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基本不等式教学设计



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戚艳兴

数学系

“基本不等式”教学设计
一. 教材内容的分析
1、 教材内容 本节课是人教版必修五第三章“不等式”3.4 节“基本不等式”的第一课时, 其主要内容是基本不等式的定义、证明和应用。 2、 教材的地位及作用 “基本不等式”是必修 5 的重点内容,它是在“不等式

的性质” 、 “不等式的 解法、 “线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。基本不等式作为重要的不 等式之一, 在不等式的证明和求最值过程中有广泛的应用。本节知识渗透了数形 结合,化归等重要思想,有利于培养学生良好的思维品质。 3、 教学的重点、难点、关键点 1) 重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式, 并掌握其代数证明和几何证明。 2) 难点:应用基本不等式求最值,解决实际问题。 3) 关键点:明确基本不等式中等号成立的条件。

二. 学情分析
学生已学过“不等式的性质” 、 “不等式的解法和“线性规划” ,对不等式的 概念和性质有了一定的了解和认识,具有了一定的观察、归纳、猜想和验证的能 力。有了一定的基础,对基本不等式内涵的理解及原理的证明,学生有足够的能 力掌握。

三. 教学目标
(1) 知识与技能: ① 学会推导并掌握基本不等式,掌握其代数证明和几何证明; ② 理解基本不等式的内涵 ③ 掌握基本不等式在实际问题中求极值的应用 (2) 过程与方法: 领会数形结合的数学思想, 掌握从一般到特殊的化归思想, 学会应用所学知 识解决实际问题。 (3) 情感与价值:

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戚艳兴

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敢于尝试,大胆猜想,并能对猜想进行证明,增强自信心,获得探索问题的 成功情感体验。 逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯,体会数学源于并用 于生活的神奇之处,提高学习数学的兴趣。 。

四. 教学方法
为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了: 1.引导发现法:让学生观察赵爽图,通过比较面积大小,推导出基本不等式。 2.探索讨论法:用赵爽图一例,引导学生讨论这个不等式是否对任意的正数都 成立,并给出代数证明和几何证明。 3.充分发挥教师的主导作用,用示范法帮助学生用基本不等式解决实际问题。

五.教学过程
(一) .探索与发现 问题 1:在正方形 ABCD 中有四个全等的直角三角形,三角形两直角边分别为 a,b(0<a<b) ,请比较正方形 ABCD 的面积与四个三角形面积和的大小关系。当 a=b 时,会得到怎样的结果? 答:正方形 ABCD 面积为 a 2 ? b2 四个三角形面积和为 2ab 观察图形可知 a 2 ? b2 ? 2ab 当 a ? b 时, 2ab ? a 2 ? b2 设计意图:引导学生观察赵爽图,得出基本不等式的 变形式子,并明确等号成立时的条件。
问题 2:在上例中,若不限定 a,b 大小关系,应该如何表达两部分面积之间的大

小关系?所得的不等式是偶然还是必然?能否给出代数证明?等号成立条件? 答:两部分面积大小关系是 a 2 ? b2 ? 2ab , 这是一个必然, 对任意的实数都成立。 代数证明为 : 要证 a2 ? b2 ? 2ab

即证 a2 ? b2 ? 2ab ? 0
2 a2 ? b2 ? 2ab=(a ? b) ?0

? a2 ? b2 ? 2ab ? 0 ? a2 ? b2 ? 2ab

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戚艳兴 当且仅当 a ? b 时,不等式中的等号成立

数学系

设计意图:引导学生用所学过的分析法证明不等式,一方面帮助学生复习所学过 的知识,另一方面为基本不等式的代数证明做铺垫。 (二) .猜想与证明 问题 3:如图,AB 为圆 O 的直径,作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD,BD。设 AC 长 为 a,BC 长为 b,比较 OA 与 DC 的长度大小,并得出数值关系式。 答:

OA ?

a?b 2 ?ADB ? 90 ,DE ? AB DBC

? ADC ?

AC DC a DC ? ,即 ? DC BC DC b

? DC ? ab OA ? DC ? a?b ? ab 2

设计意图:通过这个实例,引出基本不等式的标准表达式,并给出基本不等式的几何证明和 几何涵义(圆的半径大于等于与之垂直的半弦长) 。

问题 4:观察问题 3 所得不等式,借鉴问题 2 的方法予以证明,并给出不等式中 等号成立的条件。若想让不等式恒成立,对 a,b 的大小应作出怎样的限制,小 组讨论并给出答案。 答:证明略。当且仅当 a ? b 时,不等式中的等号成立。
ab要有意义? ab ? 0,即a,b同号 当a ? 0,b ? 0,不等式不成立 当a=b=0时,不等式成立,但无实际意义
当a ? 0,b ? 0,不等式成立

综上述:不等式恒成立的条件是 a,b 皆为正数,当且仅当 a ? b 时,不等式中的等 号成立。 设计意图:引导学生探究基本不等式成立的要求以及不等式等号成立的条件,为 基本不等式的变形及应用做好铺垫。

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(三) 、认识与应用
?

基本不等式的定义:对于任意实数 a >0、b >0,不 a ? b ? ab 等式都成立。 我 2 a?b ? ab 把不等式 称为基本不 a ? b 等式,其中称为 a,b 的算术平均数, 们 2 2 ab 称为 a,b 的几何平均数。

问题 5:对比问题 2 与问题 4 中的不等式,观察异同。 答:对 a,b 的限定不同,本质是一样的。 【规律:乘积去得到最大值,和取得到最小值。 】 设计意图:为下节课讲基本不等式的变形做好铺垫。 问题 6: (1) 用篱笆围一个面积为 100 ㎡的矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时, 所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2) 一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少? 解: (1)设菜园长 x m,宽 y m,则 xy=100,篱笆长为 2(x+y)m 由
x? y ? xy 可 得 2

,x ? y ? 2 100 化简得 x ? y ? 20

当且仅当x=y时,等号成立,所以x=y =10,(x+y) min =20

答:长和宽都为 10 米时,所用篱笆最短。此时篱笆总长为 20 米。 (2)设菜园长 x m,宽 y m,则 xy=100,篱笆长为 2(x+y)=36,面积为 xy ㎡ 由
x? y ? xy 可得 2 xy ? x ? y 18 = =9 2 2

当且仅当x=y时,等号成立,所以x=y =9,(xy) max =81

答:长和宽都为 9 米时,所得面积最大。此时面积大小为 81 ㎡。 设计意图:用应用题来展示基本不等式在数学中的应用,用规范的做题方式进行 示范,帮助学生掌握用基本不等式解决最值问题的方法。
一正:必须保证使用基本不等式时各字母(或式子)的值是正的,否则不能使用公式; 二定:相加(求最大值时)或相乘(求最小值时)必须有一个定值,即要保证基本不等式的 一边是定值,这样才能使用基本不等式求最值; 三相等:只有各字母(或式子)相等时,基本不等式才能取等号,才能取到最值。

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七.课后检测,查缺补漏
家庭作业:1、独立完成课本 99 页的例 2, 2、完成课本 100 页习题 3.4A 组的第 2、4 题;B 组的 1、2 题。

八.课堂小结,升华知识
本节课主要学习了基本不等式,并结合已学知识,掌握了其代数证明;用数形结合的思 想,做出了基本不等式的几何证明并得到基本不等式的几何涵义。在这个基础上,学习了用 基本不等式解决实际问题的方法,得到一正、二定、三相等的判定要点。下节课将介绍基本 不等式的变形,掌握用基本不等式变形式来证明不等式的方法。



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