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直线的参数方程(一)



直线的参数方程(一)

新课引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 ? 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1

y ? kx ? b
x y ? ?1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0



y2 ? y1 k? x2 ? x1

? tan ?

新课引入
思考1.在平面直角坐标系中,确定一条 直线的几何条件是什么?

一个定点和倾斜角可唯一确定一条直线
y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) () 1

思考3.根据直线的这个几何条件,你认 为应当怎样选择参数?

讲授新课
?  设e是与直线 l 平行且方向向上(l 的倾斜 角不为0)或向右(l 的倾斜角为0)的单位方 向向量(单位长度与坐标轴的单位长度相同)  设直线l的倾斜角为?,定点M 0、动点M
的坐标分别为( x0 , y0 )、 ( x, y)

讲授新课
(1)如何利用倾斜角?写出直线l的单位 ? 方向向量e?

? (1) e ? (cos ? ,sin ? )

? (2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标?

?????? ? (2) M0 M ? ( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 )
?????? ? ? 因为M 0 M / / e, 所以存在实数t ? R, ?????? ? ? 使M 0 M ? te,即
y

讲授新课

( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) 所以:x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? 即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ?
所以,该直线的参数方程为 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

M(x,y) ? e M0(x0,y0)

?
O

(cos ? ,sin ? )
x

讲授新课
一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,则它的参数方程为 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
(2)参数t的取值范围是什么? (3)该参数方程形式上有什么特点?

思考:()直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量? 1

课堂练习
? x ? 3 ? t sin 200 ()直线 1 (t为参数)的倾斜角是( B) ? 0 ? y ? t cos 20 A.200 B.700 C.1100 D.1600
? 2 x ? 1 ? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t 。 ? 2 ?

(2)直线x ? y ? 1 ? 0的一个参数方程是

?????? ? ? 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方 程中参数t的几何意义吗? ?????? ? ? ?????? ? ? 解: ? M 0 M ? te ? M 0 M ? te
M

探究思考

? ? 又? e是单位向量, ? e ?1

y M0

?????? ? ? ? M 0M ? t e ? t

所以,直线参数方程中参数t的 绝对值等于直线上动点M 到定 点M0的距离.|t|=|M0M|(这就 是t的几何意义,要牢记)

? e
O
x

探究思考
?????? ? 我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M

? 我们知道e是直线l的单位方向向量,那 么它的方向应该是向上还是向下的?还 是有时向上有时向下呢?

的方向呢?

探究思考
?? 是直线的倾斜角, ?当0<? <? 时,?sin? ? 0 ? ? ? ? 又 ? sin? 表示e的纵坐标, ? e的纵坐标都大于 ? ? ? ? 0那么e的终点就会都在第一,二象限, ? e的方 向就总会向上。

?????? ? 此时,若t ?????? >0,则 的方向向上 ; M M ? 0 若t<0,则 M0 M 的方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.

新知应用
例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 2交于 A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: A
y

1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解.
3.点M是否在直线上

M(-1,2)

O

B

x

新知应用
例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 2交于A,B两点,求线段AB的长度 和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。

? x ? y ?1 ? 0 解法1:由? 2 y ? x ?

得: x2 ? x ?1 ? 0

(*)

?由韦达定理得:x1 ? x2 ? ?1 ,x1 ? x2 ? ?1
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? 5 ? 10

记直线与抛物线的交点坐标A(
则 MA ? MB ? (?1 ?

?1 ? 5 3 ? 5 ?1 ? 5 3 ? 5 , ),B( , ) 2 2 2 2

?1 ? 5 2 3? 5 2 ?1 ? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? (?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

新知应用
例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于
2

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。

解法2()如何写出直线 1 l的参数方程?

(2)如何求出交点A,B所对应的参数t1,t2 ?
(3) AB 、 MA ? MB 与t1,t2有什么关系?

探究思考
直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少?

(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

巩固练习

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 1.一条直线的参数方程是 ? (t为参数), ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 ? 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是

4 3

课堂小结

?x=x0 ? t cos ? 1.直线参数方程 ? (t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?
注:直线的参数方程形式不是唯一的 2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离.

? x ? x0 ? at (t为参数) |t|=|M M| ? 0 y ? y ? bt 0 ? 2 2 注:当a ? b ? 1时,t 才具有此几何意义
其它情况不能用。

课外作业
P.42-3,4,5.



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