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2.1.2第一课时指数函数的图像及其性质


2.1.2
第一课时

指数函数及其性质
指数函数的图象及性质

课前预习

栏 目 导 航

课堂探究

【课标要求】
1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算 器或计算机画出指数函数图象. 2.初步掌握指数函数的有关性质.

【实例】 下列从数集 A 到数集 B 的对应中 能构成函数的是哪些? ①A=R,B=R,f:x→y=2 ;
x

?1? ②A=R,B=(0,+∞),f:x→y= ? ? ?2?
③A=R,B=R,f:x→y=2 ;
x+1 x

x

;

④A=R,B=(0,+∞),f:x→y=(-2) .

解:由上节知识可知,当底数大于 0 时,指数 的取值范围是任意正实数,即对①②③中 的每一个 x∈A,在 B 中都有唯一确定的 y 与之对应,因此,①②③能构成函数;而对

1 ④中的对应,当 x= 时,在 B 中无元素与之 2
对应,因此④构不成函数.

指数函数
1:函数①②是什么函数? (指数函数)

1:指数函数的定义 函数 y=a (a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R.
x

【质疑探究 1】 (1)为什么底数 a>0 且 a≠1?

?当x>0时,a 恒等于0, (如果 a=0, ? x ?当x≤0时,a 无意义.
x

1 1 如果 a<0,如 y=(-4) ,当 x= 、 等时,在实数 4 2
x

范围内函数值不存在. 如果 a=1,y=1 =1,是一个常量,对它就没有研究 的必要. 为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a≠1)
x

(2)为什么③不是指数函数? x (在指数函数的定义表达式 y=a (a>0 且 a≠1) 中,a 前的系数必须是 1,自变量 x 在指数的位 置上,否则,不是指数函数.比如 y=2a ,y=a , y=a +1 等,都不是指数函数)
x x x+1 x

1:若指数函数 f(x)的图象过点 (2,9),则 f(x)=
2

.
x x

解析:设指数函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1),则 由题意知,a =9.又 a>0,解得 a=3,故 f(x)=3 . 答案:3
x

指数函数的图象和性质
2:如何作函数①②的图象?图象有哪 些特征?两支图象有何关系? (利用 “列表—描点—连线” 的方法作出函数① ②的图象如图,可以发现图象都在 x 轴上方,与 y 轴都交于点(0,1),且图象自身不具备对称

? 1 ?x 性,y=2 与 y= ? ? 的图象关于 y 轴对称. ?2?
x

x

y=2

x

?1? y= ? ? ?2?
2

x

-1

1 2
0.707 1 1.414

1 2
0

1.414 1 0.707

1 2
1

2

1 2

)

2:指数函数的图象和性质 见附表

【质疑探究 2】(1)学习指数函数图象与性 质的关键是什么? (明确底数 a 与 1 的关系)

(2)指数函数图象与坐标轴存在什么位置 关系? (当 0<a<1 时,x→+≦,y→0;当 a>1 时, x→-≦,y→0. 当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴, 递增速度越快. 当 0<a<1 时,a 的值越小,图象越靠近 y 轴, 递减的速度越快.(其中“x→+≦”的意义 是“x 接近于正无穷大”))

(3)指数函数图象的分布与底数 a 的大小存 在什么关系? (在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由 大变小; 在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大 变小; 即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时 针方向变大)

2:(1)指数函数 y=a 与 y=b 的图象如图所示,则( C )

x

x

(A)a<0,b<0 (C)0<a<1,b>1

(B)a<0,b>0 (D)0<a<1,0<b<1

(2)(2012 北京市第三十九中学期中)若指 x 数函数 y=(a+1) 在(-∞,+∞)上是减函数, 那么( B ) (A)0<a<1 (C)a=-1 (B)-1<a<0 (D)a<-1

解析:(1)指数函数在底数大于 1 时单调递 增,在底数大于 0 小于 1 时单调递减,因而 选 C. (2)由题意知 0<a+1<1,所以-1<a<0.故选 B.

指数函数的概念
【例 1】 下列函数中,哪些是指数函数?
①y=(-8) ;②y= 2
x

x2 ?1

;③y=a ;
x

x

1 ④y=(2a-1) (a> 2
x

,且 a≠1);⑤y=2·3 .

解:④为指数函数. ①中底数-8<0, ?不是指数函数. ②中指数不是自变量 x,而是 x 的函数, ?不是指数函数; ③中底数 a,只有规定 a>0 且 a≠1 时,才是 指数函数; x ⑤中 3 前的系数是 2,而不是 1, ?不是指数函数.

如何判断函数是否为指数 函数?(只需判定其解析式是否符合 y=a (a>0,且 a≠1)这一结构形式,其具备 的特点为:
x

)

跟踪训练 1 1:函数 y=(a -3a+3)a 是指数 函数,则 a 的值为
2 x

2

x

.

解析:由 y=(a -3a+3)a 是指数函数,可得

? a ? 3a ? 3 ? 1, ? ? a>0且a ? 1,
2

? a ? 1或a ? 2, 解得 ? ? a>0且a ? 1,
?a=2. 答案:2

指数函数的图象特征
【例 2】 如图是指数函数①y=a ,②y=b ,
x x

③y=c ,④y=d 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大 小关系是( (A)a<b<1<c<d (B)b<a<1<d<c (C)1<a<b<c<d (D)a<b<1<d<c )

x

x

解析:法一 在①②中底数小于 1 且大于零, 在 y 轴右边,底数越小,图象向下越靠近 x 轴, 故有 b<a,在③④中底数大于 1,在 y 轴右边, 底数越大,图象向上越靠近 y 轴,故有 d<c.故 选 B.

法二 作直线 x=1,与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点,由于 x=1 代入各个函数 可得函数值等于底数的大小,所以四个交 点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知 b<a<1<d<c,故选 B.

指数函数图象存在哪些特 征?(指数函数图象特征可简记为:一定二近 三单调,两侧顺底变小,即它是过定点(0,1) 且无限靠近 x 轴的单调(上升或下降)图象,在 y 轴同侧底数均按顺时针方向变小)

跟踪训练 2 1:函数 y=a -4(a>0 且 a≠1)的图 象恒过定点
2x+1

2x+1

.
x

解析:法一 因为函数 y=a (a>0 且 a≠1)过定 点(0,1),函数 y=a -4 中,

1 令 2x+1=0 得 x=- ,y=a0-4=1-4=-3, 2 1 所以函数的图象恒过定点(- ,-3). 2

法二 函数可变形为 y+4=a ,把 y+4 看作 2x+1 的指数函数,所以当 2x+1=0 时,y+4=1,

2x+1

1 即 x=- ,y=-3. 2 1 所以函数的图象恒过定点(- ,-3). 2 1 答案:(- ,-3) 2

与指数函数有关的定义域、 值域问题
【例 3】 求下列函数的定义域和值域.
(1)y= 2
1 x?4

;
x?2

?1? (2)y= ? ? ?3?

.

名师导引:(1)以上函数是指数函数吗?(不 是指数函数,其形式可记为 y=a a≠1),一般称为指数型函数) (2)指数型函数 y=a (a>0 且 a≠1)的定义 域取决于谁?(由于指数函数定义域为 R,所 f(x) 以 y=a 的定义域取决于 f(x),只要 f(x) 有意义即可)
f(x) f(x)

(a>0 且

解:(1)由 x-4≠0,得 x≠4, ?定义域为{x|x∈R,且 x≠4}.

1 ≧ ≠0, x?4
?2
1 x?4

≠1, 的值域为{y|y>0,且 y≠1}.

?y= 2

1 x?4

(2)由 x-2≥0,得 x≥2. ?定义域为{x|x≥2}. 当 x≥2 时,

x ? 2 ≥0,
x?2

1 ?1? 又 0< <1,?y= ? ? 3 ?3?
{y|0<y≤1}.

的值域为

(1)如何求解函数 y=a (a>0 且 a≠1)的定义域和值域?(①定义域是指只 要使 f(x)有意义的 x 的取值范围;②值域问 题,应分以下两步求解: a.由定义域求出 u=f(x)的值域; b.利用指数函数 y=a 的单调性求得此函数的 值域)
u

f(x)

(2)这一求解过程体现了什么数学思想方 法?(换元与化归的思想方法,要注意换元后 字母取值范围的确定)

跟踪训练 3 和值域.

?1? 1:求函数 y= ? ? ?2?

x2 ? 4 x

的定义域

解:显然函数定义域为 R,设 t=x +4x=(x+2) -4 ≥-4,

2

2

1 ≧ 2

?1? <1,?y= ? ? ?2?

t

是[-4,+≦)上的减函数,

?1? ?y= ? ? ?2?

x2 ? 4 x

?1? ≤? ? ?2?

-4

=2 =16.

4

又 y>0,故所求函数的值域为(0,16].

【备选例题】
【例 1】 画出函数 y=|3 -1|的图象,并利
x

用图象回答: k 为何值时,方程|3 -1|=k 无解?有一解?有 两解?
x

解:函数 y=|3 -1|的图象是由函数 y=3 的图 象向下平移一个单位后,再把位于 x 轴下方 的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到,函数图 象如图所示.

x

x

当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图象无 交点,即方程无解; 当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1| 的图象有唯一的交点,所以方程有一解; x 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图象 有两个不同交点,所以方程有两解.
x

x

【例 2】 求函数 f(x)=
的定义域和值域.

?1? ?1? ? ? +? ? ?4? ?2?
x

x

+1

?1? 解:要使函数 f(x)有意义,需使 ? ? ?4? ?1? ? ? ?2?
x

x



有意义,

?函数 f(x)的定义域是 R.

?1? 设? ? ?2?

x

=t,又 x∈R,则 t∈(0,+≦)

? 1? 则 y=t +t+1= ? t ? ? ? 2?
2

2

3 + 4

,t∈(0,+≦)

1? ? ?y> ? 0 ? ? 2? ?

2

3 + 4

=1.

即函数 f(x)的值域为(1,+≦).


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