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二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系



二次函数y 与系数a, b, c的关系

2 =ax +bx+c的图象

目标 理解二次函数的图像与a,b,c之间的关系

回顾知识点:`
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关? a 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 (0,c) 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
b

x=- 2a

.

.

探索发现
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。 |a|越大,抛物线的开口越窄;|a|相同,抛物线的开口大小相同

1.a的符号
抛物线开口向上 抛物线开口向下

a>0

a<0

2. b的符号
由于对称轴是x= -b/2a;a,b共同决定对称轴 的位置.

x= -b/2a
交点在y轴左侧

x= -b/2a
ab>0 a、b 同号 交点在y轴右侧

ab<0

a、 b

异号

左同右异

3.c的符号
决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,

c)

交点在y轴正半轴

C>0
抛物线过原点

交点在y轴负半轴

C<0

C=0

4.b2-4ac的符号
抛物线与x轴的交点纵坐标为0,所以由y=ax2+bx+c (a≠ 0),方程解的个数显示抛物线与x 轴交点的个数。 0)得0=ax2+bx+c(a≠

抛物线与x轴有两个交点
抛物线与x轴有一个交点 抛物线与x轴无交点

b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0

5.抛物线与x轴有两个交点, 两个交点间的距离为
(x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0)

d=∣x1-x2∣
x1 ? x2 由交点横坐标还可以得到抛物线的 对称轴x ? 2

例题学习
已知,y=ax2+bx+c的图象如下,试判断 a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号。
解: ∵开口向上 ∴a>0
抛物线与y轴交于负半轴
b 对称轴x ? ? 在y轴右侧 2a b ?? 2 a >0,而

y

∴c<0

1

. · 1 x

∴b<0 a>0 由图象可知抛物线与x轴有两个 交点 ∴b2-4ac>0

b 4ac ? b 2 顶点(, )在第四象限 2a 4a 4ac ? b 2 ? ? 0, 又a ? 0, 4a ? b 2 ? 4ac ? 0

当x=1时,y=a +b+ c

y

由图象可知,点(1,a+ b+ c)在第四象限 . -1 a+ b+ c<0 又x=-1时,y=a- b+ c 由图象可知,点(1,ab+ c)在第二象限 ∴a- b+ c>0 归纳: (1)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点的位置确定。

· 1

x

(2)a- b+ c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 (3)b2-4ac的符号
由抛物线与x轴的交点个数确定,也可以由顶点的位置确 定。

你还想到啥?

1.根据图象判断a、b、c及 2 > a____0 < b____0 < c_____0

b -4ac的符号
< a____0 = b____0 c_____0 = = b2-4ac_____0 < a____0 > b____0 < c_____0

> b2-4ac_____0

> a____0
> b____0 = c_____0 > b2-4ac_____0

< b2-4ac_____0




抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的 位置决定。它们具有等价的关系。
(3 的符号由抛物线与y轴的交点确定。 (1 ))c a的符号由抛物线的开口确定。 开口向上 交点在 y轴正半轴上 交点是原点 开口向下 交点在y轴负半轴上

a>0 c>0 a<0 c=0 c<0
b2-4ac>0 a, b同号

2的符号由对称轴的位置确定。 (2) b (4)b -4ac的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定。

抛物线与 x 轴 有两个交点 对称轴在 y 轴左侧 抛物线与 对称轴是 x轴 y轴 有1个交点 对称轴在x 抛物线与 y轴右侧 轴 无交点

b=0

b2-4ac=0

你还能用其他方法确定b -4ac吗?

b2-4ac<0 a, b 异号 2

(5)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c )所在象限位置确定。

(6)a- b+ c的符号
由x=-1时抛物线上的点(1,a+b+c)所在象限位置确定。

(7)b2-4ac的符号

拓展

(1)你会判断 4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗?

(2)2a+b 2a-b呢?

1:已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象, 判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)2a-b; (7)a+b+c;(8)a-b+c.

2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,那么a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c中 值小于零的有( c ) ●
-1



1

A 5个; B 4个; C 3个;D 2个。

3.如果函数y=k x + b的图象在第一、二、 三象限内,那么函数y=kx2+bx-1的图象大 致是( B )
1 -1 1 -1

A

B

C

D

y

5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,下列判断不正确的是( ④) ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.

-1

2

o

x

6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同 C) 一坐标系内的大致图象是(
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

(A)

(B)

(C)

(D)

7.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(C )

8.不论k 取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 ( B) A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 9.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的 值是 ( A) A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1

a b
c 2a+b 2a-b b2-4ac a+b+c a-b+c

开口向上a>0 ;开口向下a<o 对称轴与y轴比较: (1)左侧 a、b同号 (2)右侧 a、b异号 与y轴交点: 交于上半轴c>o ;下半轴c<0

b 对称轴与1比较 2a

b 对称轴与-1比较 2a 与x轴交点个数
令x=1,看纵坐标 令x=-1,看纵坐标

1.[2014· 达州]如图25-2是二次函数y=ax2+ bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1. ① b2>4ac;②4a-2b+c<0; ③ 不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5; ④若(-2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点, 则y1<y2. 上述4个判断中, 正确的是 ( ) A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④

9.(3分)(2015?达州)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0)、(x2, 0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0),在x轴下 方,则下列判断正确的是( ) A a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0 C b2﹣4ac≥0 . B a> 0 . D x 1< x 0< x 2 .

(2016达州)10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c

(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交
点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),

对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac﹣b2<8a ④ < a< )

⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是( A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤

4.[2014· 莱芜]已知:二次函数

y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论 中:①abc>0;②b=2a;③a+ b+ c<0; ④a+ b- c>0; ⑤a-b+ c>0正确的个数 是 ( C ) A 、 2个 B 、 3个 C 、 4个 D 、 5个 y

- o 1

1 x

3.[2014· 孝感]抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(- 1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2, 0)之间,其部分图象如图25-3所示,则以下结 论:① b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2; ④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数 根.其中正确结论的个数为 ( ) A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4个

4.[2014· 天津]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图25-4所示,且关于x的一元二次 方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列 结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其 中,正确结论的个数是 ( )
A. 0 个 C. 2 个 B.1个 D. 3 个

5.[2013·滨州]如图,二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象与x轴交于A,B 两点,与y轴交 于点C,且对称轴为x=1,点B坐标为(-1, 0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②4a -2b+c<0;③ac>0;④当y<0时,x<-1 或x>2.其中正确的个数是 ( ) A.1个 C. 3个 B.2个 D. 4个

8.[2013·江西]若二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分 别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上 有一点M(x0,y0)在x轴下方,则下列判断正 确的是 ( ) A.a>0 B.b2-4ac≥0 C.x1<x0<x2 D.a(x0-x1)(x0-x2)<0

6. [2013· 烟台 ]图 25-6 是二次函数 y= ax2+ bx + c 图象的一部分,其对称轴为 x=- 1,且 过点 (- 3,0).下列说法:①abc< 0;② 2a- 5 b= 0;③4a+2b+ c< 0;④若 (- 5, y1), ( , 2 y2)是抛物线上两点,则 y1> y2.其中说法正确 的是 ( )
A.①② C.①②④ B.②③ D.②③④

图25-6

7.[2013·德州]函数y=x2+bx+c与y=kx的图 象如图25-7所示,有以下结论:①b2+4c>0; ②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时, x2+(b-k)x+c<0.其中正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

图25-7

小结

拓展
抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的 位置决定。它们具有等价的关系。
(3 的符号由抛物线与y轴的交点确定。 (1 ))c a的符号由抛物线的开口确定。 开口向上 交点在 y轴正半轴上 交点是原点 开口向下 交点在y轴负半轴上

a>0 c>0 a<0 c=0 c<0
b2-4ac>0 a, b同号

2的符号由对称轴的位置确定。 (2) b (4)b -4ac的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定。

抛物线与 x 轴 有两个交点 对称轴在 y 轴左侧 抛物线与 对称轴是 x轴 y轴 有1个交点 对称轴在x 抛物线与 y轴右侧 轴 无交点

b=0

b2-4ac=0

你还能用其他方法确定b -4ac吗?

b2-4ac<0 a, b 异号 2

(5)a+ b+ c的符号
由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c )所在象限位置确定。

(6)a- b+ c的符号
由x=-1时抛物线上的点(1,a+b+c)所在象限位置确定。

(7)b2-4ac的符号

拓展

(1)你会判断 4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗?

(2)你还想到啥?



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