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指数函数及其性质(二)课件


§2.1.2指数函数及其性质(二)

1.指数函数:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做 指数函数其中x是自变量,函数定义域是R. 2.指数函数的图象和性质:
a >1 y 图 象
y=1
(0,1)

0< a <1 y
(0,1)

y=1

o x x ( 1.定义域: ?? , ?? ) 性 2.值域: ( 0 , ? ? ) 3.过点 ( 0 , 1 ) ,即x = 0 时,y = 1 质 4.在R上是 增 函数 在R上是 减 函数 o
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

指数函数性质应用 题型一 图像问题
1 )x y?( 3 1 )x y?( 2

x y?( 1 ) 10

y y ? 10

x

y?3

x

在第一象 限里,图象从 低到高,底数 逐渐变大.

y?2

x

o
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x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

例1 在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx, y=cx, y=d x的图象如下图,则a, b, c, d, 1之间 从小到大的顺序是__________________. b ? a ?1? d ? c y x x y ?b y ?c
y ?a
x

y?d

x

o

x
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

例2 指数函数 ① f ( x ) ? m , ② g ( x ) ? n , 满足 不等式 0 ? n ? m ? 1 ,则它们的图象是 ( D). y
x x

y

① ②

② ①

A.
o
② ①

B.
x
y
① ②

o
y

x

C.
o x

D.
o x

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

题型二 图像过定点问题 由于函数y=ax(a>0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题

例2.函数y=ax-3+2(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? (3, 3)

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

【1】函数y=ax+5-1(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? ( ? 5, 0)

【2】函数 y ? a b=____. 1

x?b

? 2 恒过定点(1,3)则

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

题型三:求定义域、值域问题:
(利用复合函数,结合图象法)

例1(1)求函数y=2x(-1≤x≤1)的值域 (2)求函数 y ? 域
2 ? 64 的定义域与值域 1 x2 ?2 x (3)求函数 y ? ( ) 的定义域与值 4
x

例2、已知函数y=4x+2· x-1 , 2

求函数y在[-1,1]上的最大值和最小值.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

题型四 指数函数图象的变换 一(平移问题) 例1.说明下列函数图象与指数函数y=2x的 图象关系,并画出它们的图象:

(1) y ? 2

x ?1

, y?2

x?2

;

(2) y ? 2
x

x ?1

, y?2

x?2
x

;

( 3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

(1) y ? 2

x ?1

,y?2

x?2

作出图象,显示出函数数据表 x
y?2
x

-3
x ?1

-2

-1

0

1 2 4

2 4

3 8

0.125 0.25 0.5 1 0.25 0.5 1 2

y?2 y?2

8 16

x?2

0.5

1

2

4

8 16 32

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

比较函数
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

y?2 y?2

x ?1 x?2

的图象关系 .

1
-4 -2
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

(2) y ? 2

x ?1

,y?2

x?2

作出图象,显示出函数数据表
x
y?2
y?2
x

-3 0.125
0.0625

-2 0.25
0.125

-1 0.5
0.25

0 1
0.5

1 2
1

2 3 4 8
2 4

x ?1

y?2

x?2

0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

比较函数
y?2
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

x ?1

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

比较函数
y?2
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

x ?1

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

比较函数
y?2
y?2
x

y
9 8 7 6 5 4 3 2

x ?1

y?2

x?2

的图象关系 .

1
-4 -2
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

( 3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1.
x x

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

( 3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

( 3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

( 3) y ? 2 ? 1, y ? 2 ? 1. y
x x

比较函数
y?2
x
x

9 8 7 6 5 4 3 2

y ? 2 ?1

y ? 2 ?1
x

的图象关系 .
-4 -2

1
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O

2

4

x

§2.1.2指数函数及其性质(二)

小 结: f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x+a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x-a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)+a的图象; 向下平移a个单位得到f(x)-a的图象.

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

二 对称问题 例1 说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图象的关系,并画出它们的示意图.

(1) y ? 2
y

?x

(2) y ? ? 2

x

(3) y ? ? 2
y

?x

(x,y)和(-x,-y)关 y 于原点对称!

o

x

o

x

o

x

(x,y)和(-x,y) 关于y轴对称!
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(x,y)和(x,-y)关 于x轴对称!

§2.1.2指数函数及其性质(二)

(1) y ? 2
y
(0,1)

?x

(2) y ? ? 2
y
(0,1)

x

(3) y ? ? 2
y
(0,1)

?x

o

x

o

x

o

x

(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称;

(2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称;
(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

题型五 单调性的证明 f ( x ) ? a ? x 2 .(1)试证明 例1.设a是实数, 2 ?1 对于任意 a, f(x)为增函数; 证明:任取x1,x2 ,且 x1 ? x2 . 2 ? x2 f(x1)-f(x2)= x
2
2

?1

2

1

?1

2 ? (2 ? 2 ) 2? 2 ? 2? 2 ? ? . x2 x1 x2 x1 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1)
x1 x2

x1

x2

∵ y=2x在R上是增函数,且x1<x2 , ? 2 x ? 2 x ,
1 2

即2

x1

?2

x2

? 0. 又 2

x1

? 1 ? 0, 2

x2

? 1 ? 0,

∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 故 对于a 取任意实数,f(x) 为增函数.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)
1 ) x 2 ? 2 x , x ≤ 1 的单调性,并 例2.讨论函数 f ( x ) ? ( 5

求其值域.

解: 任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,



1 ) x1 2 ? 2 x1 , f ( x1 ) ? ( 5

1 ) x22 ? 2 x 2 , f (x 2) ? ( 5

∵f(x1)>0, f(x2)>0,
f ( x2 ) 1 ) x 2 2 ? 2 x 2 ? x1 2 ? 2 x1 ? ?( f ( x1 ) 5
( x ? x )( x ? x ? 2 ) ? (1) 2 1 2 1 . 5

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

∵ x1<x2≤1, ∴ x2-x1>0, x1+x2-2<0. 1 )( x ?( 此时 (x2-x1)(x1+x2-2)<0. 5
f ( x2 ) ? ? 1, f ( x1 )

2

? x 1 )( x 2 ? x1 ? 2 )

0 ? (1) 5



f ( x 2 ) ? f ( x 1 ).

所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数. 又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
1 ) x 2 ? 2 x ≤ ( 1 ) ? 1 ? 5, ?0? ( 5 5

所以函数的值域是(0,5].
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

题型七 单调性应用简单的指数不等式 对于形如af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的不等式, 要根据单调性转化为一般的代数不等式.
如果a-5x>ax+7(a>0,且a≠1),求x的取值 范围. 例1 【思路点拨】 讨论a的取值,确定y=ax的单调 性.

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

【解】 ①当 a>1 时,∵a 5x>ax 7, 7 ∴-5x>x+7,解得 x<- . 6 - 5x x +7 ②当 0<a<1 时,∵a >a , 7 ∴-5x<x+7 解得 x>- . 6 综上所述,x 的取值范围是:当 a>1 时, 7 7 x<- ;当 0<a<1 时,x>- . 6 6





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§2.1.2指数函数及其性质(二)

【 名师点拨 】 以上 不等式为 同底型: a > g(x) a (a>0,且 a≠1)形式,解此种不等式的依据 是指数函数的单调性, 要养成判断底数取值范围 的习惯,若不确定,就需进行讨论,即 a >a
f(x) g(x)

f(x)

?f?x?>g?x?,a>1. ? ?? ? ?f?x?<g?x?,0<a<1.

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

互动探究3 本例中,若将“a-5x>ax+7(a>0, 且a≠1)”改为“(a2+a+2)-5x>(a2+a+2)x+7”, 如何求解? 12 7 2 解:∵a +a+2=(a+ ) + >1, 2 4 2 x ∴y=(a +a+2) 在 R 上是增函数. 7 ∴-5x>x+7,即 x<- , 6
7 ∴x 的取值范围是{x|x<- }. 6
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

题型八.指数形式的复合函数的奇偶性 例1.求证函数
f ( x ) ? 10 x ? 1 是奇函数 10 ? 1
x

证明:函数的定义域为R,
? f ( ? x ) ? 10? x ? 1 10 ? 1 x ?x 10 (10 ? 1) ? x ?x 10 (10 ? 1) x 1 ? 10 ? x 1 ? 10 ? ? f ( x ).
?x

所以f(x)在R上是奇函数.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

例2.设a是实数, f ( x ) ? a ?

的值,使f(x)为奇函数.

2 . (2)试确定a x 2 ?1

解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),
即a? 2 ? ? ( a ? x 2 ), ?x 2 ?1 2 ?1 x ? 2a ? 2 ? 2 x ? x 2 1? 2 2 ?1
? 2? 2 ? 2 x 1? 2
x

? 2.
利用 f(0)= 0

∴ a = 1.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)

【1】已知定义域为R的函数 f ( x ) ? 为奇函数,则a=__, b=_____. 2 1
f (0) ? 0 ? b ? 1;
f ( x ) ? e ? ax a e
x

-2 ? b x ?1 2 ?a
x

f ( ? 1) ? ? f (1) ? a ? 2.

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§2.1.2指数函数及其性质(二)

例 3 已 知 函 数 f(x) 是 奇 函 数 , 且 当 x > 0 时,f(x)=2x+1,求当x<0时,f(x)的解析式.
f ( x ) ? 2 x ?1 , 解:因为当 x>0 时,

∴当 x <0时,-x >0, ? x ?1 ? f (? x ) ? 2 . 又因为f(x)是奇函数, ∴ f(-x)=-f(x). ? x ?1 ? ? f ( x) ? 2 , f ( x ) ? ? 2 ? x ?1 . 即

y

2

o -2
- x ?1

x

所以当x<0时, f ( x ) ? ?2
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.


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