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甘肃省天水市秦安二中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案



第Ⅰ 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,把答案填在答题卡的相应位置上. ) 1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A
2

(CR B ) ? (

)

A.(?3, 0)

B.(?3, ?1]

C.(?3, ?1)

D.(?3,3)

? / 1 x ? x ? ? 2 2 2 2.在平面直角坐标系中,曲线 C: x ? y ? 36 经过伸缩变换 ? 后,所得曲线的焦点 ? y/ ? 1 y ? 3 ?
坐标为( ) B. (? 5, 0) C. (0, ? 13) D. (? 13, 0) ) A. (0, ? 5)

3.执行如右下图所示的程序框图,若输出 i 的值为 2 ,则输入 x 的最大值是(

A. 5

B. 6

C. 11

D. 22

4.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ) ? y ? 2 ? 4t

A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

5. 若 存 在实 数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成 立 ,则 实 数 a 的 取 值 范围 是 ( ) A. ?1 ? a ? 3 C. ? 2 ? a ? 4

6.在极坐标系中,圆 ? ? 4 cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? ? 0( ? ? R ) 和 ? cos ? ? 4 C. ? ? 0( ? ? R ) 和 ? cos ? ? 2 B. ? ? D. ? ?

?2? a ? 4

B. ?1 ? a ? 3

D. ( )

? ?
2 2

( ? ? R) 和 ? cos ? ? 4 ( ? ? R) 和 ? cos ? ? 2

7. 随机变量 X 的概率分布列规律为 P ( X ? n) ?

a (n ? 1, 2,3, 4), 其中 a 为常数,则 n(n ? 1)

1 5 P( ? X ? ) 的值为 ( 2 2 2 3 A. B. 3 4

) C.

4 5

D.

5 6

?x=t, ? 8.在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数). 以原点 O 为极点, 以 x8. 已 ?y=4+t ?

知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是
3 2

A. ? 2, ?? ?

B. ?1, ?? ?

C. ? ??, ?2 ?

D. ? ??, ?1?

9. 在极坐标系中 , 直线 ? cos ? ?

) ?AOB 的大小为 ( ?? ?? ? ? A. B. C. D. 3 6 2 3 10. 我校 15 届高二有 840 名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人 按 1, 2,

1 与曲线 ? ? 2 cos ? 相交于 A, B 两点 , O 为极点 , 则 2

,840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间 ? 481, 720? 的人数为(



A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上) 11.若随机变量 ? 12. 二项式 ( x ? 式中常数项为

1 B(5, ) ,则 D(3? ? 2) ? ______________ . 3 2 n 则展开 ) 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大, x2
.

13.在区间 [?2, 2] 上随机取一个数 x ,使 | x ? 1| ? | x ? 1|? 1 成立的概率 为 .
2 2

14.如图,以过原点的直线的倾斜角 ? 为参数,则圆 x ? y ? 2 y ? 0 的参数方程为 . 15. 用 1、2、3、4、5、6 六个数组成没有重复数字的六位数,其中 5、6 均排在 3 的同侧, 这样的六位数共有 个(用数字作答) . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 6 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 P (0, 3) ,曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数).以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极 ? ? ? y ? 3sin ?
坐标方程为 ? ?

3

2 cos(? ? ) 6

?

.

(Ⅰ)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A 、 B ,求 | PA | ? | PB | 的值.

17. (本小题满分 8 分)设函数 f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3. (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有最小值,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 8 分)某校举行综合知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选 手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 6 次答题的机会,选手累计答对 4 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 4 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答题 连续两次答错的概率为

1 (已知甲回答每道题的正确率相同,并且相互之间没有影响). 9

(Ⅰ)求选手甲回答一个问题的正确率; (Ⅱ)求选手甲可以进入决赛的概率.

19. (本大题满分 8 分) 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电 视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取 30 名学生进行了问卷调查,得到了如 下列联表: 收看 男生 10 女生 合计

不收看 合计

8 30

已知在这 30 名同学中随机抽取 1 人,抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是

8 . 15

(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关? (II)若从这 30 名同学中的男同学中随机抽取 2 人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的 人数为 X,求 X 的分布列和均值. (参考公式: K ?
2

n( ad ? bc ) 2 , n ? a?b?c?d ) ( a ? b)( a ? c )( c ? d )(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635

P ( K 2 ? k0 )

k0

20.(本小题满分 10 分)已知函数

f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? ln x.

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 ?2 ,其中 e 是自然对数的底数, 求实数 a 的取值范围;

参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在相应横线上. ) 11. 10 12. 180 13.

5 8

14. ?

? x ? sin 2?
2 ? y ? 2sin ?

(? 为参数) 15. 480

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17. (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?| 3 x ? 1| ? x ? 3.

1 1 1 时, f ( x) ? 4 可化为 3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,解得 ?x? ; 3 3 2 1 1 当 x ? 时, f ( x) ? 4 可化为 ?3 x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ,解得 0 ? x ? . 3 3 1 综上可得,原不等式的解集为 {x | 0 ? x ? }. ??????????4 分 2
当x?

1 ? (3 ? a ) x ? 2, x ? , ? ? 3 (Ⅱ) f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? 1 ?(a ? 3) x ? 4, x ? . ? 3 ?

??????6 分

函数 f ( x) 有最小值的充要条件为 ?

?a ? 3 ? 0, 即 ?3 ? a ? 3. ??????8 分 ?a ? 3 ? 0,

19.(本小题满分 8 分) 解(Ⅰ) 男生 收看 不收看 合计 由已知数据得: K ?
2

女生 6 8 14

合计 16 14 30

10 6 16

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 16 ?14 ?16 ?14

所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 . ????4 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ?

1 1 2 C62 1 C6 C10 1 C10 3 , ? , P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? . 2 2 2 C16 8 C16 2 C16 8

??6 分

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

1 2 1 1 3 5 X 的均值为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 8 2 8 4
P

1 8

3 8
??????????8 分

令 f ?( x) ? 0 得 x ? ① 当0 ?

1 1 或x ? 2 a

??????????5 分

1 ? 1, 即a ? 1时,f ( x)在[1, e]上单调递增 ,所以 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值是 a

f (1) ? ?2 ,满足条件,于是 a ? 1 ;



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