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正余弦函数图象与性质



1.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?

(1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6
1 2

x
y

0

?
3
3 2

?
2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1

?1 2

?

3 2

? 1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y 1?
-

代数描 点
2

0

?

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

2、思考(1):

π π 如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C( ,sin ) ? 3 3
Y P
π 3

.
O

几何描 点 π

π C( ,sin ) 3 3
2π 3

O1

M

π 3

π

X

思考(2): 能否借助上面作点C的方法, 在直角坐标系中作出正弦函数

y ? sinx, ? R 的图象呢? x

作正弦函数的图象
y
1

x o1
-1

o

? 6

? 3

? 2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

y=sinx, x ? [ 0, 2 ? ]

作正弦函数的图象
y
1

x o1
-1

o

? 6

?
3

? 2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

y=sinx, x ? [ 0, 2 ? ]

作正弦函数的图象
y
1

x o1
-1

o

? 6

?
3

? 2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

y=sinx, x ? [ 0, 2 ? ]

利用 y ? sin x的周期为 2? 将 y ? sin x 图象向左或向右平移

y=sinx x?[0,2?]
利用图象平移

y=sinx x?R

y
1 -4? -3? -2? -?

正弦曲 线
? 2? 3? 4?

o
-1

5?

6?

x

余弦曲线
y
1
-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o

-

-1

2?
-

4?
-

6?
-

? 由于 y ? cos x ? sin( x ? ) 2
所以余弦函数

? 是同一个函数;余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
各单位长度而得到.

? y ? cos x, x ? R与函数 y ? sin( x ? ), x ? R 2

y
1-

(五点作图法)

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
5? 3 11? 6

?

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2?

(0,0) (? ,0) (2? ,0) x 图象的最低点 3?

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-

-

( 2 ,?1)

图象的最高点 与x轴的交点

1-

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

( ? ,0) ( 32? ,0) x 2? 2 图象的最低点 (? ,?1)

-

例1.分别作出下列函数简图(五点法作图)
(1)y=2sinx , x∈[0,2π] 解: (1)列表 (2)描点作图 Y 2 1 0

x y=2sinx

0

0

? 2 ? 2 0

3? 2

2?

-2

0

y=2sinx y=sinx

?

2?

X

(2)y=sin2x , x∈[0,π] 解: (1)列表 (2)描点作图 Y 1 0

2x x
0 0
? ? 3? ? 4 4 2 2 ? 2 2? 1 0 -1 0

y=sin2x y=sinx

y=sin2x
?
2

?

X

例2.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] 解:(1) 列表 (2)
x
sin x cos x sincos x ? x ?1
0
? ? 2 2

描点作图
? 0 -1 11
3? 3? 2 2

2? 2?

yy
2-

10 1 -1

01 02

? 01 00

1 0 1 -1

1- 1
oo ?1 - ?1
? 2

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

??

3? 3? 2

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? ? 2

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

练习 作函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ,在一个周期内的简图
2

?

小结:
1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象。 2、用平移法得到余弦函数的图象。 3、利用五点法作正弦函数、余弦函数的简图。

思考:

你能用余弦线作出余弦曲线吗?

y
1P 1
/ p1

y

(1) 作法: 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
3

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

y
Q1

1-

Q2

-

-

o1

M 2 M 1-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

l

作业: 课本 32页 练习 2 、3

预习:正弦、余弦函数的性质

谢谢指导



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