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2013高考数学130分解题技巧:选择题 填空 解答 规范



2013高考数学解题技巧:选择题+填 空+解答+规范

第1讲

选择题

第1讲

选择题的解题方法与技巧 题型特点概述

选择题是高考数学试卷的三大题型之一. 选择题的分数一 般占全卷的 40%左右,高考数学选择题的基本特点是: (1)绝大部分数学选择题属于低中档题,且一般按

由易到 难的顺序排列,主要的数学思想和数学方法能通过它得到充 分的体现和应用,并且因为它还有相对难度(如思维层次、解 题方法的优劣选择,解题速度的快慢等),所以选择题已成为 具有较好区分度的基本题型之一. (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有 一定的综合性和深度等特点,且每一题几乎都有两种或两种

以上的解法,能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、 判断和推理能力. 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一 个正确答案),由选择题的结构特点,决定了解选择题除常 规方法外还有一些特殊的方法.解选择题的基本原则是: “小题不能大做”,要充分利用题目中(包括题干和选项)提 供的各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断. 数学选择题的求解,一般有两条思路:一是从题干出发 考虑,探求结果;二是从题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件. 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析 法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等,这 些方法既是数学思维的具体体现,也是解题的有效手段.

解题方法例析
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而直接得出 正确结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,从 而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来,其基本求解策略是由因导果,直接 求解.

例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)· f(x+2)=13,若f(1)= 2,则f(99)等于 A.13 B.2 13 C. 2 ( 2 D. 13

C

)

思维启迪 先求f(x)的周期.

13 解析 ∵f(x+2)= , f(x) 13 13 ∴f(x+4)= = =f(x). f(x+2) 13 f(x) ∴函数f(x)为周期函数,且T=4. 13 13 ∴f(99)=f(4×24+3)=f(3)= = 2 . f(1)

探究提高 直接法是解选择题的最基本方法,运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点,利用有关性质和已有 的结论,迅速得到所需结论.如本题通过分析条件得到f(x) 是周期为4的函数,利用周期性是快速解答此题的关键.

1 变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)= , f(x) 若f(1)=-5,则f(f(5))的值为 A.5 1 C. 5 ( 1 D.- 5

D

)

解析

B.-5 1 1 由f(x+2)= ,得f(x+4)= =f(x), f(x) f(x+2)

所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(5)=f(1)=-5, 1 从而f(f(5))=f(-5)=f(-1)= f(-1+2) 1 1 = =- . 5 f(1)

x2 y2 例2 设双曲线 2- 2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有 a b 一个公共点,则双曲线的离心率为 5 5 A. B.5 C. 4 2 ( D ) D. 5

b 思维启迪 求双曲线的一条渐近线的斜率即 的值,尽而 a 求离心率.

解析

设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物
?y=kx ? ? 2 ?y=x +1 ?

线y=x2+1相切,联立
2

,整理得x2-kx+1=

b 0,则Δ=k -4=0,解得k=± 2,即 =2,故双曲线的离 a c 心率e= = a c2 = a2 a2+b2 = a2 b2 1+( ) = 5. a

探究提高 关于直线与圆锥曲线位臵关系的题目,通常是联 立方程解方程组.本题即是利用渐近线与抛物线相切,求 出渐近线斜率.

x2 y2 变式训练2 已知双曲线C: 2- 2=1(a>0,b>0),以C的右 a b 焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 A.a B.b C. ab ( B ) D. a2+b2 x2 y2 b 解析 - =1的其中一条渐近线方程为:y=- x, a2 b2 a 即bx+ay=0,而焦点坐标为(c,0),根据点到直线的距

|b× a2+b2| 离d= 2 2 =b.故选B. a +b

题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发,通过对数学概念的辨析,进 行少量运算或推理,直接选择出正确结论的方法.这类题 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质,这需 要考生在平时注意辨析有关概念,准确区分相应概念的内 涵与外延,同时在审题时要多加小心,准确审题以保证正 确选择.一般说来,这类题目运算量小,侧重判断,下笔 容易,但稍不留意则易误入命题者设臵的“陷阱”.

例3 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),给出下列条 件,①a=kb(k∈R);②x1x2+y1y2=0;③(a+3b)∥(2a-
2 2 b);④a· b=|a||b|;⑤x1y2+x2y2≤2x1x2y1y2. 2 1

其中能够使得a∥b的个数是 A.1 B.2 C.3

( D.4

D )

解析 显然①是正确的,这是共线向量的基本定理; ②是错误的,这是两个向量垂直的条件;③是正确 的,因为由(a+3b)∥(2a-b),可得(a+3a)=λ(2a- λ+3 1 1 b),当λ≠ 时,整理得a= b,故a∥b,当λ= 时 2 2 2λ-1 也可得到a∥b;④是正确的,若设两个向量的夹角为 θ,则由a· b=|a||b|cos θ,可知cos θ=1,从而θ=0,所 2 2 以a∥ b;⑤是正确的,由x1 y 2 +x2 y 2 ≤2x1x2y1y2,可得 2 1 (x1y2-x2y1)2≤0,从而x1y2-x2y1=0,于是a∥ b.

探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概 念,应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法,同时要将 共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的 模以及夹角等)有机地联系起来,能够从不同的角度来理解 共线向量.

变式训练3

关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:

①若a· b=a· c,则b=c. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3. ③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 60° . 则假命题为 A.①② B.①③ C.②③ ( B ) D.①②③

解析 ①a· b=a· c?a· (b-c)=0,a与b-c可以垂直,而不 一定有b=c,故①为假命题. ②∵a∥b,∴1×6=-2k.∴k=-3.故②为真命题. ③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60° ,a+b为其 对角线上的向量,a与a+b夹角为30° ,故③为假命题.

题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石,二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定 条件下可以互相转化,而数形结合法正是在这一学科特点 的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中,可以先根 据题意,做出草图,然后参照图形的做法、形状、位臵、 性质,综合图象的特征,得出结论.

例4

(2009· 海南)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最 ( B.5 C.6 D.7 )

小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大 值为 A.4 思维启迪

C

画出函数f(x)的图象,观察最高点,求出纵

坐标即可.本题运用图象来求值,直观、易懂. 解析 由题意知函数f(x)是三个函
数y1=2x,y2=x+2,y3=10-x中 的较小者,作出三个函数在同一 个坐标系之下的图象(如图中实线 部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函 数f(x)图象的最高点.

变式训练4
? ? ?

? ?x2 y2 ? (2010· 湖北)设集合A=?(x,y)? 4 +16=1 ? ? ?
x? ?

? ? ?, ? ?

B= (x,y)|y=3 ?,则A∩B的子集的个数是 A.4 B.3 C.2

( D.1

A

)

x2 y2 解析 集合A中的元素是椭圆 4 + 16 =1上的点,集合B中 的元素是函数y=3x的图象上的点.由数形结合,可知 A∩B中有2个元素,因此A∩B的子集的个数为4.

例5 函数f(x)=1-|2x-1|,则方程f(x)·x=1的实根的个数 2 是 A.0 思维启迪 B.1 C.2 D.3 (

C

)

若直接求解方程显然不可能,考虑到方程可 ?1? x ?1? x 转化为f(x)= ? ? ,而函数y=f(x)和y= ? ? 的图象又都可以 ?2? ?2? 画出,故可以利用数形结合的方法,通过两个函数图象 交点的个数确定相应方程的根的个数. ?1? x 解析 方程f(x)· =1可化为f(x)= ?2? x, 2 ? ? 在同一坐标系下分别画出函数y=f(x)和 ?1? y= ?2? x的图象,如图所示.可以发现其 ? ? ?1? x 图象有两个交点,因此方程f(x)= ?2? 有 ? ? 两个实数根.

探究提高 一般地,研究一些非常规方程的根的个数以及根 的范围问题,要多考虑利用数形结合法.方程f(x)=0的根 就是函数y=f(x)图象与x轴的交点横坐标,方程f(x)=g(x)的 根就是函数y=f(x)和y=g(x)图象的交点横坐标.利用数形 结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我 们熟知的或容易画出的,如果一开始给出的方程中涉及的 函数的图象不容易画出,可以先对方程进行适当的变形, 使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解.

变式训练5 函数y=|log1 x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],
2

则区间[a,b]的长度b-a的最小值是 ( D ) 3 3 A.2 B. C.3 D. 2 4 解析 作出函数y=|log 1 x|的图象,如图所示,由y=0解
2

1 得x=1;由y=2,解得x=4或x= 4 .所以区间[a,b]的长 1 3 度b-a的最小值为1-4=4.

题型四

特例检验法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图 形、特殊位臵)代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各 个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位臵等. 特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对 某一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判 断形式出现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下 不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或 “小题巧做”的解题策略.

例6 已知A、B、C、D是抛物线y2=8x上的点,F是抛物线

→ → → → → → → 的焦点,且FA+FB+FC+FD=0,则|FA|+|FB|+|FC|+ → |FD|的值为
A.2 B.4 C.8 D.16 ( D )

解析 取特殊位置,AB,CD为抛物线的通径,

→ → → → 显然FA +FB +FC+FD=0, → → → → 则|FA |+|FB |+|FC|+|FD|=4p=16,故选D.
探究提高 本题直接求解较难,利用特殊位臵法,则简便 易行.利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件.

变式训练6 已知P、Q是椭圆3x2+5y2=1上满足∠POQ= 1 1 90° 的两个动点,则 2+ 2等于 ( B ) OP OQ 8 34 A.34 B.8 C. D. 15 225

3 5 解析 取两特殊点P( 3 ,0)、Q(0, 5 )即两个端点,则 1 1 + =3+5=8.故选B. OP2 OQ2

例7 数列{an}成等比数列的充要条件是 A.an+1=anq(q为常数)
2 B.an+1=an·n+2≠0 a

( B

)

C.an=a1qn 1(q为常数) D.an+1= an·n+2 a



解析 考查特殊数列0,0,?,0,?, 不是等比数列,但此数列显然适合A,C,D项. 故选B.

探究提高

判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定 an+1 义法,也就是看 是否为常数,但应注意检验一个数列 an 为等比数列的必要条件是否成立.

a2n 变式训练7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 = an 4n-1 S2n ,则 的值为 ( ) Sn 2n-1 A.2 B.3 C.4 解析 方法一 (特殊值检验法) a1+a2 4 a2 3 取n=1,得 =1,∴ =1=4, a1 a1 S2n S2 a1+a2 于是,当n=1时, = = =4. Sn S1 a1 D.8

方法二 (特殊式检验法) 2n-1 a2n 4n-1 2· 注意到 = = ,取an=2n-1, an 2n-1 2· n-1 1+(4n-1) · 2n S2n 2 = =4. Sn 1+(2n-1) · n 2

方法三 (直接求解法) a2n-an a2n 4n-1 2n 由 = ,得 = , an 2n-1 an 2n-1 d(2n-1) nd 2n 即 = ,∴an= , an 2n-1 2 a1+a2n · 2n a1+a2n S2n 2 于是, = =2· Sn a1+an a1+an · n 2 d d + (4n-1) 2 2 =2· =4. d d + (2n-1) 2 2

答案

C

题型五

筛选法

数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目 要求的选项,找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排 除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通 过特例,对于错误的选项,逐一剔除,从而获得正确的 结论.

例8 方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是( C ) A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1或a<0

1 解析 当a=0时,x=- ,故排除A、D. 2 当a=1时,x=-1,排除B. 故选C.

探究提高

选择具有代表性的值对选项进行排除是解决

本题的关键.对“至少有一个负根”的充要条件取值进 行验证要比直接运算方便、易行.不但缩短时间,同时 提高解题效率.

变式训练8 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴 的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是 ( A.(0,1) C.(-∞,1) B.(0,1] D.(-∞,1]

D

)

1 解析 令m=0,由f(x)=0得x=3适合,排除A、B. 令m=1,由f(x)=0得:x=1适合,排除C.

题型六

估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过 程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值 特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断, 这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了 思维的层次.

?x≤0 ? 例9 若A为不等式组?y≥0 ?y-x≤2 ? 的面积为 3 A. 4

表示的平面区域,则当a从

-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域 ( B.1 7 C. 4 ) D.2

解析

如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角 1 形.阴影部分面积比1大,比S△OAB= ×2×2=2小,故选 2 C项.

答案 C
探究提高 “估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范 围,否则“估算”就没有意义.本题的关键在所求值应该比 △AOB的面积小且大于其面积的一半.

变式训练9 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是 ( D ) 16 A. π 9 C.4π 8 B. π 3 64 D. π 9

2 3 解析 ∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r= 3 , 16 2 2 则S球=4πR ≥4πr = 3 π>5π,故选D.

规律方法总结 1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证 法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法,在解 选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述 一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧 做”上做文章,切忌盲目地采用直接法. 2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性 强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯 定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃. 3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用 其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效 地提高解选择题的能力.

知能提升演练
1.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩(?NB)等 于 A.{1,5,7} C.{1,3,9} B.{3,5,7} D.{1,2,3} (

A

)

解析

由于3∈?NB,所以3∈A∩(?NB)

∴排除B、C、D,故选A.

2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么 A.k=1且c与d同向 C.k=-1且c与d同向 ( D B.k=1且c与d反向 D.k=-1且c与d反向 )

解析 当k=1时,c=a+b,不存在实数λ,使得a =λb.所以c与d不共线,与c∥d矛盾.排除A、B; 当k=-1时,c=-a+b=-(a-b)=-d,所以 c∥d,且c与d反向.故应选D.

3.已知函数y=tan A.0<ω≤1 C.ω≥1

? π π? ωx在?- , ?内是减函数,则( ? 2 2?

B

)

B.-1≤ω<0 D.ω≤-1

解析 可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内 各长度为一个周期的连续区间内为增函数,∴排除A、 C,又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π, ? π π? ∴y=tan ωx在?-2,2?内不连续,在这个区间内不是减 ? ? 函数,这样排除D,故选B.

4.已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于 任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A.(0,2) C.(2,8) B.(0,8) D.(-∞,0) (

B

)

解析

当 m=1 时, f(x)=2x2-6x+1, g(x)=x, f(x)与 g(x) 由

的图象知,m=1 满足题设条件,故排除 C、D. 当 m=2 时,f(x)=4x2-4x+1, g(x)=2x,由其图象知, m=2 满足题设条件,故排除 A. 因此,选项 B 正确.

5.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA= ( 2cos α, 2sin α),则向量OA与向量OB的夹角的 取值范围是 ( )











π A.[0,4] π 5π C.[ , ] 4 12

5π π B.[12,2] π 5π D.[ , ] 12 12

解析

→ ∵|CA|= 2 ,∴A的轨迹是⊙C,半径为 2 .

π π → → 由图可知∠COB= ,设向量OA与向量OB的夹角为θ,则 - 4 4 π π π ≤θ≤ + ,故选D. 6 4 6

答案

D

6.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数
?f(x),f(x)≤K, ? K,定义函数fK(x)=? ?K,f(x)>K. ?

取函数f(x)=2 (

-|x|

, )

1 当K= 时,函数fK(x)的单调递增区间为 2 A.(-∞,0) C.(-∞,-1)
-|x|

C

B.(0,+∞) D.(1,+∞)

1 |x| 1 解析 函数f(x)=2 =( ) ,作图f(x)≤K= ?x∈(-∞, 2 2 -1]∪[1,+∞),故在(-∞,-1)上是单调递增的,选C项.

7.设x,y∈R,用2y是1+x和1-x的等比中 项,则动点 (x,y)的轨迹为除去x轴上点的 A.一条直线 C.双曲线的一支 B.一个圆 D.一个椭圆 (

D

)

解析 (2y)2=(1-x)(1+x)(y≠0)得x2+4y2=1(y≠0).

8.设A、B是非空数集,定义A*B={x|x∈A∪B且 x∈A∩B},已知集合A={x|y=2x-x2},B={y|y=2x, x>0},则A*B等于 A.[0,1]∪(2,+∞) C.(-∞,1] D.[0,2] ( C ) B.[0,1)∪(2,+∞)

解析 A=R,B=(1,+∞), 故A*B=(-∞,1],故选C.

x2 2 9.(2010· 福建)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线 2-y a =1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一

→→ 点,则OP· 的取值范围为 FP ( B A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4 解析 由c=2得a2+1=4,∴a2=3, x2 2 ∴双曲线方程为 3 -y =1.设P(x,y)(x≥ 3),

)

→→ ∴OP· 的取值范围为[3+2 3,+∞). FP

→→ OP· =(x,y)· FP (x+2,y) x2 4 2 2 2 2 =x +2x+y =x +2x+ 3 -1=3x +2x-1(x≥ 3). 4 2 令g(x)= x +2x-1(x≥ 3 ),则g(x)在[ 3 ,+∞)上单调 3 递增.g(x)min=g( 3)=3+2 3.

10.已知等差数列{an}满足a1+a2+?+a101=0,则有 ( A.a1+a101>0 C.a3+a99=0 B.a2+a102<0 D.a51=51

C

)

解析 取满足题意的特殊数列an=0,则a3+a99=0,故 选C.

11.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7- 1 a8的值为 ( C ) 2 A.4 B.6 C.8 D.10

解析 令等差数列{an}为常数列an=16. 1 显然a7- a8=16-8=8. 2 故选C.

1 1 12.若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|; a b b a ③a<b;④ + >2中,正确的不等式是 ( C ) a b A.①② B.②③ C.①④ D.③④

解析 取a=-1,b=-2,则②、③不正确,所以A、 B、D错误,故选C.

13.(2010· 全国)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆 时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度 为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图 象大致为 ( )

解析

观察并联想P运动轨迹与d的关系,

当t=0时,d= 2,排除A、D;当开始运动时d递减,排除B.

答案

C

? x2 ? ? -a?+4a的最小值等于3,则实数a的 14.若函数f(x)=? 2 ? ?x +1 ?

值等于 3 A. 4

( B.1 3 C. 或1 4

)

D.不存在这样的a

解析 方法一 直接对照法 x2 令 2 =t,则t∈[0,1). x +1 若a≥1,则f(x)=|t-a|+4a=5a-t不存在最小值; 若0≤a<1,则f(x)=|t-a|+4a,当t=a时取得最小值4a, 3 于是4a=3,得a=4符合题意; 若a<0,f(x)=|t-a|+4a=t+3a,当t=0时取得最小值 3a,于是3a=3,得a=1不符合题意. 3 综上可知,a=4.

方法二

试验法
? x2 ? ? -1? 2 ?x +1 ? ? ?

若a=1,则f(x)=

+4>4,显然函数的最小值不是

? x2 3? 3 ? - ? +3,这时 3,故排除选项B、C;若a= ,f(x)= ? 2 ? 4 ?x +1 4 ?

x2 3 只要令 2 - =0,即x=± 3,函数可取得最小值3,因此 x +1 4 A项正确,D项错误.

答案

A

m-3 4-2m π θ 15.已知sin θ= ,cos θ= ( <θ<π),则tan 等于 2 m+5 m+5 2 ( D ) m-3 A. 9-m m-3 B. | | 9-m C. 1 3 D.5

解析 由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,故m为一确 定的值,于是sin θ,cos θ的值应与m的值无关,进而 θ π π θ π θ tan 2 的值与m无关,又 2 <θ<π, 4 < 2< 2 ,∴tan 2 >1,故 选D项.

16.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)图象可能是 ( )

解析

从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以

排除B项,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快 慢,可明显看出y=f(x)的导函数是减函数,所以原函数应该 增加的越来越慢,排除A、C两项,最后只有D项,可以验证 y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.

答案

D

第2讲

填空题

第2讲

填空题的解题方法与技巧 题型特点概述

填空题是高考试卷中的三大题型之一,和选择题一样, 属于客观性试题.它只要求写出结果而不需要写出解答过 程.在整个高考试卷中,填空题的难度一般为中等.不同省 份的试卷所占分值的比重有所不同. 1. 填空题的类型 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问题的能力,具有小巧灵活、结构简单、概念 性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出 结论等特点.从填写内容看,主要有两类:一类是定量 填写,一类是定性填写.

2.填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接 写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的区别:第一, 表现为填空题没有备选项,因此,解答时有不受诱误干扰之 好处,但也有缺乏提示之不足;第二,填空题的结构往往是 在一个正确的命题或断言中,抽出其中的一些内容 (既可以 是条件,也可以是结论),留下空位,让考生独立填上,考 查方法比较灵活. 从历年高考成绩看,填空题得分率一直不很高,因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有 毛病,便是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确”上 下功夫,由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因 此要想“快速”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而 要达到“准确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法,在 “巧”字上下功夫.

3.解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”,基本策略是 “巧做”.解填空题的常用方法有:直接法、数形结合法、 特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.

解题方法例析
题型一 直接法 直接法就是从题设条件出发,运用定义、定理、公式、性 质、法则等知识,通过变形、推理、计算等,得出正确结 论,使用此法时,要善于透过现象看本质,自觉地、有意 识地采用灵活、简捷的解法. 例1 在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列 {an}的前n项和Sn的最小值为________. 思维启迪

计算出基本量d,找到转折项即可.

解析

设公差为d,则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,

5 ∴d= . 9 ∴数列{an}为递增数列. 5 32 令an≤0,∴-3+(n-1)·≤0,∴n≤ , 9 5 ∵n∈N*. 29 ∴前6项均为负值,∴Sn的最小值为S6=- . 3 29 答案 - 3 探究提高 本题运用直接法,直接利用等差数列的通项公

式判断出数列的项的符号,进而确定前几项的和最小, 最后利用等差数列的求和公式求得最小值.

变式训练1 设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6 =11,则S7=________. 49

7(a1+a7) 解析 方法一 S7= 2 7(a2+a6) 7×(3+11) = = =49. 2 2 故填49. 方法二
?a =a +d=3, ? 2 1 由? ?a6=a1+5d=11 ? ?a =1, ? 1 可得? ?d=2, ?

∴a7=1+6×2=13. 7(a1+a7) 7×(1+13) ∴S7= = =49. 2 2 故填49.

题型二

特殊值法

特殊值法在考试中应用起来比较方便,它的实施过程是从 特殊到一般,优点是简便易行.当暗示答案是一个“定 值”时,就可以取一个特殊数值、特殊位臵、特殊图形、 特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化,把一 般形式变为特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给 出时,特例法尤其有效.

例2 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c, (sin A-sin C)(a+c) 且满足 =sin A-sin B,则C=_______. b

思维启迪

题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关

系式,由此关系式来确定角C的大小,因此可考虑一些 特殊的三角形是否满足关系式,如:等边三角形、直角 三角形等,若满足,则可求出此时角C的大小.
解析 容易发现当△ABC是一个等边三角形时,满足 (sin A-sin C)(a+c) =sin A-sin B,而此时C=60° ,故角C b 的大小为60° .

答案

60°

探究提高 特殊值法的理论依据是:若对所有值都成立, 那么对特殊值也成立,我们就可以利用填空题不需要过 程只需要结果这一“弱点”,“以偏概全”来求值.在 解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题 时,可根据题意,选择其中的特殊图形(如正三角形、正 方形)等解决问题.此题还可用直接法求解如下: (sin A-sin C)(a+c) 由 =sin A-sin B可得 b (a-c)(a+c) =a-b,整理得,a2-c2=ab-b2,即a2+b2 b a2+b2-c2 1 -c2=ab.由余弦定理,得cos C= = ,所以C 2ab 2 =60° .

变式训练2 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、 cos A+cos C b、c,如果a、b、c成等差数列,则 = 1+cos Acos C

4 ________. 5 解析 方法一 取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A cos A+cos C 4 4 =5,cos C=0, =5. 1+cos Acos C

π 1 方法二 取特殊角A=B=C= ,cos A=cos C= , 3 2 cos A+cos C 4 =5. 1+cos Acos C

例3 如图所示,在△ABC中,AO是BC边上 的中线,K为AO上一点,且OA=2AK, 过点K的直线分别交直线AB、AC于不同





→ → → → 的两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n
=________. 思维启迪

题目中过点K的直线是任意的,因此m和n的值

是变化的,但从题意看m+n的值是一个定值,故可取一条 特殊的直线进行求解.

解析

当过点 K 的直线与 BC 平行时, MN 就是△ABC 的一

→ → → 条中位线(∵OA=2AK,∴K 是 AO 的中点).这时由于有AB → → → =mAM,AC=nAN,因此 m=n=2,故 m+n=4.
答案 4
本题在解答中,充分考虑了“直线虽然任意, 探究提高

但m+n的值却是定值”这一信息,通过取直线的一个特 殊位臵得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题 时,就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题.

→ → → 变式训练3 设O是△ABC内部一点,且OA+OC=-2OB,
则△AOB与△AOC的面积之比为______. 1

解析

采用特殊位置,可令△ABC为正三角形,

→ → → 则根据OA+OC=-2OB可知,
O是△ABC的中心,则OA=OB=OC, 所以△AOB≌△AOC, 即△AOB与△AOC的面积之比为1.

题型三

图象分析法(数形结合法)

依据特殊数量关系所对应的图形位臵、特征,利用图形直 观性求解的填空题,称为图象分析型填空题,这类问题的 几何意义一般较为明显.由于填空题不要求写出解答过 程,因而有些问题可以借助于图形,然后参照图形的形 状、位臵、性质,综合图象的特征,进行直观地分析,加 上简单的运算,一般就可以得出正确的答案.事实上许多 问题都可以转化为数与形的结合,利用数形结合法解题既 浅显易懂,又能节省时间.利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力,此类问题为近年来高考考查的热点内容.

例4 已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个 1 1 首项为 的等差数列,则|m-n|的值等于________. 2 4 思维启迪

考虑到原方程的四个根,其实是抛物线y=x2

-2x+m与y=x2-2x+n和x轴四个交点的横坐标,所以可 以利用图象进行求解. 解析 如图所示,易知抛物线y=x2-2x
+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴x= 1,它们与x轴的四个交点依次为A、B、 C、D. 1 7 因为xA= 4,则xD=4. 3 5 又|AB|=|BC|=|CD|,所以xB= 4,xC=4. 1 7 3 5 1 故|m-n|=|4×4-4×4|= 2.

探究提高 本题是数列问题,但由于和方程的根有关系, 故可借助数形结合的方法进行求解,因此在解题时,我们 要认真分析题目特点,充分挖掘其中的有用信息,寻求最 简捷的解法.

变式训练4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间 [-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+ x4=________. -8

解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x), 所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且 f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以 8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函 数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那 么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1, x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x2=-12, x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

例5 函数y=f(x)的图象如图所示,其定义 f(x) 域为[-4,4],那么不等式 ≤0的解集 sin x

π [-4,-π)∪(-π,0)∪[ ,π) 为__________________________________. 2 ?f(x)≤0, ?f(x)≥0, ? ? f(x) ? 解析 ≤0? 或? sin x ?sin x>0, ?sin x<0, ? ?
在给出的坐标系中,再作出y=sin x在 [-4,4]上的图象,如图所示,观察图象即 可得到所求的解集为[-4,-π)∪(-π, π 0)∪[2,π). 探究提高 与函数有关的填空题,依据题目条件,灵活地

应用函数图象解答问题,往往可使抽象复杂的代数问题变 得形象直观,使问题快速获解.

变式训练5 不等式(|x|-

π )· x<0,x∈[-π,2π]的解集 sin 2

π π (? π, ) ? (0, ) ? (π,2 π) 为 2 2
解析

.?

π 在同一坐标系中分别作出y=|x|- 与y=sin x的图象: 2

π π (? 根据图象可得不等式的解集为: π, ) ? (0, ) ? (π,2 π) 2 2

题型四

等价转化法

将所给的命题进行等价转化,使之成为一种容易理解的语 言或容易求解的模式.通过转化,使问题化繁为简、化陌 生为熟悉,将问题等价转化成便于解决的问题,从而得出 正确的结果. 例6
?x2-4x+6, ? 设函数f(x)=? ?3x+4, ?

x≥0 ,若互不相等的实 x<0

数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值 范围是________. 思维启迪 将问题转化为y=m与y=f(x)有三个不同的交

点,再研究三个交点的横坐标之和的取值范围.

解析

本题可转化为直线y=m与函数f(x)

的图象有三个交点,y=x2-4x+6在[0,+∞) 的最小值为f(2)=2,故2<m<4,易知x1,x2, x3中必有一负二正,不妨设x1,x2>0,由于 y=x2-4x+6的对称轴为x=2,则x1+x2=4, 2 2 2 令3x+4=2,得x=- ,则- <x3<0,故- +4<x1+x2 3 3 3 10 +x3<0+4,即x1+x2+x3的取值范围是( ,4). 3 10 答案 ( ,4) 3

探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转 化的目标.本题转化的关键就是将研究x1+x2+x3的取值范 围问题转化成了直线y=m与曲线y=f(x)有三个交点的问 题,将数的问题转化成了形的问题,从而利用图形的性质 解决.

ax-1 变式训练6 已知关于x的不等式 <0的解集是(-∞,-1) x+1 1 -2 ∪(- ,+∞),则a的值为________. 2 ax-1 解析 将 <0转化为(x+1)(ax-1)<0,其解集是(-∞, x+1

1 1 -1)∪(- 2 ,+∞),当且仅当x=- 2 是方程ax-1=0的 解,得a=-2.

题型五

构造法

构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性 构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复 杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基 本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括, 积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵 感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型, 使问题快速解决.

π 2sin(x+ )+2x2+x 4 例7 函数f(x)= 的最大值为M,最小值 2 2x +cos x 为m,则M+m=________. 2 思维启迪

直接求f(x)的最大值、最小值显然不可取.

x+sin x x+sin x 化简f(x)=1+ 2 ,构造新函数g(x)= 2 利 2x +cos x 2x +cos x 用g(x)的奇偶性求解.
解析 根据分子和分母同次的特点,分子展开,得到部分 分式, x+sin x f(x)=1+ 2 ,f(x)-1为奇函数, 2x +cos x 则m-1=-(M-1),∴M+m=2.

探究提高

整体思考,联想奇函数,利用其对称性简化求

解,这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类 函数的结构特征,借助分式类函数最值的处理方法,部分 分式法,变形发现辅助函数为奇函数,整体处理最大值和 最小值的问题以使问题简单化,这种构造特殊函数模型的 方法来源于对函数性质应用的深刻理解.

sin x 变式训练7 已知函数f(x)=sin xcos x+ +3,若f(lg a)= cos x 1 2 4,则f(lg )的值等于________. a sin x 1 解析 f(x)=sin xcos x+ +3=2sin 2x+tan x+3,若 cos x 1 令g(x)=2sin 2x+tan x,则g(x)是一个奇函数.由f(lg a) 1 =4,得g(lg a)+3=4,∴g(lg a)=1.于是g(lg )=g(-lg a) a 1 1 =-g(lg a)=-1,故f(lg )=g(lg )+3=-1+3=2. a a

例8 已知a、b是正实数,且满足ab=a+b+3,则a+b的取

[6,+∞) 值范围是__________.
思维启迪

考虑到已知条件中出现了两个正数a和b的乘积

ab以及和a+b,可与一元二次方程的根联系起来构造方程 进行求解. 解析 ∵a、b是正实数且ab=a+b+3,
故a、b可视为一元二次方程x2-mx+m+3=0的两个根, 其中a+b=m,ab=m+3. ?Δ=m2-4m-12≥0, ? 要使方程有两个正根,应有?m>0, ?m+3>0, ? 解得m≥6,即a+b≥6,故a+b的取值范围是[6,+∞).

变式训练8 若抛物线y=-x2+ax-2总在直线y=3x-1的下

(1,5) 方,则实数a的取值范围是________.
解析 构造不等式,依题意知,不等式-x2+ax-2<3x -1在R上恒成立,即x2+(3-a)x+1>0在R上恒成立. 故Δ=(3-a)2-4<0,即a2-6a+5<0, 解得1<a<5.

规律方法总结 1.解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一 般性命题的填空题可采用特例法,和图形、曲线等有关的 命题可考虑数形结合法.解题时,常常需要几种方法综合 使用,才能迅速得到正确的结果. 2.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的 唯一标准,因此解填空题时要注意如下几个方面: (1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有 据、准确; (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; (3)要重视对所求结果的检验.

知能提升演练
x-1 1.设全集U=R,A={x| >0},?UA= [-1,-n],则 x+m m2+n2=________. 2

解析 由?UA=[-1,-n],知A=(-∞,-1)∪(-n,+∞), x-1 即不等式 >0的解集为(-∞,-1)∪(-n,+∞),所以 x+m -n=1,-m=-1,因此m=1,n=-1,故m2+n2=2.

2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5·6=9,则 log3a1 a +log3a2+?+log3a10=________. 10

解析 特殊化法:尽管满足 a5·6=9 的数列有无穷多,但 a 所求结果应唯一的,故只需选取一个满足条件的特殊数列 a5=a6=3,则公比 q=1 就可以了.原式=log3(3· 3· 3) 3· ?· =log3310=10.

3.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列 的通项an=________. 2n+1-3

解析 由an+1=2an+3,则有an+1+3=2(an+3), an+1+3 即 =2. an+3 所以数列{an+3}是以a1+3为首项、公比为2的等比数列, 即an+3=4·n 1=2n 1,所以an=2n 1-3. 2
- + +

4.设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则

→ → → 解析 设正三角形△ABC 中,BA=a,AC=b,BC=c, → → 所以BA与AC的夹角为 120° ,所以 cos〈a,b〉=cos 120°
1 =-2.

1 -2 cos〈a,b〉=________.

Sn 5.设等差数列{an},{bn}的前n项的和分别为Sn与Tn,若 Tn 2n-1 2n an = ,则 =________. 3n-1 bn 3n+1 n(n-1)d 解析 因为等差数列的前n项和公式为Sn=a1n+ 2 d 2 1 = 2 n +(a1- 2 d)n,故可设Sn=2n· n,Tn=(3n+1)· n,则可

得an=4n-2,bn=6n-2, an 4n-2 2n-1 ∴ = = . bn 6n-2 3n-1

6.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

→ → → → OH=m(OA+OB+OC),则实数 m=____. 1
解析 (特殊值法)当∠B=90° 时,△ABC为直角三角形, O为AC中点.AB、BC边上高的交点H与B重合.

→ → → → → OA+OB+OC=OB=OH,∴m=1.

7.(2010· 湖南)若数列{an}满足:对任意的n∈N*,只有有限个 正整数m使得am<n成立,记这样的m的个数为{an}*,则得到 一个新数列{(an)*}.例如,若数列{an}是1,2,3,?,n,?, 则数列{(an)*}是0,1,2,?,n-1,?.已知对任意的n∈N*, an=n2,则(a5)*=________,((an)*)*=________. 2 n2

解析

由(an)*的定义知,要求(a5)*只需寻找满足 am<5 的

m 的个数即可. 由于 12=1<5,22=4<5,32=9>5,故(a5)*=2. ∵{an}={1,22,32,?,n2,?},
?{(a n )*} ? { 0 , 1,1,1, 2? 2,?2, 3,?,3, ? n, ??}. ,2, ? ? ? ? ?2, ? ? ??, n
1个 3个 5个 7个 ( 2 n ? 1) 个

∴((a1)*)*=1, 2)*)*=4=22, 3)*)*=9=32, ((an)*)* ((a ((a ?, =n2.

1 8.直线 y=kx+3k-2 与直线 y=- x+1 的交点在第一象限, 4

2 <k<1 则 k 的取值范围是________. 7
解析 因为 y=kx+3k-2,即 y=k(x+3)-2,故直线过定 1 点 P(-3,-2),而定直线 y=- x+1 在两坐标轴上的交 4 点分别为 A(4,0),B(0,1). 2 如图所示,求得 <k<1. 7

9.已知四面体 ABCD 的一条棱长为 x,其余棱长都为 1,则 x

(0, 3) 的取值范围是________.
解析 如图所示,设 AB 边长为 x,固定 △BCD,让△ACD 绕 CD 转动.当点 A, x→B 时,x→0;当点 A→A1(正△A1CD 与△BCD)共面时,x→ 3.故 x∈(0, 3).

10.(2010· 陕西)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62, 13+23+33+43=102,?,根据上述规律,第五个等式为 ________________________________. 13+23+33+43+53+63=212

解析 由前三个式子可以得出如下规律:每个式子等号 的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和,且个数依次 多 1,等号的右边是一个正整数的平方,后一个正整数 依次比前一个大 3,4,?,因此,第五个等式为 13+23 +33+43+53+63=212.

11.设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D存在唯 f(x1)+f(x2) 一的x2∈D,使 =C(C为常数)成立,则称函数 2 f(x)在D上的均值为C.下列五个函数:①y=4sin x;②y= x3;③y=lg x;④y=2x;⑤y=2x-1,则满足在其定义域

②③⑤ 上均值为2的所有函数的序号是_______.
解析 因为要求函数的均值为 2,所以满足条件的函数的 函数值必须能关于 2 对称,而 y=2x 的值域为(0,+∞), 故④不符合题意;又 y=4sin x 是周期为 2π 的函数,即若 f(x1)+f(x2) 存在任意的 x1∈D,x2∈D,使 =C(C 为常数)成 2 f(x1)+f(x3) 立,则一定存在 x3=2π+x2∈D,使 =C(C 为常 2 数)成立,不满足唯一性,故①不对.

12.圆 x2+y2=1 的任意一条切线 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O 为坐标原点,则 x1x2+y1y2

-2 =________.
解析 如图,△AOB 中, OA=OB=2, OC⊥AB,OC=1, 因此∠AOB=120° . 所以 x1x2+y1y2=OA· OB

→→

→ |OB → =|OA|· |cos 120° =-2.

13.已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前n项和Sn满足
2 2Sn=2pan+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为

n+1 an= 2 ________. 解析 ∵a1=1,∴2a1=2pa2+a1-p, 1
即2=2p+1-p,得p=1.
2 于是2Sn=2an+an-1.

当n≥2时,有2Sn-1=2a 2-1 +an-1-1,两式相减,得2an n
2 =2a 2 -2a n-1 +an-an-1,整理,得2(an+an-1)· n-an-1 (a n 1 -2)=0. 1 又∵an>0,∴an-an-1= 2 ,于是{an}是等差数列,故an 1 n+1 =1+(n-1)·= 2 . 2

x 14.已知 f(x)=x+log2 ,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(8) 9-x 的值为________. 36

x 解析 由于f(x)=x+log2 , 9-x 9-x x 所以f(9-x)=9-x+log2 =9-x-log2 , x 9-x 于是有f(x)+f(9-x)=9. 从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6) =f(4)+f(5)=9. 故原式值为9×4=36.

15.在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=5∶6∶8,那么此

1 - 三角形最大角的余弦值是_________. 20
解析 由正弦定理得 a∶b∶c=5∶6∶8, 令 a=5,b=6,c=8,则 C 是最大角, a2+b2-c2 25+36-64 1 即 cos C= = =-20. 60 2ab

16.已知最小正周期为2的函数y=f(x),当x∈[-1,1]时, f(x)=x2,则方程f(x)=|log5x|的解的个数为________. 5

解析 设g(x)=|log5x|,作出函数f(x)与g(x)的图象,由图 象知两个函数共有5个交点,即方程f(x)=|log5x|的解的个 数为5个.

第3讲

解答题答题模板

第3讲

解答题答题模板

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通 常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选 拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转 化为知识、 方法和能力的综合型解答题. 在高考考场上, 能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备 考中学会怎样解题,是一项重要内容.本节以著名数学 家波利亚的《怎样解题》为理论依据,结合具体的题目 类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题 程序和答题格式,即所谓的“答题模板”.

模板 1 三角函数的单调性及求值问题 π 1 2 例 1 已知函数 f(x)=cos (x+ ),g(x)=1+ sin 2x. 12 2 (1)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴, g(x0) 求 的值; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 思维启迪 (1)由 x=x0 是 y=f(x)的一条对称轴知 f(x0)是 π f(x)的最值,从而得 2x0+ =kπ(k∈Z), 6 kπ π 即 x0= - (k∈Z). 2 12 (2)化简 h(x)=f(x)+g(x)为 h(x)=Asin(ωx+φ)或 h(x)= Acos(ωx+φ)的形式. (3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间.

规范解答示例 1 π 解 (1)由题设知 f(x)= [1+cos(2x+ )]. 2 6 因为 x=x0 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴, π π 所以 2x0+ =kπ(k∈Z),即 2x0=kπ- (k∈Z). 6 6 1 1 π 所以 g(x0)=1+ sin 2x0=1+ sin(kπ- ). 2 2 6 1 π 1 3 当 k 为偶数时,g(x0)=1+ sin(- )=1- = ; 2 6 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时,g(x0)=1+ sin =1+ = . 2 6 4 4

1 π 1 (2)h(x)=f(x)+g(x)= [1+cos(2x+ )]+1+ sin 2x 2 6 2 1 π 3 1 3 1 3 = [cos(2x+ )+sin 2x]+ = ( cos 2x+ sin 2x)+ 2 6 2 2 2 2 2 1 π 3 = sin(2x+ )+ . 2 3 2 π π π 5π 当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),即 kπ- ≤x≤kπ+ 2 3 2 12 π (k∈Z)时, 12 1 π 3 函数 h(x)= sin(2x+ )+ 是增函数. 2 3 2 5π π 故函数 h(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 12 12

构建答题模板 第一步:三角函数式的化简,一般化成 y=Asin(ωx+φ) +h 的形式或 y=Acos(ωx+φ)+h 的形式. 1 π 1 1 π 3 如:f(x)= cos(2x+ )+ ,h(x)= sin(2x+ )+ . 2 6 2 2 3 2 第二步:由三角函数值求角;由角求三角函数值. 第三步:由 sin x、cos x 的单调性,将“ωx+φ”看作一 个整体,转化为解不等式问题. 第四步:明确规范表述结论. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范. 如本题中,由 x0 求 g(x0)时,由于 x0 中含有变量 k,应对 k 的奇偶进行讨论.

模板 2 解析几何中的探索性问题 例 2 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的 动直线与椭圆相交于 A,B 两点. 1 (1)若线段 AB 中点的横坐标是-2, 求直线 AB 的方程; (2)在 x 轴上是否存在点 M , MA? MB.为常数?若存在, 使 求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 思维启迪 (1)设过 C(-1,0)的直线方程 y=k(x+1),

利用待定系数法求 k. (2)从假设存在点 M (m ,0)出发去求 MA? MB若能找 到一个 m 值使 MA? MB. 为常数,即假设正确,否则不 正确.

规范解答示例 解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? ? 6k 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 . 3k ? 1 ? ① ②

x1+x2 1 3k2 1 由线段 AB 中点的横坐标是- ,得 =- 2 =- , 2 2 2 3k +1 3 解得 k=± ,适合①. 3 所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0 或 x+ 3y+1=0.

(2)假设在 x 轴上存在点 M (m ,0) ,使 MA? MB 为常数.? (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 3k2-5 6k2 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . ③ 3k +1 3k +1 所以 MA? MB = (x1 -m)(x2 -m)+y1y2 =(x1 -m)(x2 -m)+ k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. (6m-1)k2-5 将③代入,整理得 MA? MB = +m2 2 3k +1 ? 1? 2 14 ? ? ?2m-3?(3k +1)-2m- 3 ? ? = +m2 2 3k +1 1 6m+14 2 =m +2m- - . 3 3(3k2+1)

注意到 MA? MB是与 k 无关的常数,从而有?
7 m 6m +14=0, ? ? ,此时 MA ? MB ? 4 . 3 9

(ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A、B 的坐标 分别为(?1, 当m=
? 7 3

2 2 )、 ?1,? ), ( 3 3

时,也有 MA ? MB ? 4 .
9
3

综上,在 x 轴上存在定点 M (? 7 ,0), 使 MA? MB 为常数.

构建答题模板 第一步:假设结论存在. 第二步:以存在为条件,进行推理求解. 第三步:明确规范表述结论.若能推出合理结果,经验 证成立即可肯定正确;若推出矛盾,即否定假设. 第四步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范. 如本题中第(1)问容易忽略 Δ>0 这一隐含条件. 第(2)问易忽略直线 AB 与 x 轴垂直的情况.

模板 3

由数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系求通 项 an

例 3 已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和, 对于任意的 n∈N*,满足关系式 2Sn=3an-3. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= ,前 n log3an· 3an+1 log 项和为 Tn,求证:对于任意的正整数 n,总有 Tn<1. 思维启迪 (1)求出数列{an}的递推关系,由递推关系求
通项. (2)化简 bn,裂项求和.

规范解答示例 (1)解 ①当 n=1 时,由 2Sn=3an-3 得,2a1=3a1-3, ∴a1=3. ②当 n≥2 时,由 2Sn=3an-3 得, 2Sn-1=3an-1-3. 两式相减得:2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,即 2an=3an-3an-1, ∴an=3an-1,又∵a1=3≠0,∴{an}是等比数列,∴an=3n. 验证:当 n=1 时,a1=3 也适合 an=3n. ∴{an}的通项公式为 an=3n. 1 1 (2)证明 ∵bn= = log3an· 3an+1 log33n· 33n+1 log log 1 1 1 = = - , (n+1)n n n+1 ∴Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+?+( - ) 2 2 3 n n+1 1 =1- <1. n+1

构建答题模板 第一步:令 n=1,由 Sn=f(an)求出 a1. 第二步:令 n≥2,构造 an=Sn-Sn-1,用 an 代换 Sn- Sn-1(或用 Sn-Sn-1 代换 an, 这要结合题目特点), 由递推 关系求通项. 第三步:验证当 n=1 时的结论适合当 n≥2 时的结论. 第四步:写出明确规范的答案. 第五步: 反思回顾. 查看关键点、 易错点及解题规范. 本 题的易错点,易忽略对 n=1 和 n≥2 分两类进行讨论, 同时忽视结论中对二者的合并.

函数的单调性、最值、极值问题 3 2 3 例 4 (2010· 天津)已知函数 f(x)=ax - x +1(x∈R), 其 2 中 a>0. (1)若 a=1, 求曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; 1 1 (2)若在区间[- , ]上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值 2 2 范围. 思维启迪
(1)知解析式和切点求切线方程, 先求斜率,

模板 4

用点斜式方程求切线方程. (2)根据导数求函数的参数.求导→求导函数的零点→ 确定导函数在区间中的正、负→确定函数中的参数范 围.

规范解答示例 3 2 解 (1)当 a=1 时,f(x)=x -2x +1,f(2)=3.f′(x)=3x2 -3x,f′(2)=6,所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 方程为 y-3=6(x-2),即 y=6x-9. (2)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1). 1 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=a. 以下分两种情况讨论: 1 1 ① 若 0<a≤2,则 ≥ .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情 a 2 况如下表: 1 1 x 0 (-2,0) (0,2) 0 f′(x) + -
3

f(x)

?

极大值

?

1 ? ?f(-2)>0, 1 1 当 x∈[-2,2]时,f(x)>0 等价于? ?f(1)>0, ? 2

?5-a ? 8 >0, 即? ?5+a>0. ? 8

解不等式组得-5<a<5.因此 0<a≤2. 1 1 ②若 a>2,则 0<a<2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况 如下表: 1 1 1 1 1 x 0 (- ,0) (0, ) ( , ) 2 a a a 2 f′(x) f(x) + ? 0 极大值 - ? 0 极小值 + ?

?f(-1)>0, ? 2 1 1 当 x∈[- , ]时,f(x)>0 等价于? 2 2 ?f(1)>0, ? a

?5 ? a ? 8 ?0 ? . 即 ? 1 ?1 ? ?0 ? 2a 2 ?

2 2 解不等式组得 2 <a<5 或 a<- 2 .因此 2<a<5. 综合①②,可知 a 取值范围为 0<a<5

构建答题模板
第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为 R. 第二步:求 f(x)的导数 f′(x). 第三步:求方程 f′(x)=0 的根. 第四步: 利用 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大 顺次将定义域分成若干个小开区间,并列出表格. 第五步:由 f′(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x)在小开 区间内的单调性. 第六步:明确规范地表述结论. 第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如 1 本题中 f′(x)=0 的根为 x1=0,x2= .要确定 x1,x2 与区间 a 端点值的大小,就必须对 a 进行分类讨论.这就是本题的 关键点和易错点.

规律方法总结 高考数学解答题虽然灵活多变,但所考查数学知识、方 法,基本数学思想是不变的,题目形式的设置是相对稳 定的,因而本讲结合高考的重点,热点介绍了“四大答 题模板”,目的是给考生在考前一个回顾如何规范答题 的辅助性材料.重点是思维过程、规范解答、反思回 顾.结合着具体题型给出了答题程序.希望能够举一反 三,对考生答题有所帮助.

第 4 讲:答题规范

第 4 讲 考前急训:答题规范
在高考试卷的批阅中, 很多学生因答题不规范而造成的 丢分现象, 是屡见不鲜的. 要在高考中不丢分或少丢分, 考生们必须从答题规范上下功夫. 作为有着多年阅卷经 验和教学经验的老师,从答题规范的角度,为考生答题 的策略、答题中常见的问题与解决方法,进行评点,希 望能对学生增分起到帮助.

一、概念、符号应用要规范 ?1 x<0 ?x , 例 1 (2009· 北京)若函数 f(x)=? , 则不 1x ?( ) , x≥0 ?3 1 等式|f(x)|≥ 的解集为__________________. 3
阅卷现场 甲: 丙: 乙: 丁:

失分原因与防范措施 分析失分的原因,可以归纳为以下几种情况: (1)概念不清,我们知道,分段函数要分段求,也就是要 根据定义域分类讨论,而分类讨论的结果取并集. (2)本题要求是求不等式的解集. 解集必须用集合或是区 间的形式表述. (3)符号运用不规范. 集合表示不能漏掉代表元素. 区间 表示能合并的要合并. 防范措施: (1)要认真审题、 找出分类标准, 做到不漏解. (2)注意规范运用数学符号.

正解 ?x<0 1 ? 解析 (1)由|f(x)|≥ ?? 1 1 ?-3≤x<0. 3 ?| |≥ ?x 3 ?x≥0 ?x≥0 ? ? 1 (2)由|f(x)|≥ ?? 1 x 1 ?? 1 x 1 3 ?|( ) |≥ ?(3) ≥3 3 ? 3 ? ?0≤x≤1. 1 ∴不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}, 3 ∴应填[-3,1].
答案 [-3,1]

二、结论表示要规范 x2 2 例 2 直线 l 与椭圆 +y =1 交于 P、Q 两点,已知直线 4 l 的 斜 率 为 1 , 则 弦 PQ 的 中 点 的 轨 迹 方 程 是 _____________.

阅卷现场

失分原因与防范措施 本题失分的主要原因:结论表示时,忽视了曲线上点的 坐标的取值范围.个别考生错把轨迹方程理解成了轨迹. 防范措施:在解此类题目时,一定要注意方程中变量的 范围.实质上就是轨迹与方程的纯粹性与完备性的检验.

正解 解析 设 M(x,y)为 PQ 的中点,P(x1,y1),Q(x2,y2),
2 ?x1 2 ? 4 +y1=1, 则? 2 2 ?x2+y2=1. ?4

① ②

1 (x +x ) y1-y2 4 1 2 1 2x ①-②得 kPQ= =- =- · =1. 4 2y x1-x2 y1+y2 x 整理得 x+4y=0,则 M(x,- ). 4 x2 x2 4 5 4 5 又∵点 M 在椭圆内, +(- ) <1, ∴ 解得- <x< . 4 4 5 5 4 5 4 5 ∴所求轨迹方程为 x+4y=0(- <x< ). 5 5 4 5 4 5 答案 x+4y=0(- <x< ) 5 5

x2 y2 例 3 设 A1、A2 是椭圆 + =1 的长轴的两个端点, 9 4 P1、 2 是垂直于 A1A2 的弦的端点, P 则直线 A1P1 与 A2P2 的交点 P 的轨迹是____________________.
阅卷现场

失分原因与防范措施 失分原因:本题难度为中等,本题失分的原因主要是结论 表示不准确. 题目要求是:P 的轨迹,而很多考生却答成了轨迹方程. 防范措施:要注意求曲线的方程与求轨迹是不同的,若是 求轨迹则不仅要求方程,而且还要说明是什么图形、在何 处,即图形的形状、位臵、大小都要说清楚,求“轨迹” 时首先求出“轨迹方程”,然后再说明对应的图形.

正解 解析 设交点为 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0), P2(x0,-y0). ∵A1,P1,P 共线, y-y0 y ∴ = . ① x-x0 x+3 又 A2,P2,P 共线, y+y0 y ∴ = . ② x-x0 x-3 9 3y 联立①②解得 x0= ,y0= , x x x2 y2 x2 y2 0 0 代入 + =1,化简得 - =1. 9 4 9 4 ∴P 点的轨迹是以(± 13, 0)为焦点, 为实轴长的双曲线. 6

答案 以(± 13,0)为焦点,6 为实轴长的双曲线

三、书写格式要规范 例 4 (2009· 江苏)如图所示, 在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC-A1B1C1 中,E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.
阅卷现场

失分原因与防范措施 本题失分的原因:主要集中在部分考生对线面平行、线面 垂直的判定方法掌握不好.逻辑思维混乱、书写不条理、 格式不规范. 本题首先要想到转化思想,就是将:线线平行?线面平行 ?面面平行; 线线垂直?线面垂直?面面垂直的转化格式 表达清楚.一般来讲,在书写时,用短行(竖式)书写比较 好,比较容易找得分点.避免用长行书写,长行使得条件 结论(因为,所以)不容易看清.第二,使结论成立的条件, 不能漏写.比如在推论 EF∥平面 ABC 时,很多同学缺少 EF?平面 ABC,就要扣 1~2 分.同样,在证明直线垂直 平面时,要写清直线垂直平面内的两条相交直线. 防范措施:在平时学习中,一定要有证明线面位臵关系的 转化思想.在考试时,要把文字语言表述转化成符号语言 表述.注意书写格式,养成良好的书写习惯.,

正解 证明 (1)∵E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,

∴EF∥BC, 又∵BC?平面 ABC,EF?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC. (2)∵BB1⊥平面 A1B1C1, ∴BB1⊥A1D, 又 A1D⊥B1C, ∴A1D⊥平面 BB1C1C, 又 A1D?平面 A1FD, ∴平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

四、几何作图要规范 例5 已知正方形 ABCD, F 分别是 AB, 的中点, E, CD 将△ADE 沿 DE 折起,如图所示.

(1)证明:BF∥平面 ADE; (2)若△ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的结论.

阅卷现场

失分原因与防范措施 失分原因:不能按照几何作图的法则作图,不能将平面 图形规范地转换成空间图形. 防范措施:要掌握直观图的画法法则,注意虚、实线的 应用. 特别是在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问 题中,一般来说,位于同一平面内的几何元素相对位臵 和数量关系不变;位于两个不同平面内的元素、位臵和 数量关系要发生变化,充分发挥空间想象能力,在作图 时,要体现出不变的位臵和数量关系.如本题中, BE∥CD, 在平面图形和空间图形都应该画成平行的. 在 平面图形中,BE=DF=FC,在空间图形中,仍然画成 BE=DF=FC.由于没有抓住这些特征, 空间图形画的不 规范,影响了考生的思维,从而造成失分.

(1)证明 ∵E、F 分别为正方形 ABCD 的边 AB、CD 的 中点, ∴EB∥FD,且 EB=FD, ∴四边形 EBFD 为平行四边形. ∴BF∥ED. ∵ED?平面 AED,而 BF?平面 AED, ∴BF∥平面 ADE. (2)解 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上. 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G, 连结 GC,GD, ∵△ACD 为正三角形, ∴AC=AD.∴CG=GD. ∴G 在 CD 的垂直平分线上, 就是 CD 的垂直平分线, EF ∴G 在直线 EF 上.

五、解题步骤要规范 例 6 已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂 π 直,其中 θ∈(0,2). 10 (1)求 sin θ 和 cos θ 的值;(2)若 sin(θ-φ)= , 10 π 0<φ< ,求 cos φ 的值. 2

阅卷现场

失分原因与防范措施 失分原因:每一步的转化都是有条件的,忽略了转化的 条件,从而使解题过程不规范,导致失分. 本题的错误情况有: (1)在推导 a· b=sin θ-2cos θ=0 时, 2 5 5 漏写 a 与 b 垂直. (2)直接写出了 sin θ= 、 θ= , cos 5 5 π 缺少 θ∈(0, )这一条件. 2 (3)缺少 φ=[θ-(θ-φ)]这一拆分过程. (4)缺少 θ-φ 的范围,直接由 sin(θ-φ)求 cos(θ-φ). 题目虽不算难,但丢分现象严重. 防范措施:在三角函数的求值或化简中,一定要强调角 的取值范围和公式成立的条件. “求值先定角”这是防 止出错的一条重要原则. 解题步骤规范的一个重要标准 是:严谨简洁.

正解 解 (1)∵a 与 b 互相垂直, 则 a· b=sin θ-2cos θ=0, 即 sin θ=2cos θ,代入 sin2θ+cos2θ=1, ? ? ?sin θ=2 5 ?sin θ=-2 5 5 5 ? ? 得? 或? 5 5 ? ? ?cos θ= 5 ?cos θ=- 5 ? ? π 又∵θ∈(0, ), 2 2 5 5 ∴sin θ= ,cos θ= . 5 5



π π (2)∵0<φ< ,0<θ< , 2 2 π π ∴- <θ-φ< , 2 2 3 10 则 cos(θ-φ)= 1-sin (θ-φ)= , 10 ∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)] 2 =cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)= . 2
2

规律方法总结 答题不规范,是高考阅卷中,遇到的最为突出的问题之 一.由不规范造成的失分,令人惋惜.在考前有意识地 讲练一下答题规范,是十分必要的.通过对考生常见不 规范答题的总结,大致有五种,要特别注意.概念、符 号应用要规范;结论表示要规范;书写格式要规范;几 何作图要规范;解题步骤要规范.



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