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空间中点线面之间的位置关系导学案



普洱市一中高一年级导学案 第二章 点、直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面

【学习目标】
(1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。

【课前导学】阅读教材 40—43 页,完成新知学习:
1.试描述平面及画法

2.三个公理: 公理 1:文字语言: 符号语言: 图形语言:

___________________________ ____________________________

公理 2:文字语言: 符号语言: 图形语言:

____________________________ ___________________________

公理 3:文字语言: 符号语言: 图形语言:

____________________________ ____________________________

【课中导学】
(一)实物引入、揭示课题 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的 印象,你们能举出更多例子吗? (二)研探新知 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中 抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中,怎样画直线?
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类比, 将知识迁移, 得出平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)
D α A B C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平 面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、 平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起, 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线 或不画
β β

α

α

·B

课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α

α

·A

2.1-4 3、平面的基本性质 把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌 面上,用事实归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,即 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α ·B 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α · C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线。符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β
欢 迎 使 用 2 α
P

·

L

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公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 【学习目标】
(1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。

【课前导学】阅读教材 44—47 页,完成新知学习:
1.用文字语言叙述异面直线的概念

2. 用图形表示两条异面直线

3.空间两条直线的位置关系有哪三种?

4. 用文字语言叙述公理 4

5.用符号语言叙述公理 4,并画出相应图形

6.用文字语言叙述等角定理:

7.用数学符号叙述等角定理:

【课中导学】
1、由长方体模型,可以得出得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 由异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

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2、 (1)在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行。在空间中,是否有类似的规律?

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调: (1)公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 (2)公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3.等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、异面直线所成的角的概念: (1)如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我 们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为 了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记 作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

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§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系 【学习目标】
(1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)了解空间中平面与平面的位置关系; (3)培养学生的空间想象能力。

【课前导学】阅读教材 48—50 页,完成新知学习:
1. 直线与平面平行的概念:

2. 空间中直线与平面之间的位置关系有那三种?以公共点个数如何划分? 分 别用图形和符号表示它们。

3.平面与平面之间的位置关系有哪几种?以交线怎样划分?分别用图形和符号 表示它们。

【课中导学】
1、观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关 系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 强调:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

完成例 4 例 4 的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

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2、对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两 种位置关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为:
α L

β α ∥β

α

β

α ∩β = L

强调: 画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边 平行。 完成教材 P51 探究,加深对这两种位置关系的理解

§2.1.1 平面
A组 1.下列图形不一定是平面图形的是( A.三角形 B.梯形 C.四边形 D.菱形 2.如图所示,用符号语言可表示为( )

)[来源:Zxxk.Com]

A.α∩β=m,n?α,m ∩ n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C .α∩β=m,n?α,A?m,A?n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 3. 平面 α∩平面 β=l, A∈α, B∈α, C∈β, C ? l, AB∩l=R. 点 点 点 点 又 设 A,B,C 三点确定的平面为 γ,则 β∩γ 是( )

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A.直线 AC B.直线 B C C.直线 CR D.以上均错 4.已知点 A,直线 a,平面 α,①A∈a,a ? α?A ? α;②A∈a,a∈α ? A ∈α;③A ? a,a?α ? A ? α;④A∈a,a?α ? A ?α. 以上命题表达正确的个数是( )[来源:Zxxk.Com] A.0 B.1 C.2 D.3 5. 已知 α, 为平面, B, N 为点, 为直线, β A, M, a 下列推理错误的是( ) A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β ? a?β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β ? α∩β=MN C.A∈α,A∈β ? α∩β=A D. B, A, M∈α, B, A, M∈β, A, M 不共线 ? α, 重合[来源:Zxxk.Com] 且 B, β 6.已知 a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c =C,则直线 a,b,c,l 的位置 关系是_______ ___.

B组 1.如图所示,在正方体 ABCD-A1 B1C1D1 中,O 为 DB 的中点,直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M,则点 C1,M,O 的关系是________.

2.给出下列四个命题: ①空间四点共面,则其中必有三点共线; ②空间四点中有三点共线,则 此四点必共面;[来源:Zxxk.Com] ③空间四点中任何三点 不共线,则此四点不共面; ④空间四点不共面,则任意三点不共线. 其中正确命题的序号是________. 3.根据下列条件画出图形:平面 α∩平面 β=AB,直线 CD?α,CD∥AB, E∈CD,直线 EF∩β=F,F?AB. 4. 定线段 AB 所在的直线与定平面 α 相交, 为直 线 AB 外任一点, P?α, P 且
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直线 AP,PB 分别与 α 交于 A′,B′,求证:无论 P 在什么位置,A′B′恒过一定点.

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
A组

1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ) A.异面 B.相交 C.不相交 D.不平行 2.已知空间四边形的两条对角线互相垂直,那么顺次连接空间四边形各边 中点所得的四边 形是( ) A.菱形 B.正 方形 C.矩形 D.平行四边形 3.已知异面直线 a 与 b 满足 a?α,b ?β,且 α∩β=c,则 c 与 a,b 的位置 关系一定是( ) A .c 与 a,b 都相交 B.c 至少与 a,b 中的一条相交 C.c 至多与 a,b 中的一条相交 D.c 至少与 a,b 中的一条平行[来源:学科网] 4.有两个三角形不在同一平 面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三 角形( )[来源:学§科§网] A.全等 B.相似 C.有一个角相等 D.无法判断 5.如图所示, 为一正方体的平面 展开 图,在这个正方体中,

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①B M 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ③CN 与 BM 成 60° 角;④DM 与 BE 垂直 . 以上 4 个命题中,正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 6.在长方体 ABC D-A1B1C1D1 中,与棱 AA1 垂直且异面的棱有________. B组 1.已知 a,b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a,b 在 α 上的射影 有可能是: ①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其 外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号). 2.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 BC,CC1 的中 点,则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为________.

[来源:Zxxk.Com] 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F 分别为 AA1,CC1 的中点.求证: BF ED1.

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4.如图所示,空间四边形 ABCD 的对角线 AC=8,B D=6,M,N 分别为 AB,CD 的中点,MN=5,求异面直线 AC 与 BD 所成的角.

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
A组 1.平面外一条直线上有两点到平面的距离相等,则这条直线与平面的位置 关系是( ) A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.以上均不正确 2.对于任意的直线 l 与平面 α,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 3.已知下列命题: ①若直线 l 平行于 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;[来源:Z_xx_k.Com] ③若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α ,则直线 a 平行于 α 内的无数条直线. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直 线[来源:学*科*网] C .α 内存在惟一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 5.与两个相交平面的交线平行的直线和这 两个平面的位置关系是( ) A.都平行
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B.都相交 C.在两个平面内 D.至 少和其中一个平行 6. 在下列四个命题中,是真命题的有( ) ①若 a?α,b?α,a ∥β,b∥β,则 α∥β;②若对任一直线,a?α,均有 a ∥β,则 α∥β;③a?α,a∩β=A,则 α 与 β 不平行;④a?α,α∩β=l,则 a 与 β 不平行.[来源:Z,xx,k.Com] A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A组 1.两平面 α 与 β 平行,a?α,下列四个命题:[来源:学+科+网] ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内的无数条直线平行;③a 与 β 内的 任何一条直线 都不垂直;④a 与 β 无公共点. 其中是真命题的有__________.(填序号) 2.过平面外一点,能作出__________条直线和此平面平行. 3.已知直线 a,b,若 a∥b,则过 a 且与 b 平行的平 面有________个. 4.如图,平面 α,β,γ 满足 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断 a 与 b,a 与 β 的关系并证明你的 结论.

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