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幂函数、指数函数、对数函数专练习题(含答案)



1. 函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域是 A. ( -∞,0] 2. 函数 y ? A.(0,1] A.(3,+∞) B.[0,+∞ ) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞)

log2 x 的定义域是
B. (0,+∞) B.[3, +∞)
x

C. (1,+∞) C.(4, +∞)

D.[1,+∞) D.[4, +∞)

3. 函数 y ? log 2 x ? 2 的定义域是 4. 若集合 M ? {y | y ? 2 }, N ? { y | y ? A. { y | y ? 1} 5. 函数 y = B. { y | y ? 1}

x ?1} ,则 M ? N ?
D. { y | y ? 0}

C. { y | y ? 0}

1 的图象是 x ?1

6. 函数 y=1-

1 , 则下列说法正确的是 x ?1
B.y 在(-1,+∞)内单调递减 D.y 在(1,+∞)内单调递减

A.y 在(-1,+∞)内单调递增 C.y 在(1,+∞)内单调递增 7. 函数 y ? log 0.5 (3 ? x) 的定义域是 A. (2,3) B. [2,3)

C. [2, ?? )

D. (??,3)

8. 函数 f ( x) ? x ? A.增函数

1 在 (0,3] 上是 x
B.减函数 D.在 3] 上是减函数 (0, 1] 上是增函数, [1,

C.在 3] 上是增函数 (0, 1] 上是减函数, [1, 9. 函数y ? lg(2 ? x) 的定义域是 A.(-∞,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0]

D(-∞,1]

?x ? ?2 ? 1, ( x ? 0) 若f(x o ) ? 1, 则xo的取值范围是 10. 设函数f ( x) ? ? ? (x ? 0) ? x

A.(?1,1)

B.(-1,??)
1

C.(-?,-2) ? (0,??)

D.(-?,-1) ? (1,??)

11. 函数y ?| x | 2 A.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递增 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减

12. 函数y ?

( x ? 1) 0 | x | ?x

的定义域是
C.{x | x ? 0且x ? -1} D.{x | x ? 0}

A.{x | x ? 0}
13. 函数 y ? A. [1, ??)

B.{x | x ? 0}
2

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是
B. ( 2 3 , ??) C. [ 2 3 ,1] D. ( 2 3 ,1]

14. 下列四个图象中,函数 f ( x) ? x ?

1 的图象是 x

15. 设 A、B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x ? A∩B}.已知 A={x|y= 2x ? x 2 },B={y|y=2x,x>0},则 A×B 等于 A.[0,1)∪(2,+∞) ? B.[0,1]∪[2,+∞)
.3 16. 设 a=20.3,b=0.3 ,c=log 0 2
2

? C.[0,1]

D.[0,2]

,则 C. b>c>a D. c>b>a

A a>c>b 17. 已知点 ( A. f ( x) ? 3x

B.a>b>c

3 3 , ) 在幂函数 y ? f ( x) 的图象上,则 f ( x) 的表达式是 3 9
B. f ( x) ? x3
?

C. f ( x) ? x ?2

x D. f ( x ) ? ( )

1 2

18. 已知幂函数 f ( x) ? x 的部分对应值如下表: x 1 1
2

f ( x)
则不等式 f ( x ) ? 1的解集是 A. x 0 ? x ?

1

2 2

?

2

? B. ?x 0 ? x ? 4? C. ?x ?

2 ?x ? 2

?

D. x ? 4 ? x ? 4

?

?

19. 已知函数 f ( x) ? A.3 B.4

x

2

? ax ? 3a ? 9的值域为 [0, ? ?),则 f (1)的值为
C.5 D.6

指数函数习题 一、选择题 1.定义运算 a?b=?
? ?a

?a≤b?

?b?a>b? ?

,则函数 f(x)=1?2 的图象大致为(

x

)

2.函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系 是( ) x x A.f(b )≤f(c ) x x B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同 x 3.函数 y=|2 -1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1) D.(0,2) 4.设函数 f(x)=ln[(x-1)(2-x)]的定义域是 A,函数 g(x)=lg( a -2 -1)的定义域是 B,若 A?B,则正数 a 的取值范围( ) A.a>3 B.a≥3 C.a> 5 D.a≥ 5 若数列{an}满足 an=f(n)(n∈N ),且{an}是
*

2

x

x

x

x

? ??3-a?x-3,x≤7, 5.已知函数 f(x)=? x-6 ?a ,x>7. ?

递增数列,则实数 a 的取值范围是( 9 A.[ ,3) 4 C.(2,3) 9 B.( ,3) 4 D.(1,3)

)

1 2 x 6.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x -a ,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围 2 是( ) 1 B.[ ,1)∪(1,4] 4 1 D.(0, )∪[4,+∞) 4 1 A.(0, ]∪[2,+∞) 2 1 C.[ ,1)∪(1,2] 2 二、填空题 7.函数 y=a (a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是________. 2 8.若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________.
x x

a

9.(2011·滨州模拟)定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=2 的定义域 为[a,b],值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为________. 三、解答题 10.求函数 y= 2?
? x2 ? 3 x ? 4

|x|

的定义域、值域和单调区间.

11.(2011·银川模拟)若函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在 x∈[-1,1]上的最大值为 14, 求 a 的值.

2x

x

12.已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=λ ·3 -4 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围.

x

ax

x

对数与对数函数同步练习 一、选择题 1、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
a


2

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a )

2

2、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

1 4

B、4

C、1

D、4 或 1

2 2 x ?m ,log 3、已知 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a(1 ? )

a

A、 m ? n
2

B、 m ? n

C、

1 ? m ? n? 2

1 ?, n log 则 a y 等于( 1? x 1 D、 ? m ? n ? 2



4、如果方程 lg x ? (lg5 ? lg 7)lg x ? lg5? lg 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ?? 的值是(



lg 7 A、 lg 5?

B、 lg 35

C、35

D、

1 35

5、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

?

1 2

等于(

) D、

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2


1 3 3

6、函数 y ? lg ? A、 x 轴对称

? 2 ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?
B、 y 轴对称

C、原点对称 )

D、直线 y ? x 对称

7、函数 y ? log (2 x ?1) A、 ?

3 x ? 2 的定义域是(
B、 ?

?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ? ?2 ? , ?? ? ?3 ?
2

?1 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?2 ?

C、 ?

D、 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?
) D、 ?3, ?? ? ) D、 0 ? m ? n ? 1

8、函数 y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17) 的值域是( A、 R B、 ?8, ?? ?

C、 ? ??, ?3?

9、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 10、 log a A、 ? 0, B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1 )

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3
B、 ?

? ?

2? ? ? ?1, ?? ? 3?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

C、 ?

?2 ? ,1? ?3 ?


D、 ? 0, ? ? ?

? ?

2? ?2 ? , ?? ? 3? ?3 ?

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2

B、 y ? log 2 D、 y ? log

x2 ?1

C、 y ? log 2

1 x

1 2

( x2 ? 4x ? 5)
x ?1

12 、 已 知 g ( x) ? loga x+1 (a ? 0且a ? 1) 在 ? ?1 , 0? 上 有 g ( x ) ? 0 , 则 f ( x) ? a ( ) B、在 ? ??,0? 上是减少的 D、在 ? ??,0? 上是减少的 A、在 ? ??,0? 上是增加的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的 二、填空题



13、若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? 14、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 15、 lg 25 ? lg 2? lg50 ? (lg 2)2 ? 16、函数 f ( x) ? lg

。 。 。 (奇、偶)函数。

?

x2 ? 1 ? x 是

?

三、解答题: (本题共 3 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

10 x ? 10? x 17、已知函数 f ( x) ? x ,判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。 10 ? 10? x

18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 , x2 ? 6

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。

19、已知函数 f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R ,值域为 ? 0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1

1 A 16 B

2 D 17 B

3 D 18 D

4 C 19 B

5 C

6 C

7 B

8 C

9 D

10

11

D

B

12 C

13 D

14 A

15 A

2. 函数 y ? 3. 函数 y ?

log2 x 的定义域是 log2 x ≥0 ,解得 x≥1,选 D
log2 x ? 2 的定义域是 log2 x ? 2 ≥0 ,解得 x≥4,选 D.
1 . X

6. 令 x-1=X,y-1=Y,则 Y=-

X∈(0,+∞)是单调增函数,由 X=x-1,得 x∈(1,+∞),y=1-

1 为单调增函数,故选 C. x ?1

15. ∵A=[0,2],B=(1,+∞),∴A×B={x|x∈A∪B 且 x ? A∩B}=[0,1]∪(2,+∞). 指数函数答案
? ?a ?a≤b? 1.解析:由 a?b=? ?b?a>b? ? ? ?2 得 f(x)=1?2 =? ?1 ?
x x

?x≤0?, ?x>0?.

答案:A 2. 解析:∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2. 又 f(0)=3,∴c=3.∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. x x x x 若 x≥0,则 3 ≥2 ≥1,∴f(3 )≥f(2 ). x x x x 若 x<0,则 3 <2 <1,∴f(3 )>f(2 ). x x ∴f(3 )≥f(2 ). 答案:A x 3.解析:由于函数 y=|2 -1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在 区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k+1,解得-1<k<1. 答案:C x x x x 4. 解析:由题意得:A=(1,2),a -2 >1 且 a>2,由 A?B 知 a -2 >1 在(1,2)上恒成立,即 ax-2x-1>0 在(1,2)上恒成立,令 u(x)=ax-2x-1,则 u′(x)=axlna-2xln2>0,所以函数 u(x)在(1,2)上单调递增,则 u(x)>u(1)=a-3,即 a≥3. 答案:B * 5. 解析:数列{an}满足 an=f(n)(n∈N ),则函数 f(n)为增函数,

a>1 ? ? 注意 a >(3-a)×7-3,所以?3-a>0 ? ?a8-6>?3-a?×7-3
8-6

,解得 2<a<3.

答案:C 1 1 x 1 2 x 1 2 x 2 6. 解析:f(x)< ?x -a < ?x - <a ,考查函数 y=a 与 y=x - 的图象, 2 2 2 2

1 -1 当 a>1 时,必有 a ≥ ,即 1<a≤2, 2 1 1 当 0<a<1 时,必有 a≥ ,即 ≤a<1, 2 2 1 综上, ≤a<1 或 1<a≤2. 2 答案:C

a 3 x 2 x 7. 解析:当 a>1 时,y=a 在[1,2]上单调递增,故 a -a= ,得 a= .当 0<a<1 时,y=a 2 2 a 1 1 3 2 在[1,2]上单调递减,故 a-a = ,得 a= .故 a= 或 . 2 2 2 2
1 3 答案: 或 2 2 8. 解析:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.

曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. 答案:[-1,1] 9. 解析:如图满足条件的区间[a,b],当 a=-1,b=0 或 a=0,b=1 时区间长度最 小,最小值为 1,当 a=-1,b=1 时区间长度最大,最大值为 2,故其差为 1. 答案:1 2 2 10. 解:要使函数有意义,则只需-x -3x+4≥0,即 x +3x-4≤0,解得-4≤x≤1. ∴函数的定义域为{x|-4≤x≤1}. 3 2 25 2 2 令 t=-x -3x+4,则 t=-x -3x+4=-(x+ ) + , 2 4 25 3 ∴当-4≤x≤1 时,tmax= ,此时 x=- ,tmin=0,此时 x=-4 或 x=1. 4 2 25 5 2 ∴0≤t≤ .∴0≤ -x -3x+4≤ . 4 2 ∴函数 y= ( )

x

x

1 2

? ? x2 ? 3 x ? 4

的值域为[

2 ,1]. 8

3 2 25 2 由 t=-x -3x+4=-(x+ ) + (-4≤x≤1)可知, 2 4 3 当-4≤x≤- 时,t 是增函数, 2 3 当- ≤x≤1 时,t 是减函数. 2 根据复合函数的单调性知:

y= ( )?

1 2

? x2 ? 3 x ? 4

3 3 在[-4,- ]上是减函数,在[- ,1]上是增函数. 2 2

3 3 ∴函数的单调增区间是[- ,1],单调减区间是[-4,- ]. 2 2 11. 解:令 a =t,∴t>0,则 y=t +2t-1=(t+1) -2,其对称轴为 t=-1.该二次函数 在[-1,+∞)上是增函数. 1 x 2 ①若 a>1,∵x∈[-1,1],∴t=a ∈[ ,a],故当 t=a,即 x=1 时,ymax=a +2a-1=14,
x
2 2

a

解得 a=3(a=-5 舍去). ②若 0<a<1,∵x∈[-1,1], 1 1 x ∴t=a ∈[a, ],故当 t= ,即 x=-1 时,

a

a

ymax=( +1)2-2=14. a
1 1 ∴a= 或- (舍去). 3 5 1 综上可得 a=3 或 . 3 12. 解:法一:(1)由已知得 3 =18?3 =2?a=log32. x x (2)此时 g(x)=λ ·2 -4 , 设 0≤x1<x2≤1, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以 g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ -2x2-2x1)>0 恒成立,即 λ <2x2+2x1 恒成立. 0 0 由于 2x2+2x1>2 +2 =2, 所以实数 λ 的取值范围是 λ ≤2. 法二:(1)同法一. x x (2)此时 g(x)=λ ·2 -4 , 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, x x x 2 x 所以有 g′(x)=λ ln2·2 -ln4·4 =ln2[-2·(2 ) +λ ·2 ]≤0 成立. x 2 设 2 =u∈[1,2],上式成立等价于-2u +λ u≤0 恒成立. 因为 u∈[1,2],只需 λ ≤2u 恒成立, 所以实数 λ 的取值范围是 λ ≤2.
a+2 a

1

对数与对数函数同步练习参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 C 9 C 10 A 11 D 12 C

13、12

14、 x 1 ? x ? 3 且x ? 2

?

?

?3 ? x ? 0 ? 由 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 1 ?
1 x ?1 ? x
2

解得 1 ? x ? 3且x ? 2

15、2

16







? x ? R且f (? x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? lg
奇函数。 三、解答题 17 、 ( 1 )

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x) 为

f ( x) ?

10 x ? 10? x 102 x ? 1 ? , x?R 10 x ? 10? x 102 x ? 1



f ( ? x) ?

10? x ? 10 x 102 x ? 1 ? ? ? ? f ( x), x ? R 10? x ? 10 x 102 x ? 1

∴ f ( x) 是奇函数

102 x ? 1 , x ? R.设x1 , x2 ? (??, ??) ,且 x1 ? x2 , (2) f ( x) ? 2 x 10 ? 1
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

102 x1 ? 1 102 x2 ? 1 2(102 x1 ? 102 x2 ) ? ? ? 0 , (?102 x1 ? 102 x2 ) 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 10 ? 1 10 ? 1 (10 ? 1)(10 ? 1)

∴ f ( x) 为增函数。

x 2 ? 3? ? 3 ? x?3 x2 x2 f ( x ) ? lg ? 0得 ? lg 2 18、 (1)∵ f ( x ? 3) ? lg 2 ,∴ ,又由 2 x ?3 x ?6 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

x2 ? 3 ? 3 ,

∴ f ( x) 的定义域为 ?3, ??? 。

(2)∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数。

mx 2 ? 8x ?n y mx 2 ? 8x ?n 3 ? y 2 y 19、由 f ( x) ? log 3 ,得 ,即 ? 3 ? m ??x ? 8 x ? 3 ? n ? 0 x2 ? 1 x2 ? 1
∵ x ? R,?? ? 64 ? 4(3 ? m)(3 ? n) ≥ 0 ,即 3
y y
y

2y

? (m ? n)? 3y ? mn ?16 ≤ 0

由 0 ≤ y ≤ 2 ,得 1≤ 3 ≤ 9 ,由根与系数的关系得 ?

?m ? n ? 1 ? 9 ,解得 m ? n ? 5 。 9 ?mn ? 16 ? 1?



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