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山东省潍坊市2015届高三上学期期末考试数学试卷(理科)



2014-2015 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(理科)

一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在四个选项中只有一项是正确的. 1.复数 为纯虚数,则实数 a=( C.2 D. )

A.﹣2 B.﹣

2.设集合 M={x||x﹣3|<2},N={x|y= A. D. C. D. (0, )


},则 M∩N=(



6.二项式(2x ﹣ ) 的展开式中 x 的系数为( A.﹣20 B.20 C.﹣40 D.40

2

5



7.运行如图所示程序框,若输入 n=2015,则输出的 a=(



A.

B.

C.

D.

8.向所示图中边长为 2 的正方形中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图中阴影部分的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

9.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 3 千克,B 原料 1 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克,B 原料 3 千克.每生产一桶甲产品的利润 400 元,每生产 一桶乙产品的利润 300 元,公司在生产这两种产品的计划中,每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克,通过合理安排生产计划,公司每天可获得的最大利润是(单位:元) ( A.1600 B.2100 C.2800 D.4800 )

10. 设函数 f (x) 的定义域为 D, 若任取 x1∈D, 存在唯一的 x2∈D, 满足
2

=C,

则称 C 为函数 y=f(x)在 D 上的均值,给出下列五个函数:①y=x;②y=x ;③y=4sinx;④ y=lgx;⑤y=2 .则所有满足在其定义域上的均值为 2 的函数的序号为( A.①③ B.①④ C.①④⑤ D.②③④⑤
x



二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.若向量 、 的夹角为 150°,| |= ,| |=4,则|2 + |= .

12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为



13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ﹣b =bc,sinC=2sinB,则角 A 为 .

2

2

14.已知 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的 .

一点,且|PF1|=2|PF2|.若△PF1F2 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为

15.若方程 x +ax﹣4=0 的各个实根 x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点 2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 .

4

(i=1,

三、解答题:共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣sin x+ cos2x+ ,x∈R.
2

(1)求函数 f(x)在上的最值; (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 , ) ,求 cos

的 2 倍,纵坐标不变,得到 g(x)的图象,已知 g(α )=﹣ ,α ∈( ( ﹣ )的值.

17. 如图, 四边形 ACDF 为正方形, 平面 ACDF⊥平面 BCDE, BC=2DE=2CD=4, DE∥BC, ∠CDE=90°, M 为 AB 的中点. (1)证明:EM∥平面 ACDF; (2)求二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值.

18.某机械厂生产一种产品,产品被测试指标大于或等于 90 为优等次,大于或等于 80 小于 90 为良等次,小于 80 为差等次.生产一件优等次产品盈利 100 元,生产一件良等次产品盈利 60 元,生产一件差等次产品亏损 20 元.现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品 各 100 件进行检测,结果统计如表: 测试指标 甲 乙 [70,75) 3 5 [75,80) 7 15 [80,85) 20 23 [85,90) 30 27 [90,95) 25 20 [95,100) 15 10

根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率,现分别作为他们每次 生产一件这种产品的等次互不受影响. (1)计算高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品的概率; (2)甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为 X 元(利润=盈利﹣亏损) .求随机变 量 X 的频率分布和数学期望.

19.各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知点(an,an+1) (n∈N )在函数 y=3x 的图 象上,且 S3=26. (1)求数列{an}的通项公式; (2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 d 的等差数列,求数列| n 项和 Tn,并求使 Tn+ ≤ 成立的最大正整数 n. |的前

*

20.已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程;

+

=1(a>b>0)经过点 Q(

,1) ,过椭圆的一个焦

(2)过抛物线 C2:y=x +h(h∈R)上一点 P 的切线与椭圆 C1 交于不同两点 M,N.点 A 为椭圆 C1 的右顶点, 记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G, H 点, 当直线 CH 与 x 轴垂直时, 求 h 的最小值.

2

21.设函数 f(x)=lnx,g(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2f(x) . (1)当 a=1 时,求函数 g(x)的单调区间; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是函数 y=f(x)图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C(x0, y0) ,直线 AB 的斜率为 k.证明:k>f(x0) (3) 设F (x) =|f (x) |+ (b>0) , 对任意 x1, x2∈ ( 0, 2], x1≠x2, 都有

<﹣1,求实数 b 的取值范围.

2014-2015 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在四个选项中只有一项是正确的. 1.复数 为纯虚数,则实数 a=( C.2 D. )

A.﹣2 B.﹣

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 解答: 解:∵复数 ∴2a﹣1=0,2+a≠0, 解得 a= . 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题. = = 为纯虚数,

2.设集合 M={x||x﹣3|<2},N={x|y= A. D.

},则 M∩N=(



4.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(﹣2,0)上,下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是( )

A.y=x +1 C.y=

2

B.y=|x|+1 D.y=

考点: 奇偶函数图象的对称性;奇偶性与单调性的综合.

专题: 常规题型;压轴题. 分析: 首先利用偶函数的对称性,判断出 f(x)在(﹣2,0)为减函数.然后分别分析选项 中 4 个函数的单调性.最后判断答案即可. 解答: 解:利用偶函数的对称性 知 f(x)在(﹣2,0)上为减函数. 又 y=x +1 在(﹣2,0)上为减函数; y=|x|+1 在(﹣2,0)上为减函数; y= 在(﹣2,0)上为增函数.
2

∴y=

在(﹣2,0)上为减函数.

故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性的关系,涉及到二次函数,绝对值函数,一次函数, 3 次函数,以及指数函数的单调性.属于中档题.

5.若过点 P(﹣2 ( )

,﹣2)的直线与圆 x +y =4 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是

2

2

A. (0,

) B. C. D. (0,



考点: 直线与圆的位置关系;直线的倾斜角. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 用点斜式设出直线方程,根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可 得 ≤2,由此求得斜率 k 的范围,可得倾斜角的范围.
2 2

解答: 解:由题意可得点 P(﹣2 存在,设为 k, 则直线方程为 y+2=k(x+2

,﹣2)在圆 x +y =4 的外部,故要求的直线的斜率一定

) ,即 kx﹣y+2

k﹣2=0. ≤2,

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得

解得 0≤k≤

,故直线 l 的倾斜角的取值范围是,

故选:B. 点评: 本题主要考查用点斜式求直线方程,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数学 思想,属于中档题.

6.二项式(2x ﹣ ) 的展开式中 x 的系数为( A.﹣20 B.20 C.﹣40 D.40

2

5



考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用二项式(2x ﹣ ) 展开式的通项公式即可求得答案. 解答: 解:设二项式(2x ﹣ ) 展开式的通项为 Tr+1, 则 Tr+1= 2
5﹣r 2 5 2 5

?x

2(5﹣r)

(﹣x) = ?

﹣r

2

5﹣r

(﹣1) ?x ?

﹣r

10﹣3r



令 10﹣3r=1 得 r=3, ∴二项式(2x ﹣ ) 展开式中 x 的系数为 故选:C. 点评: 本题考查二项式定理,着重考查二项展开式的通项公式的应用,属于中档题.
2 5

2? (﹣1) =﹣40.

2

﹣3

7.运行如图所示程序框,若输入 n=2015,则输出的 a=(



A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

分析: 模拟程序框图的运行过程,得出该程序框图是计算 a= + 的值,i=4029 时,计算 a 的值,输出 a,程序结束.

+

+…

解答: 解:执行程序框图,有 n=2015 a=0,i=1,a= , , + ,

不满足条件 i≥2n﹣1,i=3,a= 不满足条件 i≥2n﹣1,i=5,a= … 不满足条件 i≥2n﹣1,i=4029,a=

+

+…+ + +…+

, . .

满足条件 i≥2n﹣1,退出循环,输出 a 的值为 ∵a= 故选:D + +…+ = (

)=

点评: 本题考查了程序框图的运行过程的问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,得出每 次循环的 a 的值,裂项法求和是解题的关键,属于基础题.

8.向所示图中边长为 2 的正方形中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图中阴影部分的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 利用定积分公式,求出阴影部分的面积,代入几何概型概率计算公式,可得答案. 解答: 解:阴影部分的面积 S=2× + =1+2ln2,

边长为 2 的正方形的面积为:4,

故随机撒一粒黄豆,则黄豆落在图中阴影部分的概率 P= 故选:A



点评: 本题考查的知识点是几何概型,其中利用定积分公式,求出阴影部分的面积,是解答 的关键,难度中档.

9.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 3 千克,B 原料 1 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克,B 原料 3 千克.每生产一桶甲产品的利润 400 元,每生产 一桶乙产品的利润 300 元,公司在生产这两种产品的计划中,每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克,通过合理安排生产计划,公司每天可获得的最大利润是(单位:元) ( A.1600 B.2100 C.2800 D.4800 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先设每天生产甲产品 x 千克,乙产品 y 千克,利润总额为 z 元,根据题意抽象出 x,y 满足的条件,建立约束条件,作出可行域,再根据目标函数 z=400x+300y,利用线性规划的知 识进行求解即可. 解答: 解:设每天生产甲产品 x 千克,乙产品 y 千克,利润总额为 z 元, )





目标函数为:z=400x+300y 作出可行域: 把直线 l:z=400x+300y 向右上方平移,直线经过可行域上的点 A,且与原点距离最大, 此时 z=400x+300y 取最大值, 解方程 ,解得

得 A 的坐标为(3,3) .此时 z=400×3+300×3=2100 元. 故选:B

点评: 本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题,基本思路是抽象约束条件,作 出可行域,利用目标函数的类型,找到最优解.属中档题.

10. 设函数 f (x) 的定义域为 D, 若任取 x1∈D, 存在唯一的 x2∈D, 满足
2

=C,

则称 C 为函数 y=f(x)在 D 上的均值,给出下列五个函数:①y=x;②y=x ;③y=4sinx;④ y=lgx;⑤y=2 .则所有满足在其定义域上的均值为 2 的函数的序号为( A.①③ B.①④ C.①④⑤ D.②③④⑤
x



考点: 函数的值;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义分别验证对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 f(x1)+f(x2)=4 成立 的函数即可. 解答: 解:首先分析题目求对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使 f(x1)+f(x2)=4 成 立的函数. ①y=x,f(x1)+f(x2)=4 得 x1+x2=4,解得 x2=4﹣x1,满足唯一性,故成立. ②y=x ,由 f(x1)+f(x2)=4 得 x1 +x2 =4,此时 x2= 性,故不满足条件. ③y=4sinx,明显不成立,因为 y=4sinx 是 R 上的周期函数,存在无穷个的 x2∈D,使 成立.故不满足条件
2 2 2

,x2 有两个值,不满足唯一

④y=lgx, 定义域为 x>0, 值域为 R 且单调, 显然必存在唯一的 x2∈D, 使 成立.故成立. ⑤y=2 定义域为 R,值域为 y>0.对于 x1=3,f(x1)=8.要使 则 f(x2)=﹣4,不成立. 故选:B 点评: 本题主要考查新定义的应用,考查学生的推理和判断能力.综合性较强.
x

成立,

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.若向量 、 的夹角为 150°,| |= ,| |=4,则|2 + |= 2 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算,由向量 、 的夹角为 150°, | |= 决. 解答: 解:|2 + | = = = =2. 故答案为:2 点评: 求 有向线段 于 常用的方法有:①若已知 的两端点 A、B 坐标,则 . =|AB|= ,则 = ;②若已知表示 的 ③构造关 ,| |=4,我们易得 的值,故要求|2 + |我们,可以利用平方法解

的方程,解方程求

12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为 9π



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出其外接球的半 径,代入表面积公式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其四个顶点是以俯视图为底面,以 2 为高的三棱柱的四个顶点, 故其外接球,即为以俯视图为底面,以 2 为高的三棱柱的外接球, 由底面两直角边长分别为 故底面的外接圆直径为 球心距 d= =1, = ,
2



, ,

,故底面的外接圆半径 r=

故球的半径 R=

故该几何体的外接球的表面积 S=4π R =9π , 故答案为:9π . 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形 状.

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a ﹣b =bc,sinC=2sinB,则角 A 为 .

2

2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形.

分析: 利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系,然后通过余弦定理求解即可. 解答: 解:由 sinC=2sinB,由正弦定理可知:c=2b,代入 a ﹣b =bc, 可得 a =3b , 所以 cosA= ∵0<A<π , ∴A= . . = ,
2 2 2 2

故答案为:

点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,属于基本知识的考查.

14.已知 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上的

一点,且|PF1|=2|PF2|.若△PF1F2 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为 2 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用双曲线的定义和等腰三角形的定义,由离心率公式,计算即可得到,注意离心率 的范围. 解答: 解:P 为双曲线右支上的一点, 则由双曲线的定义可得,|PF1|﹣|PF2|=2a, 由|PF1|=2|PF2|,则|PF1|=4a,|PF2|=2a, 由△PF1F2 为等腰三角形,则|PF1|=|F1F2| 或|F1F2|=|PF2|, 即有 4a=2c 或 2c=2a, 即有 e= =2(1 舍去) . 故答案为:2. 点评: 本题考查双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.

15.若方程 x +ax﹣4=0 的各个实根 x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点

4

(i=1,

2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题. 分析: 原方程等价于 x +a= ,原方程的实根是曲线 y=x +a 与曲线 y= 别作出左右两边函数的图象:分 a>0 与 a<0 讨论,可得答案. 解答: 解:方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x +a= , 原方程的实根是曲线 y=x +a 与曲线 y=
3 3 3 3 3 3

的交点的横坐标,分

的交点的横坐标,

而曲线 y=x +a 是由曲线 y=x 向上或向下平移|a|个单位而得到的, 若交点 (i=1,2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,

因直线 y=x 与 y= 交点为: (﹣2,﹣2) , (2,2) ;

所以结合图象可得





解得 a>6 或 a<﹣6. 故答案为:a>6 或 a<﹣6.

点评: 本题综合考查了反比例函数,反比例函数与一次函数图象的交点问题,数形结合是数 学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.

三、解答题:共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣sin x+ cos2x+ ,x∈R.
2

(1)求函数 f(x)在上的最值; (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 , ) ,求 cos

的 2 倍,纵坐标不变,得到 g(x)的图象,已知 g(α )=﹣ ,α ∈( ( ﹣ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用倍角公式将函数进行化简,结合三角函数的图象和性质即可求函数 f(x) 在上的最值; (2)根据三角函数的图象关系求出 g(x)的表达式,利用三角函数的关系式进行求值即可. 解答: 解: (1)f(x)=2 + cos2x+ = ∵x∈,∴﹣ ∴当 2x+ =﹣ ≤2x+ ≤ sinxcosx﹣sin x+ cos2x+ = sin2x+cos2x=2sin(2x+ , 时,f(x)的最小值为 2×( )= . ) .
2

sin2x﹣

,即 x=﹣

当 2x+

=

,即 x=

时,f(x)的最大值为 2×1=2. 个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 ) ,

(2)若将函数 f(x)的图象向右平移

的 2 倍,纵坐标不变,得到 g(x)=2sin(x﹣ 由 g(α )=2sinx(α ﹣ 得 sinx(α ﹣ ∵α ∈( , )=﹣ , ) , ) , )=﹣ ,

∴π ﹣α ∈(π , 是 cos(α ﹣ ∵ < ﹣

)=﹣ , ,

∴cos(



)=

=﹣



点评: 本题主要考查三角函数的最值的求解,根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键, 要求熟练三角函数的图象和性质.

17. 如图, 四边形 ACDF 为正方形, 平面 ACDF⊥平面 BCDE, BC=2DE=2CD=4, DE∥BC, ∠CDE=90°, M 为 AB 的中点. (1)证明:EM∥平面 ACDF; (2)求二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 综合题;空间向量及应用.

分析: (1)取 AC 的中点 P,连结 PM、PD,通过中位线定理可得四边形 DEMP 为平行四边形, 进而有 ME∥DP,利用线面平行的判定定理即得结论; (2)以 C 为坐标原点,CA、CB、CD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,则所求 值为平面 ABE 的法向量与平面 BCE 的一个法向量的夹角的余弦值,计算即可. 解答: (1)证明:如图,取 AC 的中点 P,连结 PM、PD, 在△ABC 中,P 为 AC 的中点,M 为 AB 的中点, ∴PM∥BC,且 PM= BC, 又∵DE∥BC,DE= BC,∴PM∥DE 且 PM=DE, 故四边形 DEMP 为平行四边形,∴ME∥DP, 又∵DP? 平面 ACDF,EM?平面 ACDF, ∴EM∥平面 ACDF; (2)解:∵平面 ACDF⊥平面 BCDE,平面 ACDF∩平面 BCDE=CD,AC⊥DC, ∴AC⊥平面 BCDE,∴AC⊥BC, 又∵∠CDE=90°,DE∥BC,∴BC⊥CD, 以 C 为坐标原点,CA、CB、CD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,0,2) ,E(0,2,2) , 则 =(﹣2,4,0) , =(﹣2,2,2) ,

设平面 ABE 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,

取 y=1,得 =(2,1,1) , 又∵AC⊥平面 BCDE,∴ ∴cos< , >= =(2,0,0)为平面 BCE 的一个法向量, = = .

∴二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值为



点评: 本题考查空间中线面平行的判定,以及求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累, 属于中档题.

18.某机械厂生产一种产品,产品被测试指标大于或等于 90 为优等次,大于或等于 80 小于 90 为良等次,小于 80 为差等次.生产一件优等次产品盈利 100 元,生产一件良等次产品盈利 60 元,生产一件差等次产品亏损 20 元.现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品 各 100 件进行检测,结果统计如表: 测试指标 甲 乙 [70,75) 3 5 [75,80) 7 15 [80,85) 20 23 [85,90) 30 27 [90,95) 25 20 [95,100) 15 10

根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率,现分别作为他们每次 生产一件这种产品的等次互不受影响. (1)计算高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品的概率; (2)甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为 X 元(利润=盈利﹣亏损) .求随机变 量 X 的频率分布和数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品有两种情况:恰有 2 件优等品或 3 件都是优等品,由此能求出高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品的概率. (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 200,160,120,80,40,﹣40,分别求出相应的概率, 由此能求出随机变量 X 的频率分布和数学期望. 解答: 解: (1)甲生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为 ,

乙生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为 高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品有两种情况: 恰有 2 件优等品或 3 件都是优等品, ∴高级技工甲生产三件产品,至少有 2 件优等品的概率: P=( )+
3





(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 200,160,120,80,40,﹣40, P(X=200)= P(X=160)= P(X=120)= P(X=80)= P(X=40)= P(X=﹣40)= ∴X 的分布列为: X P EX= + =124(元) . 200 160 120 80 40 ﹣40 = , = , = = , , = , = ,

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.

19.各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知点(an,an+1) (n∈N )在函数 y=3x 的图 象上,且 S3=26. (1)求数列{an}的通项公式; (2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 d 的等差数列,求数列| n 项和 Tn,并求使 Tn+ ≤ 成立的最大正整数 n. |的前

*

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质.

专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)先利点(an,an+1) (n∈N )在函数 y=3x 的图象上,且 S3=26,求出 q=3,a1=2, 即可求数列{an}的通项; (2)先把所求结论代入求出数列{Tn}的通项,再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项 的和,最后利用不等关系求解即可. 解答: 解: (1)∵点(an,an+1) (n∈N )在函数 y=3x 的图象上, ∴an+1=3an,∴公比 q=3, ∴S3=26,∴a1+3a1+9a1=26,解得 a1=2, ∴数列{an}的通项公式 an=2×3 (2)由(1)知 an=2×3
n﹣1 n﹣1 * *


n

,an+1=2×3 ,

∵在 an 于 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列, ∴an+1=an+(n+1)dn, ∴dn= ,∴ = ,

∴Tn= Tn+1= +

+

+…+ +…+ ﹣ ,即 3 ≤
n﹣1

,① ② . ≤27,解得 n≤4,

①﹣②,整理得 Tn= ∴ Tn+ ∴使得 Tn+ ≤

成立的正整数 n 的最大值是 4.

点评: 本题考查数列的通项,考查数列求和的错位相减法,考查计算能力,属于中档题.

20.已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程;

+

=1(a>b>0)经过点 Q(

,1) ,过椭圆的一个焦

(2)过抛物线 C2:y=x +h(h∈R)上一点 P 的切线与椭圆 C1 交于不同两点 M,N.点 A 为椭圆 C1 的右顶点, 记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G, H 点, 当直线 CH 与 x 轴垂直时, 求 h 的最小值.

2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过将点 Q(
2

,1) 、y=c 代入椭圆方程,计算即得结论;
2

(2)通过设 P(t,t +h) ,则直线 MN 的方程为:y=2tx﹣t +h,代入椭圆方程,利用中点坐标 公式及韦达定理计算即得结论. 解答: 解: (1)∵椭圆过点 Q( ,1) ,∴ ,

将 y=c 代入椭圆方程得:x=± 解得:a=2,b=1, ∴椭圆 C1 的方程为:
2

,∴

=1,



(2)设 P(t,t +h) ,由 y′=2x 可知切线斜率 k=2t, ∴直线 MN 的方程为:y=2tx﹣t +h, 将其代入椭圆方程得:4x +(2tx﹣t +h) ﹣4=0, 化简得:4(1+t )x ﹣4t(t ﹣h)x+(t ﹣h) ﹣4=0, ∵直线 MN 与椭圆交于不同的两点,∴△>0, 即△=16>0 (*)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 中点横坐标为 x0, 由韦达定理可知:x1+x2= ,x0= = ,

设线段 PA 中点的横坐标为 x3,则 x3=



由已知有 x0=x3,即

=



显然 t≠0,h=﹣(t+ +1) , 当 t>0 时,t+ ≥2,当且仅当 t=1 时取等号, 此时 h≤﹣3,不符合(*)式,舍去; 当 t<0 时, (﹣t)+ ≥2,当且仅当 t=﹣1 时取等号,

此时 h≥1,符合(*)式; 综上所述,h 的最小值为 1.

点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属 于中档题.

21.设函数 f(x)=lnx,g(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2f(x) . (1)当 a=1 时,求函数 g(x)的单调区间; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是函数 y=f(x)图象上任意不同两点,线段 AB 中点为 C(x0, y0) ,直线 AB 的斜率为 k.证明:k>f(x0) (3) 设F (x) =|f (x) |+ (b>0) , 对任意 x1, x2∈ ( 0, 2], x1≠x2, 都有

<﹣1,求实数 b 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;直线的斜率. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)将 a=1 代入求出 g(x)的表达式,再求出 g(x)的导数,从而求出 g(x)的单 调区间;

(2)将 x0=

代入 f′(x0)=

=

,问题转化为证:k(t)lnt+

﹣2 的单调

性, (t>1) ,从而证出结论; (3)设 G(x)=F(x)+x,则 G(x)在(0,2]单调递减,通过讨论 x 的范围,结合导数的 应用,从而求出 b 的范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时, g(x)=(x﹣1)﹣2f(x)=(x﹣1)﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx, 定义域为(0,+∞) ; g′(x)=1﹣ = ;

当 x∈(0,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 即 g(x)的单调增区间为(2,+∞) ,单调减区间为(0,2) . (2)证明:k= 所以 f′(x0)= = = ; ,又 x0= ,

即证,





不妨设 0<x1<x2,即证:lnx2﹣lnx1>



即证:ln





设 t=

>1,即证:lnt>

=2﹣



即证:lnt+

﹣2>0,其中 t∈(1,+∞) ; ﹣2, (t∈(1,+∞) ) ,

事实上,设 k(t)=lnt+

则 k′(t)= ﹣

=

>0;

所以 k(t)在(1,+∞)上单调递增, 所以 k(t)>k(1)=0; 即结论成立. (3)由题意得 +1<0,



<0;

设 G(x)=F(x)+x,则 G(x)在(0,2]单调递减, ①当 x∈时,G(x)=lnx+ +x,

G′(x)= ﹣

+1≤0;

b≥
2

+(x+1) =x +3x+ +3 在上恒成立, ;

2

2

设 G1(x)=x +3x+ +3,则 G1′(x)=2x+3﹣ 当 x∈,G1′(x)>0; ∴G1(x)在上单调递增,G1(x)≤ 故 b≥ . +x; ;

②当 x∈(0,1)时,G(x)=﹣lnx+ G1(x)=x +3x+ +3,
2

G′(x)=﹣ ﹣

+1≤0,

b≥﹣
2

+(x+1) =x +x﹣ ﹣1 在(0,1)恒成立, (x)=2x+1+ >0,

2

2

设 G2(x)=x +x﹣ ﹣1,

即 G2(x)在(0,1)单调递增,故 G2(x)<G2(1)=0,∴b≥0, 综上所述:b≥ .

点评: 本题考查了函数的单调性,函数恒成立问题,考查导数的应用,考查转化思想,本题 有一定的难度.



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