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2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版



2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅱ,文 1)已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则 M∩N=( ). A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1

,0} C.{-2,-1,0} D. .{-3,-2,-1} 2.(2013 课标全国Ⅱ,文 2) A. 2 2 B.2

2 =( 1? i
C. 2

). D. .1 ).

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3.(2013 课标全国Ⅱ,文 3)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=2x-3y 的最小值是( ? x ? 3, ?
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 4.(2013 课标全国Ⅱ,文 4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B ? 则△ABC 的面积为( A. 2 3+2 ). B. 3+1 C. 2 3 ? 2 D. 3 ? 1

π π ,C ? , 4 6

5.(2013 课标全国Ⅱ,文 5)设椭圆 C:

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点, a 2 b2
).

PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为(

3 D. 3 π? 2 2? 6.(2013 课标全国Ⅱ,文 6)已知 sin 2α = ,则 cos ? ? ? ? =( 4? 3 ? 1 1 1 2 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3

3 A. 6

1 B. 3

1 C. 2

).

7.(2013 课标全国Ⅱ,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S= ( ).

1 1 1 1+ ? ? A. 2 3 4 1 1 1 1 1+ ? ? ? C. 2 3 4 5

1 1 1 1+ ? ? B. 2 3 ? 2 4 ? 3 ? 2 1 1 1 1 1+ ? ? ? D. 2 3 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? 4 ? 3 ? 2

8.(2013 课标全国Ⅱ,文 8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ). A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 9. (2013 课标全国Ⅱ, 文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以 zOx 平面为投影面, 则得到的正视图可以为( ).

10.(2013 课标全国Ⅱ,文 10)设抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF| =3|BF|,则 l 的方程为( ).

2

A.y=x-1 或 y=-x+1

3 3 ? ( x ? 1) ( x ? 1) B.y= 3 或 y= 3
1

3 3 ? ( x ? 1) ( x ? 1) C.y= 3 或 y= 3

2 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) D.y= 2 或 y= 2
3 2

11.(2013 课标全国Ⅱ,文 11)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( ). A.? x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 x 12.(2013 课标全国Ⅱ,文 12)若存在正数 x 使 2 (x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (2013 课标全国Ⅱ, 文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数, 其和为 5 的概率是__________. 14. (2013 课标全国Ⅱ, 文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则 AE ? BD =__________. 15.(2013 课标全国Ⅱ,文 15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 心,OA 为半径的球的表面积为__________. 16.(2013 课标全国Ⅱ,文 16)函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图像向右平移 函数 y= sin ? 2 x ?

??? ? ??? ?

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球 2

π 个单位后,与 2

? ?

π? ? 的图像重合,则 φ =__________. 3?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013 课标全国Ⅱ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11, a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2.

18.(2013 课标全国Ⅱ,文 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的 中点.

2

19.(2013 课标全国Ⅱ,文 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以 X(单位: t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率.

20.(2013 课标全国Ⅱ,文 20)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段 长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

21.(2013 课标全国Ⅱ,文 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x e . (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

2 -x

3

22.(2013 课标全国Ⅱ,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D, E, F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC·AE =DC·AF,B,E,F,C 四点共圆.

23.(2013 课标全国Ⅱ,文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2 cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ), ? y ? 2sin t

M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

24.(2013 课标全国Ⅱ,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: (1)ab+bc+ca≤ (2)

1 ; 3

a 2 b2 c 2 ? ? ≥1. b c a

4

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:C 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C. 2. 答案:C 解析:∵ 3. 答案:B 解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为 y ?

2 2 =1-i,∴ =|1-i|= 2 . 1? i 1? i

2 z x ? ,先画出 l0: 3 3

y=

? x ? 3, 2 可得 C(3,4), x ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的截距最大,故最优点为图中的点 C,由 ? 3 ? x ? y ? 1 ? 0,

代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=-6. 4. 答案:B 解析:A=π -(B+C)= π ? ? 由正弦定理得

? π π ? 7π , ? ?? ? 6 4 ? 12

a b , ? sin A sin B 7π 2sin b sin A 12 ? 6 ? 2 , 则a ? ? π sin B sin 6 1 1 2 ? 3 ?1 . ∴S△ABC= ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? 2 2 2
5. 答案:D 解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由 tan 30°=

| PF2 | x 3 2 3 ? ? c. ,得 x ? | F1 F2 | 2c 3 3

而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x, ∴a ?

c c 3 3 ? . x ? 3c ,∴ e ? ? a 3 2 3c

6. 答案:A 解析:由半角公式可得, cos ? ? ?
2

? ?

π? ? 4?

5

π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? 2 ? 1 ? sin 2? ? 3 ?1. = ? ? 2 2 2 6
7. 答案:B 解析:由程序框图依次可得,输入 N=4, T=1,S=1,k=2;

1 1 , S ? 1+ ,k=3; 2 2 1 1 1 ,S= 1+ ? ,k=4; T? 3? 2 2 3? 2 1 1 1 1 , S ? 1? ? ,k=5; T? ? 4 ? 3? 2 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 输出 S ? 1 ? ? . ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 T?
8. 答案:D 解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>

1 1 > >0,即 log23>1>log32>log52>0,∴c>a> log 2 3 log 2 5

b.
9. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:

则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A. 10. 答案:C 解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛 物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,

| NB | | BK | t x ,得 ? , ? | AM | | AK | 3t x ? 4t | NB | t 1 解得 x=2t,则 cos∠NBK= ? ? , | BK | x 2
在△AMK 中,由 ∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线 AB 的倾斜角为 60°.

1) . ∴斜率 k=tan 60°= 3 ,故直线方程为 y= 3( x- 当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y = ? 3( x-1) ,故选 C.

6

11. 答案:C 解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正 确. 12. 答案:D 解析:由题意可得, a ? x ? ?
x

?1? ? (x>0). ?2?

x

?1? 令 f(x)= x ? ? ? , 该函数在(0, +∞)上为增函数, 可知 f(x)的值域为(- ?2?
1,+∞),故 a>-1 时,存在正数 x 使原不等式成立. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:0.2 解析:该事件基本事件空间 Ω ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)}共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A)= 14.答案:2

2 =0.2. 10

解析:以 AB, AD 为基底,则 AB ? AD ? 0 , 而 AE ? ∴

?

??? ? ????

?

??? ? ????

??? ?

? ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? AB ? AD , BD ? AD ? AB , 2

??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? ???? ??? ? AE ? BD ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) 2 ??? ? ???? 2 2 1 1 ? ? AB ? AD ? ? ? 22 ? 22 ? 2 . 2 2
15.答案:24π 解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中,VO-ABCD= =

1 ×S 3

正方形 ABCD

·|OO1|

3 2 1 2 × ( 3) ×|OO1|= , 2 3

7

∴|OO1|=

3 2 6 ,|AO1|= , 2 2
2 2
2 2

?3 2 ? ? 6 ? 在 Rt△OO1A 中,OA= | OO1 | ? | AO1 | = ? ,即 R ? 6 , ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 6 ? ? ? ?
∴S 球=4π R =24π . 16.答案:
2

5π 6
? ? π? ? π 个 单 位 得 , y ? cos ? 2 ? x ? ? ? ? ? = cos(2x - π + φ ) = 2? 2 ? ? ?

解 析 : y = cos(2x + φ ) 向 右 平 移

π? π? π? π ? ? ? sin ? 2 x ? π+? + ? =sin ? 2 x ? ? ? ? ,而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合,令 2x+φ - =2x 2? 2? 3? 2 ? ? ? π + +2kπ ,k∈Z, 3 5π 得? ? +2kπ ,k∈Z. 6 5π 又-π ≤φ <π ,∴ ? ? . 6
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d. 由题意, a11 =a1a13, 即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27.
2

2

(2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数 列. 2 从而 Sn= n (a1+a3n-2)= n (-6n+56)=-3n +28n.
2 2

18. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C- A1DE 的体积. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB.
8

又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB ? 2 2 得∠ACB=90°, CD ? A 1 E =3 , 2 2 2 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以 VC-A1DE= 1 ? 1 ? 6 ? 3 ? 2 =1.
3 2

DE ? 3 , 2 ,A1 D ? 6 ,

19. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T ? ? ?
800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度 内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 20. 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 2 2 2 2 由题设 y +2=r ,x +3=r . 2 2 从而 y +2=x +3. 2 2 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0).由已知得 | x0 ? y0 | ?
2 2 2

.

又 P 点在双曲线 y -x =1 上, 从而得 ? 由?
?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.

2

2

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得 ? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.
? x0 ? y0 ? ?1, ? x ? 0, 得? 0 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1.

此时,圆 P 的半径 r= 3. 由?

此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 2 2 故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. 21. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0.
9

所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; -2 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e . (2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= t ? f (t ) ? t ? t ? t ? 2 ? 2 ? 3 .
f '(t ) t ?2 t ?2

由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)= x ? 2 (x≠0), 则当 x∈(0, +∞)时, h(x)的取值范围为[ 2
x

2,

+∞); 当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪ [ 2 2 ? 3 ,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答 题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、 多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.
22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A. 由题设知

BC DC , ? FA EA

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°, 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. (2)连结 CE,因为∠CBE=90°, 所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 2 2 2 2 2 由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC 2 =6DB . 而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为
2 2

1 . 2

23. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(2)M 点到坐标原点的距离 d= x 2 ? y 2 ? 2 ? 2cos? (0<α <2π ).
10

当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.
24. 2 2 2 2 2 2 解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ (2)因为

1 . 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , b c a 2 2 2 a b c 故 ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), b c a 2 a b2 c 2 即 ? ? ≥a+b+c. b c a 2 a b2 c 2 所以 ? ? ≥1. b c a

11



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