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新疆2015年高三年级第一次诊断性测验乌鲁木齐理科数学试题参考答案



理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C 11 D 12 C

1.选 B.【解析】∵ M ? x x ? 0 , N ? ??2,0,1? ,∴ M 2.选 B.【解析】∵ z ? 象限,故选 B.

/>
?

?

N ? ??2,0? ,故选 B.

1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? 1 3 ? 1 3? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? 在第二 1? i 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? ? 2 2?

2 2 3.选 A.【解析】依题意,令 sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? 0 ,

∴ 1 ? 2sin ? cos ? ? 0 ,故 sin ? cos ? ? ?

1 1 ,∴ f ? 0 ? ? ? ,故选 A. 2 2

2 x x 4. 选 A. 【解析】∵ e ? 0 ,∴ e - 2 > - 2 ,又 ?x ? R, e ? 2 ? m ,∴ m ? ?2 ;由

log2 m2 ? 1,得 m ? ? 2 ,或 m ? 2 ;∵ “ m ?
故选 A. 5.选 D. 【解析】f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的图象向左平移 它的图象关于原点对称, ∴

2 ”? “ m < -

2 ,或 m >

2”

? ? ? ? 个单位得 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 3 6 ? ?
?
3
, 又? ?

?
3

? ? ? k? ? k ? Z ? , 即 ? ? k? ?

?
2

, ∴? ? ?

?
3



∴f

? x ? ? sin ? ? 2x ?
?

??

? ? ? 2? ? ? ?? ? ?? ? ∵ x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? ? , ? ,∴ f ? x ? 在 ?0, 2 ? 上 3? 3 ? 3 3 ? ? ? ? 2?
3 ,故选 D. 2

的最小值为 f ? 0 ? ? ?

P

6.选 A.【解析】该几何体的直观图如图所示:为一四棱锥,其底 面 ABCD 是正方形, PC ^ 平面 AC , AC = 1, PC = 2 .

1 ,∴正方形 2 1 1 1 1 1 ABCD 的面积 S = ,∴V = Sh = 创 2 = .故选 A. 2 3 3 2 3
AD 2 + DC 2 = AC 2 ,又 A D = DC ,∴ AD 2 =

D

A B

C

7.选 A.【解析】已知 x, y 都是区间 ? 0,

? ?? 内任取的一个实数,则 x, y 满足的区域面积是由 ? 2? ?

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 1 页(共 9 页)

x ? 0, x ?

?
2
?
2 0

, y ? 0, y ?

?
2

围成的正方形,其面积是
?
2 0

? ?
2 ? 2

?

?2
4

,而满足 y ? sin x 的区

域面积为

?

sin xdx ? ? cos x

? 1∴ P ?

1

?

2

?

4

?2

.故选 A.

4
8.选 D.【解析】设 ?an ? 的公差为 d ,∴ a1 ? 2 ? d , a3 ? 2 ? d , a9 ? 2 ? 7d ,又 a1 , a3 , a9 成
2 2 ? d ?? 2 ?7 d 等比数列, ∴ a3 即?2 ? d ? ? ? ? a1a9 ,
2

故d ?1, a1 ? a2 ? d ? 1 , ? ,d ? 0 ,

∴ Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n2 n d ? ? ,故选 D. 2 2 2

骣 1÷ 2, ÷,i = 4 ; 9.选 B. 【解析】 执行第 1 次运算打印点 (1,1) ,i = 5 ; 执行第 2 次运算打印点 ? ? ? 2÷ 桫 骣 1÷ 骣 1÷ 3, ÷ 4, ÷, i = 2 ;执行第 5 执行第 3 次运算打印点 ? , i = 3 ;执行第 4 次运算打印点 ? ? ? ÷ ? ? 桫3 桫 4÷ 骣 1÷ 骣 1÷ 5, ÷ 6, ÷, i = 0 ;结束循环,其中在 次运算打印点 ? , i = 1 ;执行第 6 次运算打印点 ? ? ? ÷ ? ? 桫5 桫 6÷ 骣 1 ÷ 骣 1÷ 2 2 2, ÷, ? 3, ÷共 3 个,故选 B. 圆 x ? y ? 10 内的点有 (1,1) , ? ? ? ? 2÷ ? 桫 桫 3÷

10.选 C.【解析】双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线是 y = a2 b 2
2b a2 + b 2

b x ,圆 a
> 1 ,即
4(c 2 - a 2 ) c2 >1

? x ? 2?
化简得

2

? y ? 1 的圆心是 (2,0) ,半径是 1 ,依题意,有
2

2 3 c2 4 .故选 C. > ,即 e ? 2 a 3 3

11.选 D.【解析】分别过 A, B 点作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1 , ∴ BF ? BB1 , AA1 ? AF .又∵ BC ? 2 BF ,∴ BC ? 2 BB1 ,∴ ?CBB1 ? 60 ∴ ? AFD

? CFO

60 ,又 AF = 3 ,∴ FD ?

3 3 3 ,∴ AA1 ? p ? ? 3 ,∴ p ? , 2 2 2

∴抛物线方程为 y 2 ? 3x .故选 D. 12.选 C.【解析】已知 an ? S n ? 1 ,当 n = 1时,得 a1 =

1 ;当 n ? 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? 1 , 2

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 2 页(共 9 页)

2an = an - 1 , an - 1 ? 0 , 两式相减, 得 an - an - 1 + an = 0 , 由题意知, ∴

an 1 = (n ? 2) , an - 1 2

1 1 ∴数列 ?an ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,∴ S n = 2 2

1轾 犏 12犏 犏 臌 1-

骣 1÷ ? ÷ ? ? 桫 2÷ 1 2

n

骣 1÷ = 1- ? ÷, ? ? 桫 2÷

n

∴ S n ? ? ,1? .故选 C. ?2 ? 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 2 .【解析】如图可知 z ? x ? 2 y 的最小值是 2 . 14.填

?1 ?

2x+y=4 y

x-y=1 x-2y=2

o

x x+2y=z

13 13p .【解析】由题意得四面体 A BCD 是底面边长 6



3 的 正 三 角 形 , 侧 棱 AD 垂 直 底 面 , 且 AD ? 3 , AB ? AC ? 2 3 ,

BD ? BC ? DC ? 3 ,则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上,且到底面
的距离等于 AD 的一半,∴ R =

骣 3÷ ? + 12 = ÷ ? ÷ ? 桫 2

2

13 2

4 4 骣 ? 13 ÷ ÷ ∴V 球 = p R 3 = p ? ÷ ? 3 3 ? 桫2 ÷

3

13 13p . 6

P , Q , R 所对的边分别为 p ,q , r 15.填 12 .【解析】在 D PQR 中设 行
由题意知: qr cos ? P

7 , (PQ - PR ) = 36 ,即 r 2 - 2qr 仔 cos P + q2 = 36

2

可知 r 2 + q 2 = 50 又 sin ? P

1 - cos 2 ? P

骣 7 ÷ 1- ? ? ÷ ÷ ? qr ÷ 桫

2

∴ S D PQR = 而 2qr ? r 2

1 rq sin ? P 2

1 49 1 2 rq 1= (qr ) - 49 2 2 (qr ) 2

q 2 = 50 ,当且仅当 q = r = 5 时等号成立

2 所以,当且仅当 q = r = 5 时 (S DPQR )max = 2 25 - 49 = 12

1

16.填

32

3

< a<

3+ 3 .【解析】已知 f (x ) = x 3 - 3a 2 x - 6a 2 + 3a (a > 0) 2

则 f? ( x) = 3x2 - 3a2
乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案 第 3 页(共 9 页)

① f? ( x) ? 0 恒成立,则 a = 0 ,这与 a > 0 矛盾. ②若 f ? ( x) ? 0 恒成立,显然不可能. ③ f? ( x) = 0 有两个根 a,- a ,而 a > 0 ,则 f ( x ) 在区间 (- ? , a ) 单调递增,在区间

(- a, a) 单调递减,在区间 (a, +
解得:

) 单调递增.故 f (- a) < 0 ,即 2a 2 - 6a + 3 < 0 ,

32

3

< a<

3+ 3 . 2

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分)

1 c 由正弦定理得 2 1 1 1 sin A cos B - sin B cos A = sinC = sin 轾 p - (A + B ) = sin (A + B ) 臌 2 2 2 1 ∴ sin A cos B - sin B cos A = (sin A cos B + cos A sin B ) 2 1 3 即 sin A cos B = sin B cos A ,易知 A 拱90 ,且 B 拱90 , 2 2 1 上式两边除以 cos A cos B ,得 tan A = 3tan B ?????????????? 6 分 2 3 10 10 , cos A = (Ⅱ)∵ tan A = 3 ,∴ sin A = , 10 10 a b 由 ,又 b = 5 , B = 45 ,得 a = 3 = sin A sin B 3 10 2 10 2 2 5 ? ? 而 sin C = sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = 10 2 10 2 5 1 1 2 5 3 5? 3 ?12 分 ∴ S D ABC = ab sin C = 创 z 2 2 5 C A 18. (12 分)
(Ⅰ)∵ a cos B - b cos A =