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专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明



抽象函数单调性与奇偶性
特殊模型 正比例函数 f(x)=kx (k≠0) 幂函数 指数函数 f(x)=a
x

抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ?
y f (x ) f (y)
f (x ) f (y)

f(x)=x

/>n

]

(a>0 且 a≠1) (a>0 且 a≠1) f(x)=cosx

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或 f ( x

? y) ?

对数函数 f(x)=logax

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或 f ( x ) ?
y

f ( x ) ? f ( y )]

正、余弦函数 f(x)=sinx

f(x+T)=f(x)
f (x ? y) ? f (x ) ? f (y) 1 ? f ( x )f ( y )
1 ? f ( x )f ( y ) f (x ) ? f (y)

正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx

f (x ? y) ?

1.已知 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) f ( y ) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0 ) ? 0 ,求证 f ( x ) 为偶函数。 证明:令 x =0, 则已知等式变为 f ( y ) ? f ( ? y ) ? 2 f (0) f ( y ) ……① 在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) ∵ f (0) ≠0∴ f (0) =1∴ f ( y ) ? f ( ? y ) ? 2 f ( y ) ∴ f ( ? y ) ? f ( y ) ∴ f ( x ) 为偶 函数。 2.奇函数 f ( x ) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m ) ? f (1 ? m ) ? 0 的实数 m 的取值范围。
2

解:由 f (1 ? m ) ? f (1 ? m ) ? 0 得 f (1 ? m ) ? ? f (1 ? m ) ,∵ f ( x ) 为函数,∴ f (1 ? m ) ? f ( m ? 1)
2 2 2

??1 ? 1 ? m ? 1 ? 2 又∵ f ( x ) 在(-1,1)内递减,∴ ? ? 1 ? m ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1 ? 2 ?1 ? m ? m ? 1

3.如果 f ( x ) = ax ? bx ? c (a>0)对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、 f (2)、 f (4) 的大小
2

解:对任意 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ∴ x =2 为抛物线 y = ax ? bx ? c 的对称轴
2

又∵其开口向上∴ f (2)最小, f (1)= f (3)∵在[2,+∞)上, f ( x ) 为增函数 ∴ f (3)< f (4),∴ f (2)< f (1)< f (4) 4. 已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)=-2, 求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数 f(x)是 性。 解:设 ∵ ∴ ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 的抽象函数,因此求函数 f(x)的值域,关键在于研究它的单调 ,∴ ,

在条件中,令 y=-x,则 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故 f(-x) =f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。

5. 已知函数 f(x)对任意

,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)

=5,求不等式 的解。 分析:由题设条件可猜测:f(x)是 y=x+2 的抽象函数,且 f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱 去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设 ,则 即 ,∴f(x)为单调增函数。 ∵ , 又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴ ,∴ , 即 ,解得不等式的解为-1 < a < 3。 ,使得 ,对任何 x 和 y, ,∵当 , ,∴

6.设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 成立。求: (1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测 f(x)是指数函数 解:(1)令 y=0 代入 。若 f(x)=0,则对任意 (0)=1。 (2)令 y=x≠0,则 故对任意 x,f(x)>0 恒成立。

的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0。 ,则 ,有 ,∴ ,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f

,又由(1)知 f(x)≠0,∴f(2x)>0,即 f(x)>0,

7.是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;② =4。同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在 下: (1)x=1 时,∵ 正确。 (2)假设 +1 时,结论正确。 综上所述,x 为一切自然数时 时有 。 ,求: ,又由 f(2)=4 可得 a=2.故猜测存在函数

;③f(2) ,用数学归纳法证明如 ,结论 ,∴x=k

,又∵x ∈N 时,f(x)>0,∴ ,则 x=k+1 时,

8.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 (1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 分析:由题设可猜测 f(x)是对数函数 解:(1)∵ (2) 即 的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故

,解之得:8<x≤9。

9.设函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x)。如果 f(ab)=f(a)+f(b),那么 g(a+b)=g(a)·g(b)是否 正确,试说明理由。 分析: 由题设条件可猜测 y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是 y=g(x),∴y=g(x)必 为指数函数的抽象函数,于是猜想 g(a+b)=g(a)·g(b)正确。 解:设 f(a)=m,f(b)=n,由于 g(x)是 f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而 ,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以 a、b 分别代替上式中的 m、n 即得 g(a+b)=g(a)·g(b)。 10. 己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:

①当 是定义域中的数时,有 ; ②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知 f(x)是 y=-cotx 的抽象函数,从而由 y=-cotx 及题设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上 是增函数(这里把 a 看成 进行猜想)。 是定义域中的数时有

解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且

,∴

在定义域中。∵

, ∴f(x)是奇函数。 (2)设 0<x1<x2<2a,则 0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上 f(x)<0,

∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知 ∴在(0,2a)上 f(x)是增函数。 又 则 0<x-2a<2a, ,∵f(a)=-1,∴

中的

,于是 f(x1)< f(x2),

,∴f(2a)=0,设 2a<x<4a,

,于是 f(x)>0,即在(2a,4a)上 f(x)>0。设 2a<x1<x2<4a,

则 0<x2-x1<2a,从而知 f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵ ,即

,∴

f(x1)<f(x2),即 f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。 11. 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y),且 f(-1)=1,f(27)=9,当
。 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。

时,

分析:由题设可知 f(x)是幂函数 的抽象函数,从而可猜想 f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。 解:(1)令 y=-1,则 f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴

f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设 ,∴ , ,



时,

,∴

,∴f(x1)<f(x2),故 f(x)在 0,+∞)上是增函数。 ,

(3)∵f(27)=9,又 ∴ ∵ ,∴ ,∵ ,∴ 时, ,得 ,与 矛盾 ,∴ ,又 ,故 , 。

12. 设 f(x)定义于实数集上,当 在 R 上为增函数。 证明:在 若 所以 当 而 所以 又当 时, ,恒有 ,则 时, ,令 ,即有 ;当 中取 ,则

,且对于任意实数 x、y,有

,求证:

时,

所以对任意 设 所以 所以

在 R 上为增函数。

13.已知函数 奇偶性。 解:取 又取 再取 因为 得: 则 为非零函数,所以 得:

对任意不等于零的实数 ,所以 ,所以 ,即 为偶函数。

都有

,试判断函数 f(x)的

14.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 判断 f(x)的单调性; 解:在 在 所以当 时 中,令 中,令 而 ,所以,综上可知,对于任意 ,得 因为当 时, 所以 ,均有 。

,且当 x>0 时,0<f(x)<1。 ,因为 ,所以 。

又当 x=0 时,

设 所以

,则 所以 在 R 上为减函数。

15. 设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x)在[-3,3]上的最大 值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设 x1<x2, 则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)< f(x1). (∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0) 所以 f(x)是 R 上的减函数, 故 f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为 f(-3), 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.

16.设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x)在 R 上为 增函数。 证明:设 R 上 x1<x2,则 f(x2-x1)>1, f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1),因为 f(x1)的正负还没确定) 。 取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f 0) ( =0,令 x>0,y=0, f(x)=0 与 x>0 时, 则 f(x)>1 矛盾, 所以 f(0)=1, 时, x>0 f(x)>1>0,x<0 1 时,-x>0,f(-x)>1,∴由 f ( 0 ) ? f ( x ) f ( ? x ) ? 1得 f ( x ) ? ? 0 ,故 f(x)>0,从而 f(x2)>f(x1).即 f(x)在 R 上是
f (? x)

增函数。 17. 已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1,x2 都有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 且当 x ? 1 时 f ( x ) ? 0, f (2) ? 1 , (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f ( 2 x ? 1) ? 2 解: (1)设 x 2 ? x1 ? 0 ,则 f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ?
2
2 2 1 1

x1

1

1

f (

x2 x1

) ? f ( x1 ) ? f (

x2 x1

)

∵ x 2 ? x1 ? 0 ,∴

x2 x1

? 1 ,∴ f (
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x2 x1

) ? 0 ,即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x 2 ) ? f ( x1 )

∴ f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是增函数

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(2)? f ( 2 ) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ,∵ f ( x ) 是偶函数∴不等式 f ( 2 x ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x ? 1 |) ? f (4) ,
2 2

又∵函数在 (0, ? ? ) 上是增函数,∴0≠ | 2 x ? 1 |? 4 ,解得: { x | ?
2

10 2

? x ?

10 2

且x ? ?

2 2

}

18.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 2

)=0,当 x>-

1 2

时,f(x)>0.求证:

f(x)是单调递增函数;
证明:设 x1<x2,则 x2-x1-
1 2

>-

1 2

,由题意 f(x2-x1-

1 2

)>0,
1 2

∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- -x1)-
1 2

)-1=f[(x2

]>0,∴f(x)是单调递增函数.
+ m

19.定义在 R 上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(x )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R 上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围.
+

解:(1)令 x=2 ,y=2 ,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2 )=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2 )+f(2 )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)
( 2 ) 证明 : 设 0 ? x 1 ? x 2 , 可令 m ? n 且使 x 1 ? 2 , x 2 ? 2 , 由 (1) 得 f ( x
m n
1

m

n

m+n

m

n

) ? f (x 2 ) ? f (

x1 x2

) ? f (2

m ?n

) ? (m ? n )f (2) ? m ? n ? 0

故 f(x1)<f(x2),即 f(x)是 R 上的增函数. (3)由 f(x)+f(x-3)≤2 及 f(x)的性质,得 f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2),解得 3<x≤4. 20. 已知函数 f ( x )( x ? R , x ? 0 ) 对任意不等于零的实数 x 1、 x 2 都有 f ( x 1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,试判断函数 f(x) 的奇偶性。 解:取 x 1 ? ? 1, x 2 ? 1 得: f ( ? 1) ? f ( ? 1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 又取 x 1 ? x 2 ? ? 1 得: f (1) ? f ( ? 1) ? f ( ? 1) ,所以 f ( ? 1) ? 0 再取 x 1 ? x , x 2 ? ? 1 则 f ( ? x ) ? f ( ? 1) ? f ( x ) ,即 f ( ? x ) ? f ( x ) 因为 f ( x ) 为非零函数,所以 f ( x ) 为偶函数。
f (x) f ( y) ? 1 f ( y) ? f (x)

+

21. 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1 ? f ( x ? y ) ? f(x)是奇函数。 证明:设 t=x-y,则 f ( ? t ) ? f ( y ? x ) ?
f ( y) f (x) ? 1 f (x) ? f ( y) ??

,(2)存在正常数 a,使 f(a)=1.求证:

f ( y) f ( x) ? 1 f ( y) ? f (x)

? ? f ( t ) ,所以 f(x)为奇函数。

22. 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x x x

(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)---- ①令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令 x=y=0,代入 ①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,∴f(x)是奇函数. (2)解:f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)在 R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇 函数.f(k·3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2), k·3 <-3 +9 +2, 3
2x x x x x x x x x

-(1+k)·3 +2>0 对任意 x∈R 成立.
x

x

x x x 分离系数由 k·3 <-3 +9 +2 得 k ? 3 ?

2 3
x

? 1, 而 u ? 3 ?
x

2 3
x

? 1 ? 2 2 ? 1,

要使对 x ? R 不等式 k

?3 ?

x

2 3
x

? 1.

恒成立,只需 k< 2

2 ?1

上述解法是将 k 分离出来,然后用平均值定理求解. 23. 已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

解:(1)、令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0. (2)令 a=b=-1,得 f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数.

24. 定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)证明f(x)为减函数; 解:(1)略 (2)设任意x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,而f(x2-x1)= f(x2)+ f(-x1)= f(x2)-f(x1) <0;∴f(x1)>f(x2),即f(x)在(-∞,+∞)上是减函数 25. 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+
1 2 f ( a ) ? f (b ) a?b

>0.

)<f(

1 x ?1

);

.解:(1)设任意 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2.由于 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1). 因为 x1<x2,所以 x2+(-x1)≠0, 由已知有
f ( x 2 ) ? f ( ? x1 ) x 2 ? ( ? x1 )

>0,∵x2+(-x1)=x2-x1>0

∴f(x2)+f(-x1)>0,即 f(x2)>f(x1),所以函数 f(x)在[-1,1]上是增函数. (2)由不等式 f(x+
1 2

)<f(

1 x ?1

)得

1 ? ? 1 ? x ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ? 1 ?? 1 ? x ? 1 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 1 ?

,解得-1<x<0,即为所求.



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