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平面向量经典习题汇总



平面向量经典习题汇总
1.(北京理.2)已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 ( ) A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C.k ? ?1 且 c 与 d 同向 D.k ? ?1 且 c 与 d 反向 【解析】本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减

法. 属于基础知识、基 本运算的考查. 取 a ? ?1, 0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 2.(北京文.2)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d ,那 么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C.k ? ?1 且 c 与 d 同向 D.k ? ?1 且 c 与 d 反向 .【解析】本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基 本运算的考查. ∵a ? ?1, 0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 3.(福建理.9;文.12)设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且满足 a 与 b 不共线,a ? c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于 w.w B 以 b,c 为两边的三角形面积

A. 以 a,b 为两边的三角形面积

C.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】依题意可得 b ? c ? b ? c ? cos(b, c) ? b ? a ? sin( a, c) ? S ? 故选 C. 4.(广东理.6)一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平 衡状态.已知 F1 , F2 成 600 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 wA. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 w.w.w.k.s.5.u.

180 【解析】 F32 ? F12 ? F22 ? 2 F1 F2 cos( 0 ? 60 0 ) ? 28 ,所以 F3 ? 2 7 ,选 D.

5. (广东文.3)已知平面向量 a= x,1 ,b= , (-x, x 2) 则向量 a ? b ( ) A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

【解析】 a ? b ? (0,1 ? x 2 ) ,由 1 ? x2 ? 0 及向量的性质可知,选 C

? 6.(湖北理.4,文 7)函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解 6
析式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于
A.(?

?
6

, ?2)

B. ( ?

?
6

, 2)

C. ( ? 2 ) , 6

?

D. ( , 2 ) 6

?

? ? 【解析】由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ? , 2) 时, 6

F? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2x 为奇函数,故选 D.

7. (湖北文.1)若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b ? ? ? 【解析】由计算可得 c ? (4, 2) ? 3c ? b 故选 B D. a+3b

8.(湖南文.4)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( ???? ??? ??? ? ? ? A A. AD ? BE ? CF ? 0
??? ??? ???? ? ? ? B. BD ? CF ? DF ? 0 ???? ??? ??? ? ? ? C. AD ? CE ? CF ? 0 ??? ??? ??? ? ? ? ? D. BD ? BE ? FC ? 0
B E
图1

)

D

F

C

图1 ???? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? 【解析】? AD ? DB,? AD ? BE ? DB ? BE ? DE ? FC , 得 AD ? BE ? CF ? 0 ,
???? ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 或 AD ? BE ? CF ? AD ? DF ? CF ? AF ? CF ? 0 .故选 A.

? ? ? ? ? ? 9.(辽宁理,文.3)平面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? (2, 0),| b |? 1 ,则 | a ? 2b |?

(A) 3

(B) 2 3

(C)4

(D)12

? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? 1 【解析】 cos ? a, b ?? , | a |? 2 , | b |? 1 , (a ? 2b) 2 ? a ? 4ab ? 4b 2 ? ? 1 ? 4 ? 4 ? 2 ?1? ? 4 ? 12 , | a ? 2b |? 2 3 。选 B 2 10.(宁夏海南理.9)

已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且
PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的

(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 【解析】
由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 ; 由

? PA ? PB ? PB ? PC, PA ? PC ? PB ? 0, CA ? PB ? 0,?CA ? PB, ? ? 同理,AP ? BC,? P为?ABC的垂心,

?

?

选C

11.(全国理.6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ? a ? c ? ? ? b ? c ? 的最小值 为 ( (A) ?2 ) (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

【 解 析 】 ? a , b, c 是 单 位 向 量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? ??

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? a ? c ? b ? c ? a? ? (a ? b)? ? c b c

?

??

?

? ? ? ? ?? ? 1? | a ? b |? c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 ,故选 D. |
12.(全国理,文.6)已知向量 a ? (2,1) , a ? b ? 10 , | a ? b |? 5 2 ,则 b ? (A) 5 (B)
10

(C) 5 (D) 25

【解析】将 | a ? b |? 5 2 平方即可,故选 C
??? ??? ? ? ??? ? BC 13.(山东理.7;文.8)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, ? BA ? 2BP ,( 则
??? ??? ? ? ? A. PA ? PB ? 0 ??? ??? ? ? ? B. PC ? PA ? 0 ??? ??? ? ? ? C. PB ? PC ? 0 ??? ??? ??? ? ? ? ? D. PA ? PB ? PC ? 0


B

【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, ??? ??? ? ? ??? ? 可以借助图形解答因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P

A

为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 14.(陕西理.8)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足学

P 第 7 题图

C

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ???? ? AP ? 2PM ,则科网 PA ? ( PB ? PC ) 等于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4 4 4 4 (B) ? (C) (D) 9 3 3 9 ??? ? ???? ? PA ? 2 PM ? P是AM 的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP, 【解析】??? ??? ??? 故选 A ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? 2 ???? 2 ???? 4 ???? 2 4 PA ? ( PB ? PC ) ? PA ? PH ? (? AM )? AM ? ? ?AM ? ? 3 3 9 9
(A) ? 15.(浙江文.5)已知向量 a ? (1, 2) , ? (2, ?3) . 若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , ? (a ? b) , b c 则c ?( ) 7 7 7 7 7 7 7 7 A.( , ) B.(? , ? ) C.( , ) D.(? , ? ) 9 3 3 9 3 9 9 3 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? a , ) 【解析】不妨设 C ? (m, n) ,则 a ?c ? ?1 m ,2? n ,? ?b ? (3 ?1 ,对于 c ? a // b , ? ? ? 则 有 ?3 ( ? m ? 2 (n2 ; ) c ? a? b , 则 有 3m ? n ? 0 , 则 有 又 1 ) ?

?

?

?

?

7 7 m ? ? ,n ? ? 9 3

故D )

16.(重庆理.4)已知 a ? 1, b ? 6, a ?(b ? a ) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.

? 6

B.

? ? ? ? ? ?2 ? ? a(b ? a) ? a ? b ? a ? 6cos a , b ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? cos a , b ? ? a , b ? 2 3
故选 C

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【解析】

17.(重庆文.4)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是 A.-2 B.0 C.1 D.2

【解析】法 1:因为 a ? (1,1), b ? (2, x) ,所以 a ? b ? (3, x ? 1), 4b ? 2a ? (6, 4 x ? 2), 由 于 a ? b 与 4b ? 2a 平行,得 6( x ? 1) ? 3(4 x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 2 。 法 2 因 为 a ? b 与 4b ? 2a 平 行 , 则 存 在 常 数 ? , 使 a ? b ?? ( 4 b ? 2 a) ,
(2? ? 1)a ? (4? ? 1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x ? 2 故选 D

二.填空题:
??? ??? ? ? 1. (安徽理.14)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120o .

??? ? 如图所示, C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 点

???? ??? ? ??? ? 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y

的最大值是________. 【解析】设 ?AOC ? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?
1 ? ?cos ? ? x ? 2 y ? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? 2

∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(1200 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 6 2. (安徽文.14)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC ???? ??? ? ??? ? 的中点,若 AC = ? AE + ? AF ,其中 ? , ? ? R ,则 ? + ? _____ .学科网
???? ??? ???? ??? ???? 1 ??? ??? ??? 1 ???? ? ? ? ? ? 【解析】 AC ? AB ? AD, AE ? AD ? AB, AF ? AB ? AD 2 2 ??? ??? 3 ??? ???? 3 ???? ? ? ? ???? 2 ??? ??? ? ? 4 AE ? AF ? ( AB ? AD) ? AC ,∴ AC ? ( AE ? AF ) ,∴ ? ? ? ? 2 2 3 3

?

3.(广东理.10)若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) ,则
a?

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】
a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1) 或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) .

4. ( 湖 南 文 .15) 如 图 2 , 两 块 斜 边 长 相 等 的 直 角 三 角 板 拼 在 一 起 , 若 ???? ??? ? ???? AD ? x AB ? y AC ,则

x ? ___________, y ? ________ .

C D
45?

E
60?

A

B
图2

【解析】

作 DF ? AB ,设 AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ? 2 ,? ?DEB ? 60? ,? BD ?

6 , 2

6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 5. (江苏文理.2).已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ,a |? 2,| b |? 3 , 则向量 a 和向量 b | ? ? 的数量积 a ? b = ___________。

由 ?DBF ? 45? 解得 DF ? BF ?

【解析】考查数量积的运算。

? ? a ?b ? 2?

3?

3 ? 3 2

? ? ? ? ? ? ( 江 西 理 .13) 已 知 向 量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 7) , 若 (a ? c) ∥ b , 则 6.

. ? ? ? 3 ? k ?6 【解析】 a ? c ? (3 ? k , ?6) // b ? ? ?k ? 5 1 3

k=

? ? ? ? ? ? 7..( 江 西 文 .13) 已 知 向 量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) , 若 (a ? c) ? b 则

. k= ? ? 【解析】因为 a ? c ? (3 ? k , ?1), 所以 k ? 0
???? ??? ? 8.( 天 津 理 .15) 在 四 边 形 ABCD 中 , AB = DC = ( 1 , 1 ),

? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ??? BA ? ??? BC ? ??? BD ,则四边形 ABCD 的面积是 ? ? ? BA BC BD
??? ???? ? 【解析】因为 AB = DC =(1,1),所以四边形 ABCD 为平行四边形,所以

? ? ? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? 3 ??? ??? ??? BA ? ??? BC ? ??? BD ? ??? ( BA ? BC ) ? ? ? ? BA BC BD BD
? ? ?? ? ? ?? ? B D ? 3 B A? 3 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? BC 即 , B? A B? 2 , C B?D 6

则四边形 ABCD 的面积为 S ? 2 ?

1 6 ? 6? 2? ? 3 2 4

? 1 ? 2 ? 9.(天津文.15)若等边 ?ABC 的边长为 2 3 , 平面内一点 M 满足 CM ? CB? CA , 6 3

则 MA? MB ? ________. 【解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设
C (0,0), A(2 3,0), B( 3 ,3)

?

?

这 样 利 用 向 量 关 系 式 , 求 得
?

M (

3 3 1 , ) , 然 后 求 得 2 2

MA ? (

3 1 ? 3 5 ,? ), MB ? (? ,? ) ,运用数量积公式解得为-2. 2 2 2 2

三.解答题:
1.(广东理.16) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2 (1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?
10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10 2

?

【解析】 (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin? ? 2 cos? , 代 入 s i 2 n ? c o2 ? ? 1 得 sin ? ? ? ? s
2 5 5 , cos? ? . 5 5 2 5 5 ? , cos? ? ? , 又 ? ?( 0 , , ∴ ) 5 5 2

sin ? ?

( 2 ) ∵

0 ?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2

, ∴

?

?
2

? ? ?? ?

?
2

, 则 ∴

cos( ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ?

3 10 10


2 .i 2

? )] c ? ? cos[ ? (? ? ? o ? c ? c

? ? ?) ? s ? o ?o ?) ? s ?

s i

s

n

n

(

2. (广东文.16)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) 2 (1)求 sin ? 和 cos? 的值

?

? (2)若 5 cos( ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos? 的值 2

v v v v 【解析】 (1) Q a ? b ,? a gb ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2cos?

又∵ sin 2 ? ? cos? ? 1 , 又

1 4 ∴ 4cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,即 cos 2 ? ,∴ sin 2 ? ? 5 5
5

? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2

5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?
? cos ? ? sin ? ,? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?

1 2

又 0 ?? ?

2 ? , ∴ cos ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2

3.(湖北理科 17.) 已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; ? (Ⅱ)设 a ? ,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。 4 【解析】 (1)解法 1: b ? c = (cos? ? 1,sin? ), 则
| b ? c |2 ? (cos? ? 1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). ? ?1 ? cos? ? 1,? 0 ?| b ? c |2 ? 4 ,即 0 ?| b ? c |? 2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |? 2, 所以向量 b ? c 的长度的最大值为 2. 解法 2:?| b |= 1 , | c |? 1 , | b ? c |?| b | + | c |? 2 当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |= (?2,0) ,即 | b ? c |= 2 ,
b ? c 的长度的最大值为 2.

(2)解法 1:由已知可得 b ? c = (cos? ? 1,sin? ),
a? b ? c) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? 。 ( ? a⊥(b+c),? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos(? ? ? ) ? cos ? 。

由? ?

?

,得 cos( ? ? ) ? cos ,即 ? ? ? 2k? ? (k ? z ) 。 4 4 4 4 4

?

?

?

?

? ? ? 2k ? ?

?

4

或? ? 2k? , ? z ) ,于是 cos ? ? 0或 cos ? ? 1 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (k

解法 2:若 ? ?

?
4

,则 a ? (

2 2 , ) ,又由 b ? (cos ? ,sin ? ) , c ? (?1,0) 得 2 2

? a ? (b ? c) ? (

2 2 2 2 2 , ) ? (cos ? ? 1,sin ? ) ? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2

? a⊥(b+c),? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos ? (cos ? ? 1) ? 0 ? sin ? ? 1 ? cos ? ,平方后化简得 cos ? (cos ? ? 1) ? 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解得 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 ,经检验, cos ? ? 0或 cos ? ? 1 即为所求

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? 4. (湖南理.16)在 ?ABC 中,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C
的大小. 【解析】设 BC ? a, AC ? b, AB ? c .
??? ???? ? ??? ???? ? 3 由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? . 2

又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

?
6

.

??? ??? ? ? ??? 2 ? 3 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a 2 ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin 2 A ? . 4
所以 sin C ? sin(
5? 3 1 3 3 sin C ) ? ? C) ? , sin C ? ( cos C ? ,因此 2 2 4 6 4

2sin C ? cos C ? 2 3 sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 . 3 ? 5? ? ? 4? 由 A ? 知0 ? C ? ,所以 ? ? 2C ? ? ,从而 6 6 3 3 3 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? 。 A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 6 3 6 6 6 3

?

? ? 5. (湖南文 16.)已知向量 a ? (sin ? , cos ? ? 2sin ? ), b ? (1, 2).

? ? (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
? ? (Ⅱ)若 | a |?| b |, 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

? ? 【解析】 (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? ,

1 于是 4sin ? ? cos? ,故 tan ? ? . 4 ? ? (Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? ) 2 ? 5,

所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin 2 ? ? 5. 从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 ,

? 2 ? ? 9? 于是 sin(2? ? ) ? ? .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 2 4 4 4
4 3? 因此 ? ? ,或 ? ? . 4 2

所以 2? ?

?

?

?

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4

? ? ? 6. (江苏文理.15)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) 学

? ? ? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值;学科网 科 ? ? (2)求 | b ? c | 的最大值;学科网 ? ? (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b ..网

【解析】 本小题主要考查向量的基本概念, 同时考查同角三角函数的基本关系式、 二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

7.( 浙 江 理 .18) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足 ??? ???? ? A 2 5 cos ? , AB ? AC ? 3 . 2 5 (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. A 2 5 A 3 4 【 解 析 】 I ) 因 为 cos ? ( , ? cos A ? 2cos 2 ? 1 ? ,sin A ? , 又 由 2 5 2 5 5

??? ???? ? 1 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 ,? S?ABC ? bc sin A ? 2 2 ( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得
a2 ? b2 ? c2 ?2 b c o s A? 2 ,? a ? 2 5 c 0

A 2 5 8.(浙江文.18)在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 且满足 cos ? , 2 5 ??? ???? ? AB ? AC ? 3 . (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值. A 2 5 2 3 【解析】 (Ⅰ) cos A ? 2 cos2 ? 1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5 4 3 又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos2 A ? ,而 AB. AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 , 5 5 1 1 4 所以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5

所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

2 0 0 9 0 4 2 3



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