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高斯消元法



高斯消元法解线性方程组
在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学 模型,这些模型中方程和未知量个数常常有多个,而且方程个数与未知量个数也 不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢?如果有解,解是否唯一?若解 不唯一,解的结构如何呢?这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有 n 个未知量、有 m 个方程式组成的方程组 ?a11 x1 +

a12 x 2 + " + a1n x n = b1 ?a x + a x + " + a x = b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? " " " " " " ? ? ?a m1 x1 + a m2 x 2 + " + a mn x n = bm

(3.1)

(也称为未知数) 。 当右端常数项 b1 , 其中系数 a ij , 常数 b j 都是已知数,xi 是未知量 称方程组 (3.1) 为非齐次线性方程组; 当 b1 = b2 = … = bm = b2 , …, bm 不全为 0 时, 0 时,即 ?a11 x1 + a12 x 2 + " + a1n x n = 0 ?a x + a x + " + a x = 0 ? 21 1 22 2 2n n (3.2) ? ? " " " " " " ? ?a m1 x1 + a m2 x 2 + " + a mn x n = 0 称为齐次线性方程组。 由 n 个数 k1 , k 2 , …, k n 组成的一个有序数组( k1 , k 2 , …, k n ),如果将它 们依次代入方程组(3.1)中的 x1 , x 2 , …, x n 后,(3.1)中的每个方程都变成恒 等式, 则称这个有序数组 ( k1 , k 2 , …, k n ) 为方程组 (3.1) 的一个解。 显然由 x1 =0, (0, 0, …, 0) 是齐次线性方程组 (3.2) 的一个解, x 2 =0, …, x n =0 组成的有序数组 称之为齐次线性方程组(3.2)的零解,而当齐次线性方程组的未知量取值不全为 零时,称之为非零解。 (利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。 因此,我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。) 非齐次线性方程组(3.1)的矩阵表示形式为: AX = B 其中 ? x1 ? ? b1 ? ? a11 a12 " a1n ? ? ? ?b ? ? ?a a 22 " a 2 n x2 ? 21 2 ? ? ? A= ,X = ,B = ? ? ?#? ?#? ?" " " "? ? ? ? ? ? ? ?a m1 a m 2 " a mn ? ? xn ? ?bn ? 称 A 为方程组(3.1)的系数矩阵,X 为未知矩阵,B 为常数矩阵。将系数矩阵 A 和常数矩阵 B 放在一起构成的矩阵

1

? a11 ?a 21 [ A B] = ? ?" ? ?a m1

a12 a 22

"

a1n

" a 2n

" " " a m 2 " a mn

b1 ? b2 ? ? "? ? bm ?

称为方程组(3.1)的增广矩阵。 齐次线性方程组(3.2)的矩阵表示形式为:AX = O 二、高斯消元法 (下面介绍利用矩阵求解方程组的方法,那么矩阵初等行变换会不会改变方 程组的解呢?我们先看一个定理。) 定理 3.1 若用初等行变换将增广矩阵 [ A B ] 化为 [C D ] , 则 AX = B 与 CX = D 是同解方程组。 证 由定理 3.1 可知,存在初等矩阵 P1 , P2 , …, Pk ,使 Pk … P2 P1 ( A B) = (C D) 记 Pk … P2 P1 = P,则 P 可逆,即 P ?1 存在。 设 X 1 为方程组 A X = B 的解,即 A X1 = B 在上式两边左乘 P,得 P A X 1 = PB 即 C X1 = D 说明 X 1 也是方程组 C X = D 的解。反之,设 X 2 为方程组 C X = D 的解,即 C X2 = D ?1 在上式两边左乘 P ,得 P ?1 C X 2 = P ? 1 D 即 A X2 = B 说明 X 2 也是方程组 AX = B 的解。 因此,方程组 A X = B 与 C X = D 的解相同,即它们是同解方程组。(证毕) (由定理 3.1 可知,求方程组(3.1)的解,可以利用初等行变换将其增广矩阵 [ A B ] 化简。又有第二章定理 2.10 可知,通过初等行变换可以将 [ A B ] 化成阶梯 形矩阵。因此,我们得到了求解线性方程组(3.1)的一般方法:) 用初等行变换将方程组(3.1)的增广矩阵 [ A B ] 化成阶梯形矩阵,再写出该 阶梯形矩阵所对应的方程组,逐步回代,求出方程组的解。因为它们为同解方程 组,所以也就得到了原方程组(3.1)的解。这种方法被称为高斯消元法, (下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。)

2

? x1 + x 2 ? 2 x 3 ? x 4 = ? 1 ? x + 5x ? 3x ? 2 x = 0 ? 1 2 3 4 例 1 解线性方程组 ? (3.3) ? 3 x1 ? x 2 + x 3 + 4 x 4 = 2 ? ? ? 2 x1 + 2 x 2 + x 3 ? x 4 = 1 解 先写出增广矩阵 [ A B ] ,再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵,即 1 ? 2 ? 1 ? 1? ② + ① ( ?1) ?1 1 ? 2 ? 1 ? 1? ?1 ?1 ?0 4 ? 1 ? 1 1 ? ③ + ① ( ?3 ) 5 ?3 ?2 0 ? ④+①2 ? ? ? ??? ?→ ? [ A B] = ? 3 ?1 1 ?0 ? 4 7 4 2? 7 5? ? ? ? ? 1 ?1 1 ? ?? 2 2 ?0 4 ? 3 ? 3 ? 1? ?1 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? ?1 1 ? 2 ? 1 ? 1? ? 0 4 ? 1 ? 1 1 ? ④ + ③ ( 1 ) ?0 4 ? 1 ? 1 1 ? ③+② ④ + ② ( ?1) 3 ? ??? ? ??? ?→ ? ? →? ?0 0 6 ?0 0 6 6 6 ? 6 6? ? ? ? ? 0 0? ?0 0 ? 2 ? 2 ? 2? ?0 0 0

上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组,最后一个增广矩 阵表示的线性方程组为 ? x1 + x 2 ? 2 x 3 ? x 4 = ?1 ? 4 x2 ? x3 ? x4 = 1 ? ? 6 x3 + 6 x4 = 6 ? 1 将最后一个方程乘 ,再将 x 4 项移至等号的右端,得 6 x3 = ? x4 + 1 将其代入第二个方程,解得 x2 = 1 2 再将 x 2 , x 3 代入第一个方程组,解得 x1 = ? x4 + 1 2 因此,方程组(3.3)的解为 ? x1 = ? x 4 + 1 2 ? (3.4) ? x2 = 1 2 ?x = ? x + 1 4 ? 3 其中 x 4 可以任意取值。 由于未知量 x 4 的取值是任意实数,故方程组(3.3)的解有无穷多个。由此可 知,表示式(3.4)表示了方程组(3.3)的所有解。表示式(3.4)中等号右端的未 知量 x 4 称为自由未知量,用自由未知量表示其它未知量的表示式(3.4)称为方程 组(3.3)的一般解,当表示式(3.4)中的未知量 x 4 取定一个值(如 x 4 =1),得 1 1 到方程组(3.3)的一个解(如 x1 = ? , x 2 = , x 3 = 0 , x 4 = 1 ),称之为方程 2 2 组(3.3)的特解。 注意,自由未知量的选取不是唯一的,如例 1 也可以将 x 3 取作自由未知量。
3

如果将表示式(3.4)中的自由未知量 x 4 取一任意常数 k,即令 x 4 = k,那么方 程组(3.3)的一般解为 ? x1 = ?k + 1 2 ? x =1 2 ? 2 ,其中 k 为任意常数。 ? ? x3 = ? k + 1 ? ? x4 = k 用矩阵形式表示为

? x1 ? ?? k + 1 2? ?? 1? ?1 2? ?x ? ? ? ? 0 ? ?1 2? ? 2 ? = ?1 2 ? =k? ? + ? ? (3.5) ? x3 ? ?? k + 1 ? ?? 1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?0 ? ? x4 ? ? k 其中 k 为任意常数。称表示式(3.5)为方程组(3.3)的全部解。 (用消元法解线性方程组的过程中,当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后,要写出相应的方程组,然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代 的过程表示出来,我们可以发现,这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化, 使其最终化成一个特殊的矩阵,从这个特殊矩阵中,就可以直接解出或“读出” 方程组的解。例如,)对例 1 中的阶梯形矩阵进一步化简, ?1 1 ? 2 ? 1 ? 1? ③ 1 ?1 1 0 1 1? 6 ?0 4 ? 1 ? 1 1 ? ① + ?0 4 0 0 2 ? ③2 +③ ? ?② ? ? ??→ ? ?0 0 6 ?0 0 1 1 1 ? 6 6? ? ? ? ? 0 0? ?0 0 0 ?0 0 0 0 0 ? ?1 0 0 1 1 2? 1 ② ?0 1 0 0 1 2 ? 4 ① + ② ( ?1) ? ??? ?→ ? ?0 0 1 1 1 ? ? ? ?0 0 0 0 0 ? 上述矩阵对应的方程组为 ? x1 + x 4 = 1 2 ? ? x2 = 1 2 ?x + x = 1 4 ? 3 将此方程组中含 x 4 的项移到等号的右端,就得到原方程组(3.3)的一般解, ? x1 = ? x 4 + 1 2 ? (3.4) ? x2 = 1 2 ?x = ? x + 1 4 ? 3
其中 x 4 可以任意取值。
? x1 + 2 x 2 ? 3x 3 = 4 ?2 x + 3x ? 5x = 7 ? 1 2 3 ? ?4 x1 + 3x 2 ? 9 x 3 = 9 ? ?2 x1 + 5x 2 ? 8 x 3 = 8
4

例2

解线性方程组



利用初等行变换,将方程组的增广矩阵 [A B] 化成阶梯阵,再求解。即 ?1 2 ? 3 4 ? ?1 2 ? 3 4? ? ? ?2 3 ? 5 7? ? → ?0 ? 1 1 ? 1 ? [A B] = ? ?0 ? 5 3 ? 7 ? ?4 3 ? 9 9? ? ? ? ? ?0 1 ? 2 0 ? ?2 5 ? 8 8? ?1 2 ? 3 4 ? ?1 2 ? 3 4 ? ? ?0 ? 1 1 ? 1 ? ? ? → ?0 ? 1 1 ? 1? →? ?0 0 ? 2 ? 2 ? ?0 0 1 1? ? ? ? ? 0 0? ?0 0 ? 1 ? 1 ? ?0 0 ?1 0 0 3? ?1 2 0 7? ? ? ?0 1 0 2 ? ? → ?0 1 0 2 ? →? ?0 0 1 1 ? ?0 0 1 1 ? ? ? ? ? ?0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ?

一般解为

? x1 = 3 ? ? x2 = 2 ?x = 1 ? 3 ? x1 + x 2 + x 3 = 1 ? ? ? x1 + 2 x 2 ? 4 x 3 = 2 ? 2 x + 5x ? x = 3 1 2 3 ?

例3 解

解线性方程组

利用初等行变换,将方程组的增广矩阵 [A B] 化成阶梯阵,再求解。即

? 1 1 1 1? ?1 1 1 1? ? ? ? [ A B ] = ? ? 1 2 ? 4 2? → ? ?0 3 ? 3 3? ? ? ? ? ? 2 5 ? 1 3? ?0 3 ? 3 1? 1 ? ?1 1 1 ? → ?0 3 ? 3 3 ? ? ? ?0 0 0 ? 2 ? ?
阶梯形矩阵的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程为: 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 = ?2 ,由该方 程可知,无论 x1 , x 2 , x 3 取何值,都不能满足这个方程。因此,原方程组无解。 三、线性方程组的解的判定 前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法,通过例题可知,线性方程组 的解的情况有三种: 无穷多解、 唯一解和无解。 从求解过程可以看出, 方程组 (3.1) 是否有解,关键在于增广矩阵[A B]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵 A 化成阶 梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此,线性方程组是否有解,就可以用其系 数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
5

定理 3.9 线性方程组(3.1)有解的充分必要是 r ( A) = r ( A B ) 。 证 设系数矩阵 A 的秩为 r,即 r ( A) = r。利用初等行变换将增广矩阵[A B] 化成阶梯阵: ? c11 " * * " * c1s " c1n d 1 ? ? ? ? 0 " 0 c2 k " * c2 s " c 2 n d 2 ? ? ? # # # # # # # # # ? ?# 初等行变换 [A B] ????→ ? 0 " 0 0 " 0 crs " crn d r ? = [C D] ? ? ? 0 " 0 0 " 0 0 " 0 d r +1 ? ? ? ? " " " " " " " " " " ? ? 0 " 0 0 " 0 0 " 0 0 ? ? ? 故 AX = B 与 CX = D 是同解方程组,因此 AX = B 有解 ? d r +1 = 0 ? r (C D) = r (C ) = r 即 r ( A B ) = r ( A) = r。 (证毕) 推论 1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是 r ( A) = r ( A B ) = n 。 推论 2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 r ( A) = r ( A B ) < n 。 (将上述结论应用到齐次线性方程组(3.2)上,则总有 r ( A) = r ( A B ) 。因此 齐次线性方程组一定有解。并且有) 例4 判别下列方程组是否有解?若有解,是有唯一解还是有无穷多解? ? x1 + 2 x 2 ? 3 x 3 = ? 11 ? x1 + 2 x 2 ? 3 x 3 = ? 11 ? ?x ?x +x =7 ? ? x ? x + 2x = 7 ? ? 1 2 3 1 2 3 (2) ? ? 2 3 6 2 3 x ? x + x = x ? x + x 1 2 3 1 2 3 = 6 ? ? ? ? ? ? 3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 4 ? ? 3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 5

(1)

? x1 + 2 x 2 ? 3 x 3 = ? 11 ? ?x ?x +x =7 ? 1 2 3 (3) ? ? 2 x1 ? 3 x 2 + x 3 = 6 ? ? ? 3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 5 解 (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵,即 2 ? 3 ? 11? ?1 2 ? 3 ? 11? ?1 ? ?0 1 ? 2 ? 4 ? ??1 ?1 1 7 ? ? → ? [A B ]= ? ?0 ? 7 7 ? 2 ?3 1 28 ? 6 ? ? ? ? ? 2 4 ? ?0 7 ? 7 ? 29? ?? 3 1 ?1 2 ? 3 ? 11? ?0 1 ? 2 ? 4 ? ? →? ?0 0 ? 7 0 ? ? ? ?1 ? ?0 0 0 因为 r ( A B ) = 4, r ( A ) =3,两者不等,所以方程组无解。
6

(2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵,即 2 ? 3 ? 11? ?1 ?1 2 ? 3 ? 11? ? ??1 ?1 2 ? 7 ? ? → … → ?0 1 ? 1 ? 4 ? [A B ]= ? ? 2 ?3 1 ?0 0 0 6 ? 0 ? ? ? ? ? 2 5 ? 0 ? ?? 3 1 ?0 0 0 因为 r ( A B ) = r ( A ) =2 < n(= 3),所以方程组有无穷多解。 (3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即 2 ? 3 ? 11? ?1 ?1 2 ? 3 ? 11? ? ??1 ?1 1 ?0 1 ? 2 ? 4 ? 7 ? ? →… → ? [A B ]= ? ? 2 ?3 1 ?0 0 ? 7 0 ? 6 ? ? ? ? ? 2 5 ? 0 ? ?? 3 1 ?0 0 0 因为 r ( A B ) = r ( A ) = 3 = n,所以方程组有唯一解。
例5 判别下列齐次方程组是否有非零解? ? x1 + 3 x 2 ? 7 x 3 ? 8 x 4 ? 2 x + 5x + 4 x + 4 x ? 1 2 3 4 ? ? ? 3 x1 ? 7 x 2 ? 2 x 3 ? 3 x 4 ? ? x1 + 4 x 2 ? 12 x 3 ? 16 x 4 (机动)
=0 =0 =0 =0



用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵,即 ?7 ?8 ? 3 ?1 3 ? 7 ? 8 ? ?1 ? ?0 ? 1 18 ?2 5 4 4 ? 20 ? ? →? A =? ?0 2 ? 23 ? 27? ?? 3 ? 7 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 4 ? 12 ? 16? ?0 1 ? 5 ? 8 ? ?1 ?1 3 ? 7 ? 8? ?1 3 ? 7 ? 8? ? ?0 ? 1 18 20 ? ? ? → ?0 ? 1 18 20 ? →? ?0 0 13 13 ? ?0 0 13 13 ? ? ? ? ? 0 ? 1? ?0 0 13 12 ? ?0 0 因为 r ( A ) = 4 = n,所以齐次方程组只有零解。

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