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2014届湖北省黄冈市高三4月模拟考试数学试题(文科)(2014.04)word版



黄冈市 2014 年高三年级 4 月份质量检测 数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | log2 | x |? 1},则 A A. (?3, 0)

B 等


D. (?2,1)

(0,1)

B. (?2,0)

(0,1)

C. (?1,0)

(0,1)

2.下列命题,正确的是 A.存在 x0 ? R ,使得 e
2

x0

? 0 的否定是:不存在 x0 ? R ,使得 e x0 ? 0
2

B.存在 x ? R ,使得 x ? 1 ? 0 的否定是:任意 x ? R ,均有 x ? 1 ? 0 C.若 x ? 3 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 的否命题是:若 x ? 3 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

D.命题 p和q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p与q 必一真一假 3.在某学期物理测试中甲的成绩如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88。乙的成绩如 下:84,86,86,88,88,88,90,90,90,90。则甲、乙成绩下列数字特征对应相同的是 A.众数 B.平均数 C.标准差 D.中位数

4.已知 a , b 是实数,则 | a ? b |?| a | ? | b | 是ab ? 0 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.若函数 f ( x) ? ? A.4 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? 2( x ? 0) ,则 f (?4) 的值为 ? f ( x ? 3)( x ? 0)
B .2 C.-2 D.6

6.已知点 M 是 ?ABC 的重心,若 A ? 60? , AB ? AC ? 3 ,则 | AM | 的最小值为 A. 3 B. 2 C.3 D.2

7.将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向右平移 的一个可能的值为

?
8

个单位后,得到的图象关于 y 轴对称,则 ? 中

A. ?

?
2

B.

?
2

C.

3? 4

D. ?

3? 4

8.已知 F2 , F1 是双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好 a 2 b2

落在以 F1 为圆心, | OF 1 | 为半径的圆上,则双曲线的离心率为 A.3 B. 3 C.2 D. 2

9.假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机,若这两条短信进入 手机的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为 A.

4 25

B.

8 25

C.

16 25

D.

24 25

10.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ? 7ln x ? 1在(1, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 A. ( , ??)

5 2

B. [ , ??)

5 2

C. (??, ? )

5 2

D. (??, ? ]

5 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置。
11.设复数 z ? 1 ? i (i 为虚数单位) ,则

2 ? z2 ? z ?i



12.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 5 个程序,其中程 序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 必须相邻,则在 该实验中程序顺序的编排方法共有 种。

12.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形, 则该几何体的三个侧棱与地面所成的角的集合为 13.执行右边的程序框图,如果输入的 N 是 5, 那么输出 p 的值是 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? y 的最小值为 。

?3 ? 2 x ? y ? 9 , ?6 ? x ? y ? 9


15.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为 。

16.点 p(2, ?1) 为圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 25 的弦的中点,则该弦所在的直线方程为



17.有 n 粒球 (n ? 2, n ? N * ) ,任意将它们分成两堆,求出两堆球数的乘积,再将其中一堆任意分 成两堆,求出这两堆球数的乘积,如此下去,每次任意将其中一堆分成两堆,求出这两堆球数 的乘积,直到不能分为止,记所有乘积之和为 Sn 。例如,对于 4 粒球有如下两种分解:

(4) ? (1,3) ? (1,1, 2) ? (1,1,1,1)







S4 ? 1? 3 ? 1? 2 ? 1?1 ? 6



(4) ? (2, 2) ? (1,1, 2) ? (1,1,1,1) ,此时 S4 ? 2 ? 2 ? 1?1 ? 1?1 ? 6 ,于是发现 S4 为定值 6。
请你计算 S5 的值为 ,猜想 Sn ?

(n ? 2).

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , A ?

?
4



cos B ? cos 2 B ? 0 .
(Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积。

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 (n ? N ? ) ,等 差数列 {bn } 中, b2 ? 5 ,且公差 d ? 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n,使得 a1 b1 ? a2b2 ? 不存在,说明理由。

? anbn ? 60n ?若存在,求 n 的最小值,若

20. (本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A A1 A ? 底面ABC , AC ? AB ? AA1 ? 4 , 1B 1 C1 中,

?BAC ? 90? ,点 D 是棱 B1 C1 的中点。
(Ⅰ)求证: A1 D ? 平面 BB1 C1 C ; (Ⅱ)求三棱锥 C1 ? ADC 的体积。

21. (本小题满分 14 分)设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,过 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂 足,M 是线段 PD 上的点,且满足 | DM |? m | PD | (0 ? m ? 1) ,当点 P 在圆上运动时,记 M 的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过曲线 C 的左焦点 F 作斜率为

2 的直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,点 P 满足 2

OA ? OB ? OP ? 0 ,是否存在实数 m,使得点 P 在曲线 C 上,若存在,求出 m 的值,若不存在,
请说明理由。

22. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ln x ?

a (a ? R ). x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,在 [ , ??) 单调递增,求 a 的范围; (Ⅱ)当 n ? N 时,试比较 (
*

1 2

n n ( n ?1) 1 n ? 2 ) 与( ) 的大小,并证明。 n ?1 e

黄冈市 2014 年高三年级 4 月份质量检测

参考答案(文科)
一、选择题
1—10 BCCCA BCCCB

二、填空题
11、

2 6 ? i 5 5

(或 } { 12、 {60?
16、 x ? y ? 1 ? 0

?
3

})

13、120 (或 5! )

14、-1

15、103.1

17、10;

n2 ? n 2

三、解答题
18、解: (1)

cos B ? cos 2 B ? 0 ,? 2cos2 B ? cos B ? 1 ? 0

1 2? ? cos B ? ? , cos B ? 1 舍,又 B ? (0, ? ) ,? B ? .……6 分 2 3 ? 2? ? 2? ? ? (2) A ? ,B ? ,? C ? ? ? ? 4 3 4 3 12

? sin C ? sin

? sin( ? ) ? 12 3 4

?

?

?

6? 2 ………………8 分 4

由正弦定理:

C b 3 2? 6 ? ,? c ? sin C sin B 3

1 1 2 2? 6 2 3 ? S?ABC ? bC sin A ? ? 2 ? ? ? 1? .……12 分 2 2 3 2 3
19、解: (1) a1 ? 1 ,an?1 ? 2Sn ? 1 , ?当n ? 2 时, an ? 2Sn?1 ? 1 相减得:

an?1 ? 3an (n ? 2) ,又 a2 ? 3a1 ?1 ? 3 ,? a2 ? 3a1 ,

? 数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,? an ? 3n?1 . ………4 分

又 b2 ? b1 ? d ? 5 ,?b1 ? 3 ,?bn ? 2n ? 1 .…………6 分 (2) an ? bn ? (2n ? 1) ? 3n?1 令 Tn ? 3?1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 32 ?

? (2n ?1) ? 3n?2 ? (2n ? 1) ? 3n?1 ………………① ? (2n ?1) ? 3n?1 ? (2n ?1) ? 3n …………………② ? 3n?1 ) ? (2n ?1) ? 3n …………9 分

3Tn ? 3? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ?

① ②得: ?2Tn ? 3?1 ? 2(3 ? 32 ?

? Sn ? n ? 3n ,? n ? 3n ? 60n ,即 3n ? 60 ,当 n ? 3 , 3n ? 60 ,当 n ? 4 。 3n ? 60

?n 的最小正整数为 4.…………12 分

20、解: (1)

AA1 ? 平面ABC ,? BB1 ? 平面 A1 B1 C1 ,

又A 1 D ? 平面A 1B 1 C1 ,? A 1 D ? BB 1 , 又

A1 B1 ? A1 C1 , D为B1 C1 的中点,
B1 C1 ? B1 ,? A1 D ? 平面BB1 C1 C .…………6 分 ? 1 4 , ?BAC ? 90?

? A1 D ? B1 C1 ,又 BB1
解(2) :

A C A ? B A A ?

? B1 C1 ? 4 2 ,? B1 D ? A1 D ? 2 2 ,
?VC
1

? ADC

? VB

1

? ADC

1 16 ? VA?CDB ? S?CDB ? A1 D ? . …………13 分 1 1 3 3

21、解: (1)如图设 M ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | PD | (0 ? m ? 1) 可得

? x0 ? x ? x ? x0 , | y |? m | y0 | ,即 ? 1 ?| y0 |? | y | m ?
2 2 又 x0 ? y0 ? 4 ,?

x2 y2 ? ? 1(0 ? m ? 1) ,即为曲线 C 的方程。……6 分 4 4m 2
2

(2)设 c ? 2 1 ? m ,F (?c, 0),l : y ?

2 ( x ? c) 2

? x2 y2 ? ?1 ? ? 4 4m 2 由? ,得(2m2 ? 1) x 2 ? 2cx ? 4 ? 12m2 ? 0 …………8 分 ? y ? 2 ( x ? c) ? ? 2
? x1 ? x2 ? ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 2c 4 ? 12m2 x x ? . , 1 2 2m 2 ? 1 2m 2 ? 1

? y1 ? y2 ?

2 ( x1 ? x2 ? 2c) , OP ? ?(OA ? OB) ? ?( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 2

2c ?2 2cm2 2c ?2 2cm2 ) …………11 分 ?( 2 , ) ,即 P 点坐标为 ( 2 , 2m ? 1 2 m 2 ? 1 2m ? 1 2 m 2 ? 1
将 P 点代入

x2 y2 2 ? ? 1 ,得 m ? (负舍去,未舍扣 1 分) 2 4 4m 2

? 存在当 m ?

2 时, P 点在曲线 C 上.…………14 分 2
1 1 1 x ?1 ( x ? 0) ,则 f ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x

22、解: (1)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? bx ?

当 f ?( x) ? 0 时, 0 ? x ? 1 ,当 f ?( x) ? 0 时, x ? 1 则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .……5 分 (2)

g ( x) ? ln x ?

a ? 2x , x

1 1 a 2x2 ? x ? a ? g ?( x) ? ? 2 ? 2 ? ? 0 在 [ , ??) 上恒成立, 2 2 x x x
2 令 ? ( x) ? 2 x ? x ? a , ? ( ) ? 2 ? ( ) ?
2

1 2

1 2

1 ? a ? 0 ,? a ? 1 .…………9 分 2

(3)令 h( x) ? ln x ?

2 ?x x

h?( x) ?

1 2 x2 ? x ? 2 ? 2 ?1 ? ( x ? 0) x x x2
…………11 分

? h( x)在(0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增

2 ? x ? 3 ,当且仅当 x ? 1 时取最小值 x n n n 2(n ? 1) n 0? ? 1 ,? h( ) ? ln ? ? ?3 n ?1 n ?1 n ?1 n n ?1

h(1) ? 3 ? h( x) ? ln x ?

? ln

n 2 1 n n?2 ? ? ? 0 ,? ln ? ?0 n ?1 n n ?1 n ? 1 n(n ? 1) n n n ( n ?1) 1 ? ?(n ? 2) ,? ( ) ? ( ) n ? 2 . ……14 分 n ?1 n ?1 e

? n(n ? 1) ln



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