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导数教案



§3.1.1 变化率问题
学习目标
1. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中, 经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体 会数学的博大精深以及学习数学的意义; 2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P78~ P80,找出疑惑之处) x2 y2 x2

y2 复习 1:曲线 + = 1 与曲线 + = 1(k < 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k A.长、短轴长相等 B.焦距相等 C.离心率相等 D.准线相同



复习 2:当 α 从 0 到 180 变化时,方程 x 2 + y 2 cos α = 1 表示的曲线的形状怎样变化?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时, 随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何 描述这种现象?
问题 2:高台跳水,求平均速度

新知:平均变化率 平均变化率: 平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f = x2 ? x1 ?x

试试:设 y = f ( x) , x1 是数轴上的一个定点,在数轴 x 上另取一点 x2 , x1 与 x2 的差记为 ?x , 即 ?x = 或者 x2 = , ?x 就表示从 x1 到 x2 的变化量或增量,相应地, ?y ;如果它们的比值 ,则上式就表示 函数的变化量或增量记为 ?y ,即 ?y = ?x 为 ,此比值就称为平均变化率.

反思:所谓平均变化率也就是

的增量与

的增量的比值.

※ 典型例题 例 1 过曲线 y = f ( x) = x3 上两点 P(1,1) 和 Q(1 + ?x,1 + ?y ) 作曲线的割线,求出当 ?x = 0.1 时 割线的斜率.

变式:已知函数 f ( x) = ? x 2 + x 的图象上一点 (?1, ?2) 及邻近一点 (?1 + ?x, ?2 + ?y ) ,则

?y = ?x

例 2 已知函数 f ( x) = x 2 ,分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]

小结: ※ 动手试试 练 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率.
W(kg) 11 8.6 6.5

3.5 3

6

9

12

T(月)

练 2. 已知函数 f ( x) = 2 x + 1 , g ( x) = ?2 x ,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x) 及 g ( x) 的 平均变化率.

(发现: y = kx + b 在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.函数 f ( x ) 的平均变化率是 2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率 ※ 知识拓展 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. y = 2 x + 1 在 (1, 2) 内的平均变化率为( ) A.3 B.2 C .1 D.0 2. 设函数 y = f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 + ?x 时,函数的改变量 ?y 为( A. f ( x0 + ?x) B. f ( x0 ) + ?x C. f ( x0 )?x D. f ( x0 + ?x) ? f ( x0 )
3. 质点运动动规律 s = t 2 + 3 ,则在时间 (3,3 + ?t ) 中,相应的平均速度为( 9 A . 6 + ?t B. 6 + ?t + ?t D. 9 + ?t C. 3 + ?t





4.已知 s =

1 2 gt ,从 3s 到 3.1s 的平均速度是_______ 2 5. y = x 2 ? 2 x + 3 在 x = 2 附近的平均变化率是____

课后作业
1. 国家环保局对长期超标排污,污染严重而未进行治理的单位,规定出一定期限,强令在 此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业连 续检测的结果(W 表示排污量) ,哪个企业治理得比较好?为什么?

2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s 后容器

甲中水的体积 V (t ) = 5 × 2 ?0.1t (单位: cm ) , 计算第一个 10s 内 V 的平均变化 率.
3

§3.1.2 导数的概念
学习目标
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义; 2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度.

学习过程
一、课前准备 预习教材 P78~ P80,找出疑惑之处) 复习 1:气球的体积 V 与半径 r 之间的关系是 r (V ) = 时,气球的平均膨胀率.
3

3V ,求当空气容量 V 从 0 增加到 1 4π

复习 2 :高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 的关系为: h(t ) = ?4.9t 2 + 6.5t + 10 . 求在 1 ≤ t ≤ 2 这段时间里,运动员的平均速度.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:瞬时速度 瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 瞬时速度定义:
探究任务二:导数 问题 2: 瞬时速度是平均速度

得导数的定义:函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 lim

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?f = lim , ?x → 0 ?x ?x 我 们 称 它 为 函 数 y = f ( x) 在 x = x0 处 的 导 数 , 记 作 f ′( x0 ) 或 y ′ |x = x0 即
?x → 0

?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t

f ( x + ?x) ? f ( x0 ) ?x 注意:(1)函数应在点 x 0 的附近有定义,否则导数不存在 f ′( x0 ) = lim
?x → 0

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(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0 (3)

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?y 是函数 y = f (x ) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线 ?x y = f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 + ?x, f ( x0 + ?x) )的割线斜率
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f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y = f (x ) 在点 x 0 的处瞬时变化率, ?x →0 ?x 它反映的函数 y = f (x ) 在点 x 0 处变化的快慢程度.
(4)导数 f ( x 0 ) = lim
/

小结: 小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

※ 典型例题 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 0 在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) = x 2 ? 7 x + 15(0 ≤ x ≤ 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

总结:函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减;它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例 2 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),

?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δt=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δt=0.01 时,求

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度

小结: 利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y = f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ;

?y f ( x0 + ?x) = ; ?x ?x ?y 第三步:取极限得导数 f ′( x0 ) = lim . ?x → 0 ?x
第二步:求平均变化率

※ 动手试试 练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

练 2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s (t ) = t 2 (位移单位:m,时间单位:s),求小球 在 t = 5 时的瞬时速度
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三、总结提升 ※ 学习小结 这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念, 它是用平均速度的极限来定义的, 主要记住
公式:瞬时速度 v= lim

s (t + ?t ) ? s (t ) ?t →0 ?t

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※ 知识拓展 导数存在 ? 连续 ? 有极限

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t + ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ?t →0 ?t A.从时间 t 到 t + ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t + ?t 时物体的平均速度 2. y = x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 + ?x D.1 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 3. 在 f ′( x0 ) = lim 中, ?x 不可能( ) ?x →0 ?x B.小于 0 A.大于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 4.如果质点 A 按规律 s = 3t 2 运动,则在 t = 3 时的瞬时速度为 1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 5. 若 f ′( x0 ) = ?2 ,则 lim 等于 k →0 k
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课后作业
1. 高台跳水运动中, ts 时运动员相对于水面的高度是: h(t ) = ?4.9t 2 + 6.5t + 10 (单位: m),求 运动员在 t = 1s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.

2. 一质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s(单位:cm)与时间(单位:s)的关系可用

函数 s (t ) = 1 + t 2 表示,并且物体的动能 U =

1 2 mv . 求物体开始运动后第 5s 时的动能. 2

§3.1.3 导数的几何意义
学习目标
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 理解导数的概念并 会运用概念求导数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P78~ P80,找出疑惑之处) 复习 1:曲线上向上 P ( x1 , y1 ), P ( x1 + ?x, y1 + ?y ) 的连线称为曲线的割线,斜率 k = 1
?y = ?x

复习 2:设函数 y = f ( x) 在 x0 附近有定义当自变量在 x = x0 附近改变 ?x 时,函数值也相应地 改变 ?y = ,如果当 ?x 时,平均变化率趋近于一个常数 l ,则数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. 记作:当 ?x 时, →l

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:导数的几何意义 问题 1:当点 Pn ( x n , f ( xn ))( n = 1, 2,3, 4) ,沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P ( x0 , f ( x0 )) 时,割线的变化 趋是什么?

新知:当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限 位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT,叫做曲线 C 在点 P 处的切线 切线 割线的斜率是: kn =
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当点 Pn 无限趋近于点 P 时, kn 无限趋近于切线 PT 的斜率. 因此,函数 f ( x) 在 x = x0 处的导

数就是切线 PT 的斜率 k ,即 k = lim

?x → 0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = f ′( x0 ) ?x

新知: 函数 y = f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义 几何意义是曲线 y = f ( x) 在 P ( x0 , f ( x 0 )) 处切线的斜率. 几何意义 即 k = f ′( x0 ) = lim
?x → 0

f ( x + ?x) ? f ( x0 ) ?x

※ 典型例题 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) = ?4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图 象,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.

小结: 例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度 c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间 t (单位:min)变化的函 数图象.根据图象,估计 t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)

※ 动手试试

练 1. 求双曲线 y =

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2

练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.

三、总结提升 ※ 学习小结 函数 y = f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义 几何意义是曲线 y = f ( x) 在 P ( x0 , f ( x )) 处切线的斜率. 几何意义
0

即 k = f ′( x0 ) = lim

?x → 0

f ( x + ?x) ? f ( x0 ) ?x

其切线方程为 ※ 知识拓展 导数的物理意义: 如果把函数 y = f ( x) 看做是物体的运动方程(也叫做位移公式,自变量 x 表示时间) ,那么
导数 f ′( x0 ) 表示运动物体在时刻 xo 的速度, ,即在 xo 的瞬时速度.即 vx0 = f ′( x0 ) = lim 而运动物体的速度 v(t ) 对时间 t 的导数,即 v′(t ) = lim
?t → 0 ?t → 0

?v 称为物体运动时的瞬时加速度. ?t

?y ?x

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知曲线 y = 2 x 2 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜率为(



A. 4 B. 16 C. 8 D. 2 2 2. 曲线 y = 2 x + 1 在点 P(?1,3) 处的切线方程为( ) A. y = ?4 x ? 1 B. y = ?4 x ? 7 C. y = 4 x ? 1 D. y = 4 x + 7 f ( x0 + h) ? f ( x 0 ) 3. f ( x) 在 x = x0 可导,则 lim ( ) h→0 h A.与 x0 、 h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关
C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0 、 h 都无关 4. 若函数 f ( x) 在 x0 处的导数存在,则它所对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程为
5. 已知函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的导数为 11,则 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) lim = ?x → 0 ?x

课后作业
1. 如图,试描述函数 f ( x) 在 x = ?5, ?4, ?2, 0,1 附近的变化情况.

2.已知函数 f ( x) 的图象,试画出其导函数 f ′( x) 图象的大致形状.

§3.2.1 几个常用函数导数
学习目标
1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P88~ P89,找出疑惑之处)

复习 1:导数的几何意义是 导数的几何意义是:曲线 y = f (x ) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如果 导数的几何意义是

y = f (x) 在点 x0 可导,则曲线 y = f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为
复习 2:求函数 y = f (x) 的导数的一般方法 的导数的一般方法: 求函数 (1)求函数的改变量 ?y = ?y (2)求平均变化率 = ?x (3)取极限,得导数 y = f ′( x) = lim
/

?y ?x →0 ?x

=

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数 y = f ( x) = c 的导数. 问题:如何求函数 y = f ( x) = c 的导数

新知: y ′ = 0 表示函数 y = c 图象上每一点处的切线斜率为 若 y = c 表示路程关于时间的函数,则 y ′ = ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y = f ( x) = x 的导数

.

反思: y ′ = 1 表示函数 y = x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y = x 表示路程关于时间的函数,则 y ′ = ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y = 2 x, y = 3x, y = 4 x 的图象,并根据导数 定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y = kx(k ≠ 0) 增(减)的快慢与什么有关?

※ 典型例题
例 1 求函数 y = f ( x) =
1 的导数 x

变式: 求函数 y = f ( x) = x 2 的导数

小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极限. 例 2 画出函数 y = 方程.
1 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线 x

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

变式 2:求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程.

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的.

※ 动手试试 练 1. 求曲线 y = 2 x 2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

(理科用)练 2. 求函数 y = f ( x) = x 的导数

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同 的. ※ 知识拓展 微积分的诞生具有划时代的意义,是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位, 恩格斯是这样评价的: “在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那 样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩,那正是在这里.”

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. f ( x) = 0 的导数是( ) B.1 C.不存在 D.不确定 A.0 2 2.已知 f ( x) = x ,则 f ′(3) = ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9 π 3. 在曲线 y = x 2 上的切线的倾斜角为 的点为( )
4 A. (0, 0) 4. 过曲线 y = B. (2, 4) 1 1 C. ( , ) 4 16 1 1 D. ( , ) 2 4

1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s = t 3 ,则物体在 t = 1 时的速度为 为 .

,在 t = 4 时的速度

课后作业
1. 已知圆面积 S = π r 2 ,根据导数定义求 S ′(r ) .

2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后, 氡气的剩余量为 A(t ) = 500 × 0.834t ,问氡气的散发速度是多少?

§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学习目标
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) 复习 1:常见函数的导数公式: 常见函数的导数公式

C ' = 0 ;( x n )' = nx n ?1 ;(sin x)' = cos x ; (cos x)' = ? sin x ;
(log x)′ =
a

(a x )′ = a x ln a (a > 0) ; (e

x

)′ = e x ;

1 1 (a > 0, 且 a ≠ 1) ; (ln x)′ = . x ln a x

复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 1 1 (1) y = x 6 (2) y = x (3) y = 2 (4) y = 4 3 x x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和 或差 积商的导数 两个函数的和(或差 两个函数的和 或差)积商的导数
新知: [ f ( x) ± g ( x)]′ = f ′( x) ± g ′( x)
[ f ( x)i g ( x)]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) [ f ( x) f ′( x) g ( x) ? f ( x) g ′( x) ]′ = [ g ( x)]2 g ( x)

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y = x3 ? 2 x + 3 的导数.

※ 典型例题 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%, 物价 p (单位: )与时间 t (单位: ) 元 年
有如下函数关系 p(t ) = p0 (1 + 5%)t ,其中 p0 为 t = 0 时的物价.假定某种商品的 p0 = 1 ,那么在 第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

变式:如果上式中某种商品的 p0 = 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大 约是多少?

例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费用不断增加.

已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用 (单位: 元) c( x) = 为 净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98%.

5284 (80 < x < 100) . 求 100 ? x

小结:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试 练 1. 求下列函数的导数: (1) y = log 2 x ; (2) y = 2e x ; (3) y = 2 x5 ? 3x 2 + 5 x ? 4 ; (4) y = 3cos x ? 4sin x .

练 2. 求下列函数的导数: (1) y = x3 + log 2 x ; 2) y = x n e x ; 3) y = ( (
x3 ? 1 sin x

三、总结提升 ※ 学习小结 1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导 法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,首先要注意化简的等价 性,避免不必要的运算失误. ※ 知识拓展 1.复合函数的导数 导数:设函数 u = g ( x) 在点 x 处有导数 u ′ = g ′( x) ,函数 y=f(u)在点 x 的对应 .复合函数的导数 x
′ 点 u 处有导数 yu = f ′(u ) ,则复合函数 y = f ( g ( x)) 在点 x 处也有导数,且 y ' x = y 'u ?u ' x

2.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. .复合函数求导的基本步骤是

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1 的导数是( ) x 1 1 1 1 B. 1 ? C. 1 + 2 D. 1 + A. 1 ? 2 x x x x 2. 函数 y = sin x(cos x + 1) 的导数是( ) B. cos 2 x + sin x A. cos 2 x ? cos x C. cos 2 x + cos x D. cos 2 x + cos x cos x 的导数是( ) 3. y = x sin x A. ? 2 B. ? sin x x x sin x + cos x x cos x + cos x C. ? D. ? x2 x2 4. 函数 f ( x) = 13 ? 8 x + 2 x 2 ,且 f ′( x0 ) = 4 ,
1. 函数 y = x +

则 x0 =
5.曲线 y = sin x 在点 M (π , 0) 处的切线方程为 x

课后作业
1. 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) =
3

3V 的导数. 4π

2. 已知函数 y = x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x = 1 处的切线方程.

理: §3.2.2 复合函数求导
学习目标
复合函数的分解,求复合函数的导数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P16~ P17,找出疑惑之处) 复习 1:求 y = x 3 ( x 2 ? 4) 的导数

复习 2:求函数 y = (2 x + 3) 2 的导数

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 问题:求 (sin 2 x)′ =? 解答:由于 (sin x)′ = cos x ,故 (sin 2 x)′ = cos 2 x

这个解答正确吗?

新知:一般地,对于两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函 数,那么称这个函数为函数 y = f (u ) 和 u = g ( x) 的复合函数 复合函数,记作: y = f ( g ( x)) 复合函数 复合函数的求导法则: 复合函数的求导法则: 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对

自变量的导数.用公式表示为:y x′ = yu′ iu x′ , 其中 u 为中间变量.即: y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 试试: (sin 2 x)′ =

反思:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。

※ 典型例题 例 1 求下列函数的导数: (1) y = (2 x + 3) 2 ; (2) y = e?0.05 x +1 ; (3) y = sin(π x + ? ) (其中 π , ? 均为常数)

变式:求下列函数的导数: x (1) y = cos ; (2) y = x ? 1 3

小结:复合函数的求导不仅可以推广到三重,还可推广到四重、五重.

例 2 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) =

3

3V 的导数. 4π

小结:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。 ※ 动手试试 3V 可以看成是哪两个函数的复合? 练 1. 函数 r (V ) = 3 4π

练 2. 一个距地心距离为 r ,质量为 m 的人造卫星,与地球之间的万有引力 F 由公式 GMm F = 2 给出,其中 M 为地球队质量, G 为常量,求 F 对于 r 的瞬时变化率. r

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 会分解复合函数.
2. 会求复合函数的导数. y x′ = yu′ iu x′ ;其中 u 为中间变量. 即: y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

※ 知识拓展 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中,给出了高次 代数方程的一种数值解法——牛顿法.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 y = sin 2 x ,则 y ′ =( )
A. sin 2x
B. 2sin x C. 2sin 2 x

D. cos 2 x

2. 已知 f ( x) = ln( x + x 2 + 1) ,则 f ′( x) 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
1 3. 若函数 f ( x) = log a ( x3 ? ax)(a > 0, a ≠ 1) 在区间 (? , 0) 内单调递增,则 a 的取值范围是 2 ) ( 1 3 9 9 A. [ ,1) B. [ ,1) C. ( , +∞) D. (1, ) 4 4 4 4 4. (log 2 (?2 x + 3))′ = 5. (lg tan x)′ =

课后作业
1. 求下列函数的导数; (1) y = ( x + 1)99 ; (2) y = 2e ? x ; (3) y = 2 x sin(2 x + 5)

2. 求下列函数的导数; (1) y = 2 x tan x ; (2) y = ( x ? 2)3 (3x + 1) 2 ;

(3) y = 2 x ln x ;

(4 ) y =

x2 (2 x + 1)3

§3.3.1 函数的单调性与导数
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
新疆 王新敞
奎屯

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P89~ P93,找出疑惑之处) 复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有= 的 函数. 复习 2: C ' =
(log a x) ' =

,那么函数 f(x)就是区间 I 上

; xn ) ' = ( ; (e ) ' =
x x

; x) ' = (sin ; (a ) ' = ;

; (cos x) ' =

; x) ' = (ln



二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系: 函数的导数与函数的单调性的关系: 函数的导数与函数的单调性的关系
问题:我们知道,曲线 y = f ( x) 的切线的斜率就是函数 y = f ( x) 的导数.从函数

y = x 2 ? 4 x + 3 的图像来观察其关系:
y=f(x)=x2-4x+3

切线的斜率

f′(x)

(2,+∞) (-∞,2) 函数; 区间(2, + ∞ )内为 在区间( ? ∞ ,2)内,切线的斜率为

在区间 2,+ ∞ ) 切线的斜率为 , ( 内, 函 数 y = f ( x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 , y ′ > 0 时, 即 函数 y = f ( x) 在



,即 y / < 0 时,函数 y = f ( x) 在区间( ? ∞ ,2)内为

,函数 y = f ( x) 的值随着 x 的增大 函数.

y
f( x) = (x2-4?x)+3

新知: 一般地, 设函数 y = f ( x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y ′ > 0 , 那么函数 y = f ( x) 在这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y ′ < 0 ,那么函 数 y = f ( x) 在这个区间内的减函数.

B O
1 2 3

A

x

试试: 判断下列函数的的单调性, 并求出单调区间: 1)f ( x) = x3 + 3x ; 2)f ( x) = x 2 ? 2 x ? 3 ; ( ( (3) f ( x) = sin x ? x, x ∈ (0, π ) ; (4) f ( x) = 2 x3 + 3 x 2 ? 24 x + 1 .

反思:用导数求函数单调区间的三个步骤:

①求函数 f(x)的导数 f ′( x) . ②令 f ′( x) > 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f ′( x) < 0 解不等式,得 x 的范围就是递减区间. 探究任务二:如果在某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,那么函数 f ( x) 有什么特性?

※ 典型例题 例 1 已知导函数的下列信息: 当 1 < x < 4 时, f ′( x) > 0 ; 当 x > 4 ,或 x < 1 时, f ′( x) < 0 ; 当 x = 4 ,或 x = 1 时, f ′( x) = 0 .试画出函数 f ( x) 图象的大致形状.

变式:函数 y = f ( x) 的图象如图所示,试画出导函数 f ′( x) 图象的大致形状.

例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器 中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

※ 动手试试 练 1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) = x 2 ? 2 x + 4 ; (2) f ( x) = e x ? x ;
(3 ) f ( x ) = 3 x ? x 3 ; (4) f ( x) = x3 ? x 2 ? x .

练 2. 求证:函数 f ( x) = 2 x3 ? 6 x 2 + 7 在 (0, 2) 内是减函数.

三、总结提升 ※ 学习小结 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的定义域; ②求函数 f(x)的导数 f ′( x) . ③令 f ′( x) = 0 ,求出全部驻点; ④驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内 f ′( x) 的符号,由此确定 f ( x) 的单 调区间 注意:列表时,要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑. ※ 知识拓展 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快,这时,函数的图象就比较“陡峭” (向上或向下) ;反之,函数的图象就“平缓”一些. 如 图,函数 y = f ( x) 在 (0, b) 或 (a, 0) 内的图象“陡峭” ,在 (b, +∞) 或 (?∞, a) 内的图象“平缓”.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d (a > 0) 为增函数,则一定有(
2 2



A. b ? 4ac < 0 B. b ? 3ac < 0 C. b 2 ? 4ac > 0 D. b 2 ? 3ac > 0 2. (2004 全国)函数 y = x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( π 3π A. ( , ) B. (π , 2π ) 2 2 3π 5π C. ( , ) D. (2π ,3π ) 2 2 ) 3. 若在区间 (a, b) 内有 f ′( x) > 0 ,且 f (a) ≥ 0 ,则在 (a, b) 内有( A. f ( x) > 0 B. f ( x) < 0



C. f ( x) = 0
3 2

D.不能确定

4.函数 f ( x) = x ? x 的增区间是

,减区间是

5.已知 f ( x) = x + 2 xf ′(1) ,则 f ′(0) 等于

课后作业
1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) = x3 + x 2 ? x ; 2) f ( x) = 3x + x 3 ; (

π (3) f ( x) = x + cos x, x ∈ (0, ) . 2

2. 已知汽车在笔直的公路上行驶: (1)如果函数 y = f (t ) 表示时刻 t 时汽车与起点的距离,请标出汽车速度等于 0 的点. (2)如果函数 y = f (t ) 表示时刻 t 时汽车的速度,那么(1)中标出点的意义是什么?

§3.3.2 函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P93~ P96,找出疑惑之处) 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ′ > 0 ,那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间内 y ′ < 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ′( x) . ②令 解不 等式,得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 .

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y = f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系? y = f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y = f ( x) 的导数的符号有什么 规律?

看出,函数 y = f ( x) 在点 x = a 的函数值 f (a) 比它在点 x = a 附近其它点的函数值都 , f ′(a ) = ;且在点 x = a 附近的左侧 f ′( x) 0,右侧 f ′( x) 0. 类似地,函数 y = f ( x) 在点 x = b 的函数值 f (b) 比它在点 x = b 附近其它点的函数值都 , f ′(b) = ; 而且在点 x = b 附近的左侧 f ′( x) 0,右侧 f ′( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y = f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y = f ( x) 的极小值 极小值;点 b 叫做函 极小值 数 y = f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y = f ( x) 的极大值. 极大值 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值 极值反映了函数在某一点附近的 , 刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) = x3 在 x=0 处的导数为 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的

(能,不能)成为

,但它 条件.

※ 典型例题
1 例 1 求函数 y = x3 ? 4 x + 4 的极值. 3

变式 1:已知函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y = f ′( x) 的图象经 过点 (1, 0) , (2,0) ,如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值.
y

o

1

2

x

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤 求可导函数 的极值的步骤: 的极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负 右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 变式 2:已知函数 f ( x) = x3 ? 3x 2 ? 9 x + 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; 3)画出它的大致图象. (
新疆 王新敞
奎屯

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的极值: (1) f ( x) = 6 x 2 ? x ? 2 ; 2) f ( x) = x3 ? 27 x ; (
(3) f ( x) = 6 + 12 x ? x3 ; 4) f ( x) = 3x ? x3 . (

练 2. 下图是导函数 y = f ′( x) 的图象,试找出函数 y = f ( x) 的极值点,并指出哪些是极大值 点,哪些是极小值点.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求可导函数 f(x)的极值的步骤; 2. 由导函数图象画出原函数图象;由原函数图象画导函数图象. ※ 知识拓展 函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见: “有极值但不一定可导”

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: ) 1. 函数 y = 2 ? x 2 ? x 3 的极值情况是( A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x = 1 时,有极大值 4;当 x = 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是 ( ) A. y = x 3 + 6 x 2 + 9 x B. y = x3 ? 6 x 2 + 9 x
C. y = x 3 ? 6 x 2 ? 9 x D. y = x 3 + 6 x 2 ? 9 x 3. 函数 f ( x) = x3 ? ax 2 ? bx + a 2 在 x = 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( A. a = 3, b = ?3 或 a = ?4, b = 11 B. a = ?4, b = 1 或 a = ?4, b = 11 C. a = ?1, b = 5 D.以上都不正确 4. 函数 f ( x) = x3 + ax 2 + 3x ? 9 在 x = ?3 时有极值 10,则 a 的值为 5. 函数 f ( x) = x3 ? 3ax 2 + a( a > 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为



课后作业
1. 如图是导函数 y = f ′( x) 的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数 y = f ′( x) 有极大

值? (2)导函数 y = f ′( x) 有极小值?(3)函数 y = f ( x) 有极大值?(4)导函数 y = f ( x) 有极 小值?

2. 求下列函数的极值: (1) f ( x) = 6 x 2 + x + 2 ; 2) f ( x) = 48 x ? x3 . (

§3.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P96~ P98,找出疑惑之处) 复习 1:若 x0 满足 f ′( x0 ) = 0 ,且在 x0 的两侧 f (x ) 的导数异号,则 x 0 是 f (x ) 的极值点,

f ( x0 ) 是极值, 并且如果 f ′(x ) 在 x 0 两侧满足 “左正右负” 则 x 0 是 f (x ) 的 , 是极 值;如果 f ′(x ) 在 x 0 两侧满足“左负右正” ,则 x 0 是 f (x ) 的
新疆 王新敞
奎屯

点,f ( x 0 ) 点, f ( x 0 ) 是

值 极 复习 2:已知函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx(a ≠ 0) 在 x = ±1 时取得极值,且 f (1) = ?1 , 1)试求常 ( 数 a、b、c 的值; 2)试判断 x = ±1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由. (

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数的最大(小)值 函数的最大( 函数的最大 问题:观察在闭区间 [a, b ] 上的函数 f (x ) 的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大值, 最小值呢?

在图 2 中,在闭区间 [a, b ] 上的极大值是 ,极小值是 ;最大值是 ,最小值 是 . 新知:一般地,在闭区间 [a, b ] 上连续的函数 f (x ) 在 [a, b ] 上必有最大值与最小值. 试试:

图1 图2 在图 1 中,在闭区间 [a, b ] 上 的 最 大 值 是

,最小值是



上图的极大值点 ,为极小值点为 ; 最大值为 ,最小值为 . 反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得 出的. 2.函数 f (x ) 在闭区间 [a, b ] 上连续,是 f (x ) 在闭区间 [a, b ] 上有最大值与最小值的 条件 3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,可能 一个没有.

※ 典型例题
1 例 1 求函数 f ( x) = x3 ? 4 x + 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3

小结:求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; 2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值为最 ( 小值.

x 2 + ax + b 例 2 已知 f ( x) = log 3 , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、b ,使 f ( x ) 同时满足下列 x 两个条件: 1) f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, +∞ ) 上是增函数; 2) f ( x ) 的最小值是 1; ( ( 若存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

2 3 6 < a < 1 ,函数 f ( x) = x3 ? ax 2 + b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 ? , 3 2 2 求函数的解析式.

变式:设

小结:本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法,从逆向思维出发,实 现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点值 大小上,从而解决问题.

※ 动手试试 练 1. 求函数 f ( x) = 3x ? x 3 , x ∈ [1, 2] 的最值.

练 2. 已知函数 f ( x) = 2 x3 ? 6 x 2 + a 在 [?2, 2] 上有最小值 ?37 (1) . 求实数 a 的值; 2) f ( x) ( 求 在 [?2, 2] 上的最大值.

三、总结提升 ※ 学习小结 设函数 f (x ) 在 [a, b ] 上连续,在 (a, b) 内可导,则求 f (x ) 在 [a, b ] 上的最大值与最小值的步 骤如下: ⑴求 f (x ) 在 (a, b) 内的极值;
⑵将 f (x ) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x ) 在 [a, b ] 上的最值.

※ 知识拓展 利用导数法求最值, 实质是在比较某些函数值来得到最值, 因些我们可以在导数法求极值的 思路的基础上进行变通.令 f ′( x) = 0 得到方程的根 x1 , x2 , ? ,直接求得函数值,然后去与 端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也 可以求最值.

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若函数 f ( x) = x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M ? N 的值为 ( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) = x ? 3x( x < 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值
3. 已知函数 y = ? x 2 ? 2 x + 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为
3 1 1 1 3 B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y = x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 A. ? 5. 已知 f ( x) = 2 x3 ? 6 x 2 + m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的最 小值是 15 ,则 a 等于( 4



课后作业
1. a 为常数,求函数 f ( x) = ? x3 + 3ax(0 ≤ x ≤ 1) 的最大值.

2. 已知函数 f ( x) = ? x3 + 3x 2 + 9 x + a , 1)求 f ( x) 的单调区间; 2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上 ( ( 的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

§3.4 生活中的优化问题举例(1)
学习目标
1.进一步理解导数的概念,会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题,并 建立它们的导数模型; 2.掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构建函数模型,求函数的最值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P101~ P102,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________

π 复习 2:函数 f ( x) = sin x ? x 在 [0, ] 上的最大值为_____;最小值为_______. 2
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:优化问题 优化问题 优化 问题:张明准备购买一套住房,最初准备选择购房一年后一次性付清房款,且付款时需加付 年利率为 4.8%的利息,这时正好某商业银行推出一种年利率低于 4.8% 的一年定期贷款业 务,贷款量与利率的平方成正比,比例系数为 k (k > 0) ,因此他打算申请这种贷款在购房时 付清房款. (1)若贷款的利率为 x, x ∈ (0,0.048) ,写出贷款量 g ( x) 及他应支付的利息 h( x) ; (2)贷款利息为多少时,张明获利最大?

新知: 生活中经常遇到求 、 等问题,这些问题通常称为优化问题.



试试:在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为 x 的小正方形,再把它的边沿虚线 折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积 是多少?
x x 60 x x

反思:利用导数解决优
60

化问题的实质是

.

※ 典型例题 例 1 班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海

报,要求版心面积为 128dm 2 ,上、下两边各空 2dm ,左、右两边各空 1dm .如何设计海报的 尺寸,才能使四周 空白面积最小?

变式:如图用铁丝弯成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为 a m 2 ,为使所用材 料最省,底宽应为多少?

例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8π r 2 分,其中 r 是瓶子 的半径,单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶 子的最大半径为 6 cm .问(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径 多大时,每瓶饮料的利润最小?

小结:⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找 出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.⑵根据问 题的实际意义来判断函数最值时, 如果函数在此区间上只有一个极值点, 那么这个极值就是 所求最值,不必再与端点值比较.⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
新疆 王新敞
奎屯

※ 动手试试 练 1. 一条长为 100 cm 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最 小,两段铁丝的长度分别是多少?

练 2. 周长为 20 的矩形,绕一条边边旋转成一个圆柱,求圆柱体积的最大值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.解决最优化的问题关键是建立函数模型,因此首先审清题意,明确常量与变量及其关系, 再写出实际问题的函数关系式,对于实际问题来说,需要注明变量的取值范围. 2.实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点,那么它也是最值点. ※ 知识拓展 牛顿和莱布尼兹是微积分的创立者.

学习评价
). ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某公司生产某种新产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 已知总收益与年产量的关系是,则总利润最大时,每年生产的产品是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 2. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm ,要使其体积最大,则其高应为( ) 3 10 3 16 3 20 3 A. cm B. cm C. cm D. cm 3 3 3 3 3. 若一球的半径为 r ,则内接球的圆柱的侧面积最大为( )
1 D. π r 2 2 4. 球的直径为 d ,当其内接正四棱柱体积最大时的高为 5. 面积为 S 的矩形中,其周长最小的是 .

A. 2π r 2

B. π r 2

C. 4π r 2

.

课后作业
1. 一边长为 a 的正方形铁片, 铁片的四角截去四个边长都为 x 的小正方形, 然后做成一个无 盖方盒. (1)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数.(2) x 多大时,方盒的容积 V 最大?

2. 在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,求梯形面积 最大时,梯形的上底长为多少?

§3.4 生活中的优化问题举例(2)
学习目标
掌握用导数解决实际中简单的最优化问题,构建函数模型,求函数的最值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 3 复习 1: 已知物体的运动方程是 s = t 2 + ( t 的单位:s ,s 的单位:m ) 则物体在时刻 t = 4 , t 时的速度 v = ,加速度 a =

复习 2:函数 f ( x) = 2 x3 ? 3x 2 ? 12 x + 5 在 [0,3] 上的最大值是

最小值是

二、新课导学 ※ 学习探究



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教学设计_导数
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