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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题word版含答案



湖北省武汉华中师范大学第一附属中学 2015 届高三上学期期中 考试数学(理)试题
考试用时 120 分钟,满分 150 分。请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? (1 ? i)(2 ? i) 的实部是 m ,虚部是 n ,

则 m ? n 的值是( ) A.

3

B.

?3

C.

3i

D. ? 3i

2 2.已知集合 A ? Z,B ? x | y ? ln(9 ? x ) ,则 A

?

?

B 为( )
D.

A.

?1 , 0? ??2,

B.

?1, 0, 1, 2? ??2,

C.

1, 2? ?0,

0, 1, 2? ??1,

3.下列命题错误的是( ) A.命题“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x , y 中至少有一个不为 0, 则 x2 ? y 2 ? 0 ”
2 2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题

由上表可得回归直线方程 y ? 0.56x ? a , 据此模型预报身高为 172 cm 的男生的体重大约为 ( )A.70.09 kg 5.已知 ? ? ?x, y ? x ? 1, y ? 1 ,A 是曲线 y ? x 2 与 y ? 机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( )

?

B.70.12 kg

?

C.70.55 kg

D.71.05 kg

x 围成的区域,若向区域 ? 上随

1 1 1 C. D. 4 8 12 6 . 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R ( 其 中
A. B.

1 3

A ? 0,? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) ,其部分图像如图所示,将 f ( x )

的图像纵坐标不变,横坐标变成原的 2 倍,再向右平移 1 个单 位得到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为( ) A. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1) x ? 1)

B. g ( x) ? sin D. g ( x) ? sin(

?
8

( x ? 1) x ?1)

C. g ( x) ? sin(

?
2

?
8

7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为( )
第 1 页 共 8 页

A.

4?

B.

8?

C.

12?

D.

16?

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0, ? 8.若 x, y 满足条件 ?2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 3 时, z ? ax ? y 取最小值,则实 ? y ? 0, ?
数 a 的取值范围是( ) A. ? ?

? 3 2? , ? ? 4 3?

B. ? ?

? 2 3? , ? ? 3 4?

C.

? 2 3? ?? , ? ? 3 5?

D. ?

? 3 3? , ? ? 4 5?

9.若双曲线 x2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 是第一象限内双曲线上 的点.若直线 PA, PB 的倾斜角分别为 ? , ? ,且 ? ? k? (k ? 1) ,那么 ? 的值是( ) A.

?
2k ? 1

B.

? 2k

C.

?
2k ? 1

D.

?
2k ? 2

10. 函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函 数 f ( x ) 在 D 上 为 非 减 函 数 , 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1] 上 为 非减函 数 , 且 满 足 以 下 三 个 条件 ①f (0) ? 0 ;②f ( ) ? A.

x 3

1 2

1 1 1 f ( x) ;③f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 f ( ) ? f ( ) 等于( ) 3 8 2 3 4 B. C. 1 D. 4 3

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) (一)必考题(11 ~ 14 题) 11 . 已 知 b 为 如 图 所 示 的 程 序 框 图 输 出 的 结 果 , 则 二 项 式

( bx ?

1 6 ) 的展开式中的常数项是_________. (用数字作答) x
OC ? 中, 1 1 OA, OD ? OB ,AD 与 BC 交于点 M , 4 2
(用 a , b 表示)

12. A B 在 ?O

设 OA = a , OB = b , 则 OM ? 13.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则

x ? 2y 的最小值为 xy



14. 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知点 P(3, 0) 在圆 C : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内, 动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点,若 ?ABC 的面积的最大值为 16 ,则实数 m 的取 值范围是 (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按 第 15 题作答结果计分) 15. (选修 4 ? 1 :几何证明选讲) 如图, PB 为△ ABC 外接圆 O 的切线, BD 平分 ?PBC ,交圆 O 于 D , C , D, P 共线.若 AB ? BD , PC ? PB , PD ? 1 ,则圆 O 的半径是 16. (选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xOy
1 ? x?t? ? ? t 中,曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, ?y ? t ? 1 ? t ?

x 轴正半轴为极

第 2 页 共 8 页

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin(? ? ) ? 1 ,则两曲线交点间的距离是 3 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设角 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,已知向量 m ? (sin A ? sin C,sin B ?sin A) ,

?

n ? (sin A ? sin C,sin B) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若向量 s ? (0, ?1), t ? (cos A, 2 cos 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 ,
2

B ) ,试求 s ? t 的取值范围 2

a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (Ⅱ)数列 {cn } 满足 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

20. (本小题满分 12 分) 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的 先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速 (km/h) 分成六段 [80,85), [85,90), [90,95), [95,100), [100,105), [105,110) 后得 到如下图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法? (Ⅱ) 求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅲ)若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出 的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ? 的分布列及 数学期望.

21. (本小题满分 13 分)

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原 2 2 a b 点 O 为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切
已知椭圆 C (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程 (Ⅱ)若直线 L: y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ? ?求证: ?AOB 的面积为定值
第 3 页 共 8 页

b2 a2

?在椭圆上是否存在一点 P,使 OAPB 为平行四边形,若存在,求出 OP 的取 值范围,若不存在说明理由.

22. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)求 a, b 的值;

已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx 2 图象上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3 x ? 2 ln 2 ? 2
1 (Ⅱ)若方程 f ? x ? ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围 e e (其中 为自然对数的底, e ? 2.7 ) ;

(Ⅲ) 令 g ? x ? ? f ? x ? ? nx , 如果 g ? x ? 图象与 x 轴交于 A? x1 ,0 ?, B? x 2 ,0 ?? x1 ? x 2 ? ,AB 中 点为 C ? x 0 ,0 ? ,求证: g ? ? x0 ? ? 0 .

第 4 页 共 8 页

华中师大一附中 2014——2015 学年度上学期期中检测 高三数学(理)试题参考答案及评分标准

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 m ? n ? (sin 2 A ? sin 2 C) ? (sin 2 B ? sin Asin B) ? 0 , 即 sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin A sin B ,由正弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ,

? a2 ? b2 ? c2 1 ? ,? 0 ? C ? ? ,? C ? .?????6 分 3 2ab 2 2 B ? 1) ? (cos A, cos B) , (Ⅱ)? s ? t ? (cos A,2 cos 2 2 2? ? s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 ( ? A) 3 4? 1 ? cos( ? 2 A) 1 ? cos 2 A 1 3 1 ? 3
再由余弦定理得 cosC ?

?

1 ? 2? ? ? 7? ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 , ,? ? ? 2 A ? ? 2 6 3 6 6 6 2 1 5 2 5 .????????12 分 所以 ? s ? t ? ,故 ? s?t ? 2 4 2 2

2

?

2

? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 4 4 2 6

?0 ? A ?

18. (本小题满分 12 分)
3 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,由 b4 ? b1q 3 ,得 q ?

54 ? 27 , 2 n ?1 从而 q ? 3 ,因此 bn ? 2 ? 3 ,又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,
? a2 ? 8 , d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 an ? 6n ? 4 ?????????6 分
n?1 n ?2

(Ⅱ) cn ? anbn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3
0 1 2 1 2

令 Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? …? (3n ? 5) ? 3
3

? (3n ? 2) ? 3n?1 ? (3n ? 2) ? 3n ?????9 分
7 (6n ? 7)3n ? 2 2

则 3Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? …? (3n ? 5) ? 3

n?1

两式相减得 ?2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 32 ? … ? 3 ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ? ?

7 3n (6n ? 7) n ? ,故 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3 4 4 19. (本小题满分 12 分) ?Tn ?
解: (I)当 t ?

?????????12 分

1 时, PA // 平面 MQB 3 证明:连 AC 交 BQ 于 N ,连 MN .由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,

第 5 页 共 8 页

?

1 AQ AN 1 AN 1 PM 1 AN ? ? ,所以 ? .若 t ? ,即 ? ? , 3 BC NC 2 AC 3 PC 3 AC ? PA // MN ,由 MN ? 平面 PAC ,故 PA // 平面 MQB .????????6 分 (II)由 PA ? PD ? AD ? 2 , Q 为 AD 的中点,则 PQ ? AD 又平面 PAD ⊥平面 ABCD ,所以 PQ ⊥平面 ABCD ,连 BD ,∵四边形 ABCD 为菱形, ? AD ? AB , 由 ?BAD ? 60? 得 ?ABD 为正三角形,又 Q 为 AD 的中点, ? BQ ? AD ,以 Q 为坐标原点,分别以 QA, QB, QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图
所示的坐标系,则各点坐标为 A(1, 0, 0) , B(0, 3,0) , Q(0,0,0) , P(0,0, 3)
? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 , PA // MN ,? ? 设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,可得 ? , ? ? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0

? ? 3y ? 0 令 z=1,解得 n ? ( 3,0,1) ,取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 , ? ? ? x ? 3z ? 0

?

?

设所求二面角为 ? ,而 ? 为锐角,则 cos ? ?

| QP ? n | 1 ? , | QP || n | 2

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°.????12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (I)系统抽样 ????????2 分 (II)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 97.5 , 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为 0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 95) ? 0.5 ,解得 x ? 97.5 即中位数的估计值为 97.5 ????????6 分

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

????????12 分

21. (本小题满分 13 分)

c 1 |0?0? 6 | ? 3 , ? ,又 a 2 ? b2 ? c2 , a 2 2 2 x y2 联立解得 a2 ? 4, b2 ? 3 ,? 椭圆的方程为 ? ? 1 .????????3 分 4 3
解: (Ⅰ)由题意得, b ?

第 6 页 共 8 页

? x2 y2 ? ? ?1 (Ⅱ)设 A( x1, y1 ) , B( x 2, y 2 ) 则 A,B 的坐标满足 ? 4 3 ? ? y ? kx ? m 2 2 2 消去 y 化简得, ?3 ? 4k ?x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 8km 4m 2 ? 12 ? x1 ? x 2 ? ? , , ? ? 0 得 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 x x ? 1 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2

4m 2 ? 12 8km 3m 2 ? 12k 2 2 。 ? km ( ? ) ? m ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 3 y y 3 ? K OA ? K OB ? ? , 1 2 ? ? ,即 y1 y 2 ? ? x1 x 2 4 4 x1 x 2 4
=k2

?

3m 2 ? 12k 2 3 4m 2 ? 12 即 2m 2 ? 4k 2 ? 3 ? ? ? 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? AB ? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? k 2 ) ?

?

?

48(4k 2 ? m 2 ? 3) (3 ? 4k 2 ) 2

48(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 = ? ? 2 (3 ? 4k 2 ) 2
? S ?AOB ?
=

m 24(1 ? k 2 ) 。O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ? 3 ? 4k 2 1? k 2 m
24(1 ? k 2 ) 1 m 2 24(1 ? k 2 ) = ? 2 1 ? k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
为定值. ??????????8 分

1 1 d AB ? 2 2

1? k 2

1 3 ? 4k 2 24 = 3 ? 2 2 3 ? 4k 2

(Ⅲ)若存在平行四边形 OAPB 使 P 在椭圆上,则 OP ? OA ? OB

8km 6m , y 0 ? y1 ? y 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 2 2 2 16k m 12m 2 x0 y0 ? ?1 由于 P 在椭圆上,所以 ? ? 1 ,从而化简得 (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2 4 3 化简得 4m2 ? 3 ? 4k 2 (1) 3 由 K OA ? K OB ? ? 知 (2) 2m 2 ? 4k 2 ? 3 4
设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ? x1 ? x 2 ? ? 解(1) (2)知无解,故不存在 P 在椭圆上的平行四边形. ????????13 分 22. (本小题满分 14 分) a a 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ? 2bx , f ? ? 2 ? ? ? 4b , f ? 2 ? ? a ln 2 ? 4b . x 2 a ∴ ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 . 解得 a=2,b=1.?????3 分 2 2 2 (Ⅱ) f ? x ? ? 2 ln x ? x ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m ,
2 2(1 ? x 2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去) . ? 2x ? x x 1 1 在 [ , e] 内,当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是增函数; e e 当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是减函数.

则 h? ? x ? ?

第 7 页 共 8 页

? 1 ? h( e ) ≤ 0, ? 1 ? 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 ? h(1) ? 0, e ? h(e) ≤ 0. ? ? ?
即1 ? m ? 2 ?

1 . e2

????????8 分

x 2 1 ?2 x1 x1 ln 2 x x x2 1 x2 2 .即 ln 1 ? 2 由④得 n ? ? 2 x0 ,∴ .⑤ ? .即 x ? x0 x2 1 ?1 x1 ? x2 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x2
ln

令t ?

x1 (t ? 1) 2 2t ? 2 , u (t ) ? ln t ? (0<t<1),则 u ?(t ) ? >0. x2 t ?1 t (t ? 1) 2

∴ u (t ) 在 0<t<1 上增函数. u (t ) ? u (1) ? 0 , ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ? x0 ? ? 0 .????????14 分

第 8 页 共 8 页



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