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函数的实际应用



函数的实际应用
(一) 主要知识: 1. 函数定义域、图象、单调性质等知识; 2. 函数的值域、最值;解不等式等知识。

(二)主要方法:

解数学应用题的一般步骤为: ?1? 审题; ? 2 ? 建模; ? 3? 求解; ? 4 ? 作答.

(三)典例分析: 问题 1.某村计划建造一个室内面积为 800m2

的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左、右
两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边 长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

问题 2.某医药研究所开发一种新药,如果成人按
规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药 量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线:

y ? 微克?

?1? 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; ? 2 ? 据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时
治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间 为 7 : 00 ,问一天中怎样安排服药的时间、次数、 效果最佳?

6

O

1 2

8

t ?小时?

153

问题 3. 用长为 90 cm 宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去
一个小正方形,然后把四边翻转 90 ? 角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时 ,容器 的容积最大?最大容积是多少?

?

问题 4.本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广
告总费用不超过 9 万元, 甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元 和 0.2 万元. 问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间, 才能使公司的收益最大, 最大收益是多少万元?

问题 5. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公
司交 a 元( 3 ≤ a ≤ 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤ 11 )时, 一年的销售量为 (12 ? x) 万件.
2

(Ⅰ)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) .

154

(六)走向高考:
1. 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元。该厂为鼓励 销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单 价就降低 0.02 元。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件。 (Ⅰ) 设一次订购量为 x 件, 服装的实际出厂单价为 P 元, 写出函数 P ? f ( x) 的表达式;
(Ⅱ)当销售商一次订购了 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本)

2. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1 ? 5.06x ? 0.15x2
和 L2 ? 2x ,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得 的最大利润为

A. 45.606

B. 45.6

C. 45.56

D. 45.51

3. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长 分别为 x 、 y (单位: m )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求
框架围成的总面积 8 cm . 问 x 、 y 分别为多少(精确到 0.001m ) 时用料最省?
2

y

155

x

4. 某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以 增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ≤ x ≤ 30 )的 平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件.
(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

5. ( 07 湖北文)为了预防流感,某学校对教室用药熏 消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米 空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比; 1

y (毫克)

?1? 药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y ? ? ? ? 16 ? ( a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信息,

t ?a

回答下列问题: (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函数关系式为

O 0.1

t (小时)

(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

156



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