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高中数学选择填空答题技巧



选择题的解题方法与技巧
题型特点概述 选择题是高考数学试卷的三大题型之一. 选择题的分数一般占全卷的 40% 左右,高考数学选择题的基本特点是: (1)绝大部分数学选择题属于低中档题,且一般按由易到难的顺序排列, 主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用,并且因为它还有 相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择,解题速度的快慢等 ),所以选择 题已成为具有较好区分度的基本题型之一. (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和 深度等特点,且每一题几乎都有两种或两种以上的解法,能有效地检测学生的 思维层次及观察、分析、判断和推理能力. 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案), 由选择题的结构特点,决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法.解 选择题的基本原则是: “小题不能大做” ,要充分利用题目中 (包括题干和选项) 提供的各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断. 数学选择题的求解,一般有两条思路:一是从题干出发考虑,探求结果; 二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、 特例检验法、排除法、逆向思维法等,这些方法既是数学思维的具体体现,也 是解题的有效手段.

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解题方法例析 题型一 直接对照法

直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、 性质、 公式、公理、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证, 从而直接得出正确结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座” ,从而确定正 确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来,其基本 求解策略是由因导果,直接求解. 例 1 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)?f(x+2)=13, 若 f(1)=2, 则 f(99) 等于 A.13 B.2 13 C. 2 2 D. 13 ( C )

思维启迪: 先求 f(x)的周期. 解析 13 ∵f(x+2)=f(x),

13 13 ∴f(x+4)= = 13 =f(x). f(x+2) f (x ) ∴函数 f(x)为周期函数,且 T=4. 13 13 ∴f(99)=f(4×24+3)=f(3)=f(1)= 2 . 探究提高 直接法是解选择题的最基本方法,运用直接法

时,要注意充分挖掘题设条件的特点,利用有关性质和已有 的结论,迅速得到所需结论.如本题通过分析条件得到 f(x)是周期为 4 的函 数,利用周期性是快速解答此题的关键.
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变式训练 1

1 函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= , f(x ) ( D ) 1 C.5 1 D.-5

若 f(1)=-5,则 f(f(5))的值为 A. 5 解析 B.-5

1 1 由 f(x+2)=f(x),得 f(x+4)= =f(x), f(x+2)

所以 f(x)是以 4 为周期的函数,所以 f(5)=f(1)=-5, 1 从而 f(f(5))=f(-5)=f(-1)= f(-1+2) 1 1 =f(1)=-5. x 2 y2 例 2 设双曲线 2- 2=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有 a b 一个公共点,则双曲线的离心率为 5 A. 4 B.5 C. 5 2 ( D ) D. 5

思维启迪: 求双曲线的一条渐近线的斜率即 ba 的值,尽而求离心率. 解析 设双曲线的渐近线方程为 y=kx,这条直线与抛物线 y=x2+1 相切,联立

? ?y=kx b ? ,整理得 x2-kx+1=0,则 Δ=k2-4=0,解得 k=±2,即a=2,故 2 ?y=x +1 ?

c 双曲线的离心率 e=a=

c2 a2=

a2+b2 a2 =

b 1+(a)2= 5.

探究提高 关于直线与圆锥曲线位臵关系的题目,通常是联立方程解方程 组.本题即是利用渐近线与抛物线相切,求出渐近线斜率.

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变式训练 2

x 2 y2 已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0),以 C 的右 a b

焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆的半径是( B ) A.a B .b C. ab D. a2+b2

x2 y2 b 解析 a2-b2=1 的其中一条渐近线方程为:y=-ax,即 bx+ay=0,而焦点 |b× a2+b2| 坐标为(c,0),根据点到直线的距离 d= =b.故选 B a2+b2 题型二 概念辨析法

概念辨析是从题设条件出发, 通过对数学概念的辨析, 进行少量运算或推理, 直接选择出正确结论的方法.这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概 念或性质,这需要考生在平时注意辨析有关概念,准确区分相应概念的内涵与 外延,同时在审题时要多加小心,准确审题以保证正确选择.一般说来,这类 题目运算量小,侧重判断,下笔容易,但稍不留意则易误入命题者设臵的“陷 阱” . 例3 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),给出下列条

件,①a=kb(k∈R);②x1x2+y1y2=0;③(a+3b)∥(2a-
2 2 2 b);④a· b=|a||b|;⑤x1 y2+x2 2y1≤2x1x2y1y2.

其中能够使得 a∥b 的个数是 A.1 解析 B.2

( D ) C.3 D.4

显然①是正确的,这是共线向量的基本定理; ②是错误的,这是两个向

量垂直的条件;③是正确的,因为由(a+3b)∥(2a-b),可得(a+3a)=λ(2a-b),
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λ+3 1 1 当 λ≠2时, 整理得 a= b, 故 a∥b, 当 λ=2时也可得到 a∥b; ④是正确的, 2λ-1 若设两个向量的夹角为 θ,则由 a· b=|a||b|cos θ,可知 cos θ=1,从而 θ=0,
2 2 2 所以 a∥b; ⑤是正确的, 由 x2 可得(x1y2-x2y1)2≤0, 从而 x1y2 1y2+x2y1≤2x1x2y1y2,

-x2y1=0,于是 a∥b. 探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念,应熟练掌握共 线向量的定义以及判断方法,同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量 的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来,能够从不同的角度来理解共 线向量. 变式训练 3 关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题:

①若 a· b=a· c,则 b=c. ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3. ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° . 则假命题为 A.①② 解析 B.①③ C.②③ ( B )

D.①②③

①a· b=a· c?a· (b-c)=0,a 与 b-c 可以垂直,而不一定有 b=c,故①为

假命题. ②∵a∥b,∴1×6=-2k.∴k=-3.故②为真命题.
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③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为 60°,a+b 为其对角线上的向量,a 与 a+b 夹角为 30°,故③为假命题.

题型三

数形结合法

“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上互 相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化,而数形结合法正是 在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中,可以先根据题 意,做出草图,然后参照图形的做法、形状、位臵、性质,综合图象的特征, 得出结论. 例4 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+ ( C.6 C )

2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 A.4 B.5

D.7

思维启迪: 画出函数 f(x)的图象,观察最 高点, 求出纵坐标即可. 本题运用图象来求值, 直观、易懂. 解析 由题意知函数 f(x)是三个函数 y1=

2x,y2=x+2,y3=10-x 中的较小者,作出三 个函数在同一个坐标系之下的图象 (如图中实 线部分为 f(x)的图象)可知 A(4,6)为函数 f(x)图
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象的最高点. 变式训练 4
2 ? ? ?x y2 ? ? 设集合 A= (x,y) 4 +16=1 ?, ? ? ?

x B={(x,y)|y=3 },则 A∩B 的子集的个数是

( A

) D. 1

A. 4

B. 3

C. 2

x2 y2 解析 集合 A 中的元素是椭圆 4 +16=1 上的点,集合 B 中的元素是函数 y= 3x 的图象上的点.由数形结合,可知 A∩B 中有 2 个元素,因此 A∩B 的子集的 个数为 4. 例 5 函数 f(x)=1-|2x-1|,则方程 f(x)· 2x=1 的实根的个数是 ( C) A.0 B.1 C.2 D.3

思维启迪:.若直接求解方程显然不可能,考虑到方
?1? ?1? 程可转化为 f(x)=?2?x, 而函数 y=f(x)和 y=?2?x 的图象又 ? ? ? ?

都可以画出,故可以利用数形结合的方法,通过两个函 数图象交点的个数确定相应方程的根的个数. ?1? 解析 方程 f(x)·2x=1 可化为 f(x)=? ?x,在同一坐标 ?2?
?1? 系下分别画出函数 y=f(x)和 y=? ?x 的图象,如图所 ?2? ?1? 示.可以发现其图象有两个交点,因此方程 f(x)=? ?x 有两个实数根 ?2?

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.变式训练 5 函数 y=|log1 x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的
2

长度 b-a 的最小值是 A. 2 3 B.2

(

D

) C. 3 3 D.4

解析 作出函数 y=|log1 x|的图象,如图所示,由 y=0 解得 x=1;由 y=2,解
2

1 1 3 得 x=4 或 x=4.所以区间[a,b]的长度 b-a 的最小值为 1-4=4.

题型四

特例检验法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位臵)代替 题设普遍条件, 得出特殊结论, 再对各个选项进行检验, 从而做出正确的选择. 常 用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位臵等. 特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对某一集合的所有元 素、某种关系恒成立” ,这样以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论若在 某种特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真” ,利用“小题小做”或“小题 巧做”的解题策略.
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→ 例 6 已知 A、B、C、D 是抛物线 y2=8x 上的点,F 是抛物线的焦点,且FA+ → → → → → → → FB+FC+FD=0,则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|的值为 A. 2 B. 4 C. 8 ( D )

D.16

→ → → → 解析 取特殊位置,AB,CD 为抛物线的通径,显然FA+FB+FC+FD=0, → → → → 则|FA|+|FB|+|FC|+|FD|=4p=16,故选 D. 探究提高 本题直接求解较难,利用特殊位臵法,则简便易行.利用特殊检验

法的关键是所选特例要符合条件. 变式训练 6 已知 P、Q 是椭圆 3x2+5y2=1 上满足∠POQ=90° 的两个动点,则 1 1 等于 2+ OP OQ2 A.34 B. 8 ( B ) 8 C.15 34 D.225

3 5 1 1 解析 取两特殊点 P( 3 ,0)、Q(0, 5 )即两个端点,则OP2+OQ2=3+5=8. 故选 B 例 7 数列{an}成等比数列的充要条件是 A.an+1=anq(q 为常数)
2 B.an an+2≠0 +1=an·

(

B

)

C.an=a1qn-1(q 为常数) D.an+1= an· an+2
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解析 考查特殊数列 0,0,?,0,?,不是等比数列,但此数列显然适合 A,C,D 项.故选 B.

an+1 探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法, 也就是看 a 是 n 否为常数,但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立. a2n 4n-1 变式训练 7 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a = , 2n-1 n S2n 则 S 的值为
n

( C. 4 D. 8

C

)

A. 2 解析 方法一
1

B. 3 (特殊值检验法)
1

a1+a2 4 a2 3 S2n S2 a1+a2 取 n=1,得a =1,∴ a =1=4,于是,当 n=1 时, S =S = a =4.
n 1 1

方法二 (特殊式检验法) 2n-1 a2n 4n-1 2· 注意到 a = = ,取 an=2n-1, 2n-1 2· n-1 n 1+(4n-1) · 2n 2 S2n Sn = 1+(2n-1) =4. · n 2 方法三 (直接求解法)

a1+a2n · 2n 2 a2n 4n-1 a2n-an 2n nd 2n d(2n-1) S2n a1+a2n 由 = ,得 = ,即 = ,∴an = ,于是, = = 2· = an 2n-1 an 2n-1 an 2n-1 2 Sn a1+an a1+an ·n
2 + (4n-1) 2 2 2· =4. d d + (2n-1) 2 2

d d

题型五 筛选法
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数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符 合题意的正确结论.筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供 的信息或通过特例,对于错误的选项,逐一剔除,从而获得正确的结论. 例 8 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是( A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 C ) D.0<a≤1 或 a<0

1 解析 当 a=0 时,x=- ,故排除 A、D.当 a=1 时,x=-1,排除 B.故选 C. 2

探究提高

选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键.对 “至少

有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行.不但缩短时 间,同时提高解题效率. 变式训练 8 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在 原点右侧,则实数 m 的取值范围是( D A.(0,1) B.(0,1] ) C.(-∞,1) D.(-∞,1]

1 解析 令 m=0,由 f(x)=0 得 x= 适合,排除 A、B.令 m=1,由 f(x)=0 得:x=1 适合,排除 C. 3

题型六

估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目, 不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出

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正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的 层次. x≤0 ? ? 例 9 若 A 为不等式组?y≥0 ? ?y-x≤2 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1

时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 3 A. 4 解析 B.1 7 C. 4 D.2

(

C

)

如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比 1

1 大,比 S△OAB=2×2×2=2 小,故选 C 项. 探究提高 “估算法”的关键是应该确定结 果所在的大致范围,否则“估算”就没有意 义.本题的关键在所求值应该比△AOB 的面 积小且大于其面积的一半. 变式训练 9 已知过球面上 A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( D 16 A. π 9 解析 8 B. π 3 C.4π ) 64 D. π 9

2 3 ∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= 3 ,则 S 球=4πR2≥4πr2

16 = 3 π>5π,故选 D.
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规律方法总结 1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法.但 大部分选择题的解法是直接法,在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特 点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧做”上 做文章,切忌盲目地采用直接法. 2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误 入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又 大胆跳跃. 3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧 算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.

知能提升演练
1.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩(?NB)等于 A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} ( A )

D.{1,2,3}

解析 由于 3∈?NB,所以 3∈A∩(?NB)∴排除 B、C、D,故选 A.

2.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( D) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向

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C.k=-1 且 c 与 d 同向

D.k=-1 且 c 与 d 反向

解析 当 k=1 时,c=a+b,不存在实数 λ,使得 a=λb.所以 c 与 d 不共线,与 c∥d 矛盾.排除 A、B;当 k=-1 时,c=-a+b=-(a-b)=-d,所以 c∥d, 且 c 与 d 反向.故应选 D.
? π π? 3.已知函数 y=tan ωx 在?-2,2?内是减函数,则( ? ?

B ) D.ω≤-1

A.0<ω≤1

B.-1≤ω<0

C.ω≥1

解析 可用排除法,∵当 ω>0 时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连 续区间内为增函数,∴排除 A、C,又当|ω|>1 时正切函数的最小正周期长度小
? π π? 于 π, ∴y=tan ωx 在?-2,2?内不连续, 在这个区间内不是减函数, 这样排除 D, ? ?

故选 B. 4.已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) ( B )

D.(-∞,0)

解析 当 m=1 时,f(x)=2x2-6x+1,g(x)=x,由 f(x)与 g(x)的图象知,m=1 满足题设条件,故排除 C、D.当 m=2 时,f(x)=4x2-4x+1,g(x)=2x,由其图象知, m=2 满足题设条件,故排除 A.因此,选项 B 正确. → → → → 5.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=( 2cos α, 2sin α),则向量OA
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→ 与向量OB的夹角的取值范围是 ( π A.[0, ] 4 5π ] 12 解析 π 5π D.[ , ] 12 12 → ∵|CA|= D ) 5π π B.[ , ] 12 2 π C.[ , 4

2 ,∴A 的轨迹是⊙C,半径为 2 .由图可知∠COB=π 4 ,设

→ → π π π π 向量OA与向量OB的夹角为 θ,则 4 - 6 ≤θ≤ 4 + 6 ,故选 D. 6.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x) ?f(x),f(x)≤K, ? 1 =? 取函数 f(x)=2-|x|, 当 K= 时, 函数 fK(x)的单调递增区间为 2 ?K,f(x)>K. ? ( C ) B.(0,+∞) C.(-∞,-1) D.(1,+∞)

A.(-∞,0)

1 1 解析 函数 f(x)=2-|x|=(2)|x|, 作图 f(x)≤K=2?x∈(-∞, -1]∪[1,+∞),故在(- ∞,-1)上是单调递增的,选 C 项.

7.设 x,y∈R,用 2y 是 1+x 和 1-x 的等比中 项,则动点(x,y)的轨迹为除去 x 轴上点的 A.一条直线
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( B.一个圆

D

) D.一个椭圆

C.双曲线的一支

解析

(2y)2=(1-x)(1+x)(y≠0)得 x2+4y2=1(y≠0).

8.设 A、B 是非空数集,定义 A*B={x|x∈A∪B 且 x∈A∩B},已知集合 A= {x|y=2x-x2},B={y|y=2x,x>0},则 A*B 等于 A.[0,1]∪ (2,+∞) C.(-∞,1] B.[0,1)∪ (2,+∞) D.[0,2] ( C )

解析 A=R,B=(1,+∞),故 A*B=(-∞,1],故选 C.

x2 2 9.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为 a → → 双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为 ( B ) A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 C.[-4,+∞) 7 D.[4,+∞)

解析 由 c=2 得 a2+1=4,∴a2=3, x2 2 ∴双曲线方程为 3 -y =1.设 P(x,y)(x≥ 3), → → OP· FP=(x,y)· (x+2,y) x2 4 2 2 2 =x +2x+y =x +2x+ 3 -1=3x2+2x-1(x≥ 3). 4 令 g(x)=3x2+2x-1(x≥ 3),则 g(x)在[ 3,+∞)上单调递增.g(x)min=g( 3)= 3+2 3.

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10.已知等差数列{an}满足 a1+a2+?+a101=0,则( A.a1+a101>0 C.a3+a99=0

C

)

B.a2+a102<0 D.a51=51

解析 取满足题意的特殊数列 an=0,则 a3+a99=0,故选 C. 1 11.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- a8 的值为 (C ) 2 A. 4 B. 6 C. 8 D.10

1 解析 令等差数列{an}为常数列 an=16.显然 a7- a8=16-8=8.故选 C. 2

1 1 b a 12.若a<b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④a+b>2 中,正 确的不等式是 A.①② (C ) B.②③ C.①④ D.③④

解析 取 a=-1,b=-2,则②、③不正确,所以 A、B、D 错误,故选 C. 13.如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0( 2, - 2), 角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 ( C )

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解析

观察并联想 P 运动轨迹与 d 的关系,当 t=0 时,d= 2,排除 A、D;当

开始运动时 d 递减,排除 B.
? x ? 14.若函数 f(x)=?x2+1-a?+4a 的最小值等于 3,则实数 a 的值等于 ? ?
2

(A )

A.

3 4

B.1
x2
2

3 C. 或 1 4

D.不存在这样的 a

解析 方法一 直接对照法令

x +1

=t,则 t∈[0,1).若 a≥1,则 f(x)=|t-a|+4a=5a-t 不存在最小

3 值;若 0≤a<1,则 f(x)=|t-a|+4a,当 t=a 时取得最小值 4a,于是 4a=3,得 a= 符合题意;若 a<0, 4

f(x)=|t-a|+4a=t+3a,当 t=0 时取得最小值 3a,于是 3a=3,得 a=1 不符合题意.综上可知,a=
3 . 4

方法二

试验法
2

? x ? 若 a=1,则 f(x)=?x2+1-1?+4>4,显然函数的最小值不是 3,故排除选项 B、 ? ?
2 ? x 3? 3 x2 3 C;若 a=4,f(x)=?x2+1-4?+3,这时只要令 2 -4=0,即 x=± 3,函数 x +1 ? ?

可取得最小值 3,因此 A 项正确,D 项错误. m-3 4-2m π θ 15.已知 sin θ= ,cos θ= ( <θ<π),则 tan 等于( D 2 m+5 m +5 2
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)

A.

m-3 9-m

m -3 B.| | 9-m

C.

1 3

D.5

解析 由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约, 故 m 为一确定的值, 于是 sin θ, cos θ π π θ π θ θ 的值应与 m 的值无关, 进而 tan 2的值与 m 无关, 又2<θ<π, < < , ∴ tan 4 2 2 2>1, 故选 D 项. 16.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)图 象可能是 ( D )

解析

从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同,可以排除 B 项,再者导

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函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出 y=f(x)的导函数是减函 数,所以原函数应该增加的越来越慢,排除 A、C 两项,最后只有 D 项,可以验 证 y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.

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