

2

2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,实轴长为 2a,虚轴长 a2 b2

为 2b,焦点坐标为 (? a 2 ? b2 , 0) ,对称轴为 x 轴、y 轴,对称中心为 (0 , 0) 。 12、双曲线

? x ? a sec ? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程是 ? ? ?[0 , 2? ), ?是参数 ; 2 a b ? y ? b tan ?
复数方程是 || z ? z1 | ? | z ? z2 ||? 2a , 2a ?| Z1Z2 | 。

13、 (1)双曲线

b x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐进线方程为 y ? ? x 。 2 a a b x y x2 y2 ? ? 0 的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ?,? ? 0 。 a b a b

(2)渐进线为

14、抛物线的定义是平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l (F 不在 l 上)距离相等的点的 轨迹。 15、抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,焦点坐标为 (
2

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? , p 的几何意义是 2 2

焦点到准线的距离。 16、 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 M ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 ? x, 2 y0 ? y) ? 0 。 (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 x ? y ? C ? 0 成轴对称的曲线是 F (? y ? c, ? x ? c) ? 0 。 *****(3)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的点是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )。 2 2 A ?B A2 ? B 2

高中数学公式汇总第 16 页 共 20 页

排列组合二项式定理概率统计公式
1、排列数公式: Pn ? __ n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) __ ? __
m

n! ___(n, m ? N * , m ? n) (n ? m)!

C 2、 组合数公式: n ? __
m

n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! __ ? _ _(n ? N * , m ? N , m ? n) m! m!(n ? m)!

m n m m m 3、组合数性质: Cn ? _ Cn ?m _ ; Cn ? Cn ?1 = Cn?1 。

4、组合数恒等式:
r r ?1 (1) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn = Cn?1 ; 0 1 2 n (2) Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn = 2 ;
n

0 2 4 (3) Cn ? Cn ? Cn ??= 2

n?1

1 3 5 = Cn ? Cn ? Cn ?? 。

(4) nPn ?1 ? _ Pn _;
k

k ?1

n m ?1 m Cn ?1 ? _ Cn _ . m

m 5、排列数与组合数的关系: Pm ? _ Pm _ Cn n m
0 1 r n 6、二项式定理 (a ? b)n = Cn an ? Cn an?1b ? ?? Cn an?r br ? ?? Cn bn (n ? N ? ) , r 其中通项公式 Tr ?1 = Cn a n?r br 。

7、二项式系数,当 n 是偶数时,中间一项 C 取得最大值,当 n 是奇数时,中间两项
n ?1 n ?1

n 2 n

Cn 2 ? Cn 2 取得最大值。
8、记必然事件为 ? ,不可能事件为 ? ,随机事件为 A

P(?) ? _1__; P(?) ? _ 0 __; P( A) ? __[0 ,1] ___
设 E、F 是两个随机事件(填写独立、对立、互斥) (1)满足 E ? F ? ? 且 E ? F ? ? 的 E 和 F 叫做对立事件; (2) 理) F 不可能同时出现, E 和 F 叫做互斥事件; ( E、 则 此时 P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) (3)理) F 互相之间没有影响, E 和 F 是互相独立事件; ( E、 则 此时 P( EF ) ? P( E ) P( F ) 9、 (理)概率加法公式: P( A ? B) = P( A) ? P( B) ? P( AB) 。 10、设总体有 N 个个体,它们分别是 x1 , x2 , x3 ,? xN ,且它们的平均数为 ? 则总体方差 ? =
2

1 [( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ? ? ( xn ? ? )2 ] N

? 叫做总体标准差,反映总体中各个个体之间的差别的大小。
11、抽样方法: (1) 随机抽样: 抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本。 (抽签、

高中数学公式汇总第 17 页 共 20 页

利用随机数抽样等) (2)系统抽样:把总体的每一个个体编号,按某种相等的间隔抽取样本的方法。 (3)分层抽样:把总体分成若干个部分,然后再每个部分进行随机抽样的方法。 将总体个数 N 分成 k 层,每层的个体数分别记作 N1 , N2 , N3 ,? Nk , 在每层中分别随机抽取 n1 , n2 , n3 ,?nk 个个体组成容量为 n 的样本。

n n n1 n n ? 2 ? 3 ?? ? k ? N1 N 2 N3 Nk N
12、样本为 x1 , x2 , x3 ,? xn ,样本容量为 n ,则 总体均值的点估计值为 x =

x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn n

总体标准差的点估计值为 s ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n ?1

均值的 ? 估计区间为 [ x ? ? , x ? ? ] 。 13、 (理)取离散值的随机变量叫做离散型随机变量,其取值概率可用下表给出

xi P(? ? xk )

x1 p1

x2
p2

?? ??

xn
pn

随机变量所有的取值 x1 , x2 ,?, xn 对应的概率所成的数列 p1 , p2 ,?, pn 叫做随机变量的概率 分布律。 随机变量 ? 的数学期望为 E? = x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn 随机变量 ? 的方差 D? = ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ? ?? ( xn ? E? )2 pn 数学期望是随机变量的加权平均数, 表示随机变量取值的平均水平, 因此也叫做随机变量的 均值;随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。 14、 (理)把直角坐标系的远点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并且取相同的单位长度。 设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标为 ( x, y ) ,极坐标为 ( ? ,? )

? x ? ? cos ? 则? , ? y ? ? sin ?

?? 2 ? x2 ? y 2 ? 。 ? y ? tan ? ? ( x ? 0) x ?

15、 (理) ? ? ?0 ? a? 对应的曲线叫做等速螺线(阿基米德螺线)

高中数学公式汇总第 18 页 共 20 页

立体几何公式
1、如果直线 l 上有两个点在平面 ? 上,那么直线 l 与平面 ? 的关系是直线 l 在平面 ? 上 如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么它们所有的交点构成的图形是直线 确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面,或直线和直线外一点确定一个 平面,或两条相交直线确定一个平面,或两条平行直线确定一个平面。 平行与同一直线的两条直线平行。 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等或互补。 2、 空间直线 l1 与直线 l2 所成角是指在直线 l1 上任取一点 M, M 作 l2 的平行线 l3 ,l1 与 l3 的 过 夹角就是直线 l1 与直线 l2 所成角,范围是 [0 ,

?
2

]。

空间直线 l 与平面 ? 所成角是指当直线 l 与平面 ? 不垂直时, 直线 l 与平面 ? 所成角是指 直线 l 与其在平面上 ? 的投影 l ' 所成的角,范围是 [0 ,

?
2

]。

空间平面 ?1 与平面 ? 2 所成角是指在两平面的交线 l 上任取一点 O,过点 O 分别在两平 面上作垂线 OM、ON, ?MON 就是平面 ?1 与平面 ? 2 所成角,范围是 [0 , ? ) 。 3、与平面上任何直线都垂直的直线叫做平面的垂线。如果一条直线与平面上的两条相交直 线垂直,那么它与平面上的任意直线都垂直。 4、已知平面 ? 与平面 ? 互相平行,平面 ? 与它们的交线分别为直线 a,b,那么直线 a,b 的位置关系是 a // b 。 已知直线 l 平行于平面 ? , 平面 ? 经过 l 且与平面 ? 相交于直线 l ' , 那么直线 l 与 l ' 的位 置关系是 l // l ' 。 5、请写出定理“在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽 它也和这条斜线的射影垂直。 6、斜二测法规定在 x 轴方向上线段的长度是其表示的真实长度的一半,在 y 轴和 z 轴方向 上线段的长度与其表示的真实长度相等。 斜二测画法中原图形和直观图的面积比为 1:

2 。 4

7、祖暅原理是:体积可以看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间图形,若在 任意等高处的截面面积都对应相等,则两空间图形的体积相等。 8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的,圆锥是由直角三角形绕其一条直角边 所在直线旋转形成的,球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。

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9、设几何体的底面周长为 C,母线或斜高长为 h ' ,则圆柱或直棱柱的侧面积为 Ch ' ;圆锥
2 或正棱锥的侧面积为 Ch ' ;半径为 R 的球的表面积为 4? R 。

1 2

10、柱体体积公式为 Sh ,锥体体积公式为 Sh ,半径为 R 的球的体积为 ? R 。
3

1 3

4 3

11、半径为 R 的球的小圆半径为 r = R2 ? d 2 (球心到小圆所在平面距离为 d) 12、球面距离是指联结球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧的长度。 13、 (理)已知空间中,直线 l1 , l 2 方向向量分别为 d1 , d 2 ,平面 ? 、 ? 分别法向量为 n1 ,
n2 ,则

?? ?? ? ? d1 ? d 2 ? ? 直线 l1 与 l 2 所成角 ? 满足: cos ? ?| ?? ?? | | d1 || d 2 | ?? ?? ? d1 ? n1 ? 直线 l1 与平面 ? 所成角 ? 满足: sin ? ?| ?? ?? | | d1 || n1 |

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 n1 ? n2 ? ? 平面 ? 与平面 ? 所成二面角 ? 满足: cos ? ? ?? ?? 或 cos ? ? ?? ?? | n1 || n2 | | n1 || n2 | ???? ?? ? AM ? n1 ?? | 点 A 到平面 ? 的距离 d= | | n1 |

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