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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练2(含解析)北师大版必修5



双基限时练(二)
一、选择题 1.若数列{an}的通项公式 an=3n+2,则数列{an}的图像是( A.一条直线 C.一群孤立的点 B.一条抛物线 D.一个圆 )

解析 ∵n∈N+,∴数列{an}的图像是一群孤立的点,且这些点都在直线 y=3x+2 上. 答案 C 2.在数列{an}中,an=3-2n,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 ) B.递减数列 D.摆动数列

解析 ∵an+1-an=3-2(n+1)-3+2n=-2<0,∴数列{an}为递减数列. 答案 B 3.已知数列{an}为递减数列,且 an=(3-2a)n+1,则实数 a 的取值范围是( 3 A.a< 2 3 C.a≤ 2 3 B.a> 2 3 D.a≥ 2 )

3 解析 由{an}为递减数列,知 3-2a<0,即 a> . 2 答案 B 4.数列{3n -28n}中,各项中最小的项是( A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项 28 14 2 解析 对称轴 n= = =4 ,∴当 n=5 时,an 取得最小值. 6 3 3 答案 B 5.数列{an}的通项公式是 an= 是( ) A.an>an+1 C.an=an+1 解析 an+1-an= B.an<an+1 D.与 n 有关
2

)

an ,其中 a、b 都为正实数,则 an 与 an+1 的大小关系 bn+1

a?n+1? an - b?n+1?+1 bn+1

abn2+abn+an+a-abn2-abn-an = ?bn+1?[b?n+1?+1]

1



a . ?bn+1?[b?n+1?+1]

∵a,b∈R+,n∈N+,∴an+1-an>0. 答案 B 6. 已知数列{-2n +4an+3}中的数值最大的项为第 6 项, 则实数 a 的取值范围是( A.? C.?
2

)

?11,6? ? ?2 ? ?11,13? ? ?2 2?

? 13? B.?6, ? 2? ?
D.{6}

解析 由题意得,对称轴 a∈[5.5,6.5]. 答案 C 二、填空题 7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1= 解析 由 a1=1,an+1= , 1+an 1 1 1 2 3 1 4 1 1 1 得 a2= ,a3= = ,a4= = ,a5= = . 2 1 3 4 4 5 5 1+ 2 3 4 答案 1 5

an ,则 a5=________. 1+an

an

8.数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2,则 an=_______________. 解析 由 an+1=an+2,a1=1,知 a2=3,a3=5,a4=7,…,an=2n-1. 答案 2n-1 9.设 f(n)= 解析 1

n+1 n+2
1



1

1 +…+ (n∈N+),则 f(n+1)-f(n)=________. 2n 1

由 f(n) =

n+1



n+2

+…+

1 1 1 1 ,得 f(n + 1) = + +…+ + 2n n+1+1 n+1+2 2n

1 1 + , 2n+1 2?n+1? 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - . 2n+1 2n+2 1 1 - 2n+1 2n+2

答案

三、解答题

2

?1?n 10.已知 an=a·? ? (a≠0 且为常数),试判断{an}的单调性. ?2?


?1?n ∵an-an-1=-a·? ? (n≥2,且 n∈N+), ?2?

∴当 a>0 时,an-an-1<0.即 an<an-1,数列{an}为递减数列. 当 a<0 时,an-an-1>0,即 an>an-1,数列{an}是递增数列. 11.已知数列{an}的通项公式为 an=n -5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?求出最小值. 解 5 2 9 2 (1)由 an=n -5n+4=(n- ) - 2 4
2

当 n=2 时,an=-2, 当 n=3 时,a3=-2, 当 n=1 时,a1=0, 同理,当 n=4 时,a4=0, 由函数的单调性可知, 当 n≥5 时,an>0, ∴数列中只有 a2,a3 这两项为负数. 5 2 9 2 (2)由 an=n -5n+4=(n- ) - , 2 4 5 知对称轴为 n= =2.5,又 n∈N+, 2 ∴当 n=2,或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 2 -5×2+4=-2. 12.已知数列{an}满足 an≤an+1,an=n +λ n,n∈N+,求实数 λ 的取值范围. 解 ∵an≤an+1,∴n +λ n-(n+1) -λ (n+1)≤0,即 λ ≥-(2n+1),n∈N+.∴λ ≥
2 2 2 2

-3.∴实数 λ 的取值范围是[-3,+∞). 思 维 探 究 13.已知数列{an}的通项公式是 an= 1

n2+5n+4

.

(1)你能判断该数列是递增的,还是递减的吗? (2)该数列中有负数项吗? 解 ∵ (1)对任意 n∈N+,

an



1



an



1 2 ?n+1? +5?n+1?+4



1

n2+5n+4



-2?n+3? <0, 2 2 [?n+1? +5?n+1?+4]?n +5n+4?

3

∴数列{an}是递减数列. (2)令 an<0,即
2

1 <0, n +5n+4
2

∴n +5n+4<0 得(n+4)(n+1)<0,∴-4<n<-1. 而 n∈N+,故数列{an}没有负数项.

4



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