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导数课后案



-1-

导数及应用

3.1.1
1.当函数 y ?

变化率问题

f ( x) 的自变量 x 从 x1 变化到 x2 时,函数值的增量与相

应自变量的增量之比是函数( A.在区间 ?x1 , x2 ? 上的平均变化率 C.在 x2 处的变化率 变化量
<

br />) B.在 x1 处的变化率 D.在区间 ?x1 , x2 ? 上的

2.已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? 1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ △ x ,1+△ y ),则 A.4
?y ?x

等于(

) C. 4 ? 2?x D. 4 ? 2?x 2

B. 4 x

3.如果质点 M 按规律 s ? 3 ? t 2 运动,则在一小段时间 ?2,2.1? 中相 应的平均速度是( A.4 4. 对于函数 y ? B.4.1 ) C.0.41 D .3 称为函数 y ?
f ( x)

f ( x) , 我们把式子

从 x1 变 化 到 x2 平 均 变 化 率 , 习 惯 上 用 ?x 表 示 x2 ? x1 , 即
?x

= x2 ? x1 ,可把 ?x 看作是相对于 x1 的一个“增量” ,可用
?

代替 x2 ;类似地, ?f 为

.此时,平均变化率可表示 .

5. 若函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的图象上一点 (1, 2) 及邻近一点 (1+△ x ,2+ △
y

) , 则 △

y

= .

,

?y = ?x

6 . 函 数 f ( x) ? ?2x 2 ? 2 在 区 间 ( x0 , x0 ? ?x) 内 的 增 量 △
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-2-

f

=

, 平均变化率

?f = ?x

.

7.函数 y ? ? x 2 ? 1 ,从 x1 变化到 x2 平均变化率为 几何意义是 8.已知函数 f ( x) ?
1 x

;其

.

(1) 在区间 (1,1 ? ?x) 内的增量△ f ; (2) 在区间 (1,1 ? ?x) 内的平均变化率
?f . ?x

9.自由落体运动物体下落高度公式为 h ? (1) 求下落 5s~6 s 间的平均速度; (2) 求下落 5s~5.1s 间的平均速度.

1 2 2 gt .(g=10m/s ) 2

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-3-

3.1.2 导数的概念

1. 如果质点 A 按规律 s ? 2t 2 运动, 则在 t ? 3s 时的瞬时速度为 ( A .6 2. 已知函数 y ? B.12 C.18 D.24 ( )



f ( x) ,那么下列说法错误的是

A. ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫做函数的增量; B. C.
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 叫函数在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率; ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数; ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数. ?x

lim D. f / ( x 0 ) ? ? x ?0

3. 在导数定义中,自变量的增量 ?x A.大于0 B.小于0



) D.不等于0 ) D.-4
f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) 等于 ?x

C.等于0

4. 函数 f ( x) ? 4 ? 3x 在 x ? 1 处的导数为( A.3 5. 已知函数 y ? ( A. f / ( x 0 ) ) B.2 f / ( x0 ) B.-3 C.4
h ?0

f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim

C.-2 f / ( x0 )

D.0

6. 函数 f ( x) ? x 2 在 x ? 1 处的导数为 7. 已知函数 y ?
f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim
?x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? ?x

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-4-

8. 已知函数 y ?

f ( x) 在 x ? x0 处可导,则 lim ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 )? =
?x ? 0

9.利用函数的定义求: (1) y ? 在 x ? 2 处的导数; (2) y ? x 在 x ? 1 处的导数
4 x

10. 在高台跳水运动中, t s 时运动员相对于水面的高度是 ,求运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度, h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10(单位:m) 并解释此时的运动状况.

11.一个质量为3Kg 的物体作直线运动, 设运动距离 S(单位: cm) 与时间 t(单位:s)的关系可用函数 S (t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物 体的动能 U
? 1 mv 2 .求物体开始运动后第5s 2

时的动能.

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-5-

12.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比,如果车轮启动后 转动第一 圈需要 0.8s,求转动开始后第 3.2s 时的瞬时角速度.

3.1.3 导数的几何意义.

1. 函数 f ( x) ? 4 ? 3x 的导数为( A .4 B.
? 3x

) D. 3 x

C.-3

2. 已 知 函 数 ( )

y ? f ( x)

在 x ? x0 处 的 导 数 f / ( x 0 ) 的 几 何 意 义 是

A.在 x0 处的斜率; B.在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与 x 轴所夹的锐角的正切值; C.曲线 y ?
f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率;

D.点 ( x0 , f ( x0 )) 与点(0,0)连线的斜率. 3.曲线 y ? 2x 2 ? 1 在点 P(-1,3)处的切线方程为( A. y ? ?4 x ? 1 4. 曲线 y ? B. y ? ?4 x ? 7
3 2



C.

y ? 4x ? 1

D. y ? 4 x ? 7 )

1 2 x ? 2 在点 2

P(1, ? )处切线的倾斜角为(
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-6-

A.1 5. 已知函数 y ? 5题

B.

? 4

C.

5? 4

D. ?

?
4

f ( x) 的部分图象如图所示:

2-2p11 第

下列错误的是( A. f / (?5) ? 0

) C. f / (?2) ? 0 D. f / (0) ? 0

B. f / (?5) ? f / (?4)

6. 在高台跳水运动中,t (单位:s)时运动员相对于水面的高 度是 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 (单位:m) ,高度 h 关于时间 t 的导 数 是 速 度 v(t ) ? ?9.8t ? 6.5 , 则 速 度 v(t ) 关 于 时 间 t 的 导 数 是 ,其物理意义是 .

7. 已知函数 y ? (2x ? 1) 2 在 x ? x0 处的导数为0,则 x ? 8.在下列说法中: ①若 f / ( x0 ) 不存在, 则曲线 y ?
f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) f ( x) 在点

处的切线斜率不存在;②若 f / ( x0 ) 不存在,则曲线 y ?

( x0 , f ( x0 )) 处的没有切线;③若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的有切

线, 则 f / ( x0 ) 必存在; ④若 f / ( x0 ) 存在, 则曲线 y ? 处的必有切线.以上说法正确的有 9.求下列函数的导数. (1) y ? ?2 x

f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ))

.

(2) y ? x 2 ? ax ? b ( a, b为常数)

10. 求曲线 y ? ?2x 2 ? 2 在点 P(1,0)处的切线的斜率及其切 线方程.
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-7-

11.在曲线 y ? x 2 上过哪一点的切线, (1)平行于直线 y ? 4 x ? 5 ; (2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 ;

12.根据下列条件,分别画出函数图象在这点附近的大致形状; (1) f (1) ? ?5, f / (1) ? ?1 (2) f (5) ? 10, f / (5) ? 15 (3) f (10) ? 20, f / (10) ? 0

3.2.1 几个常用函数导数
1. 函数 f ( x) ? 0 的导数为( A.0 B.1 ) C.不存在 D.不能确定 )

2. 若质点 A 按规律 s ? t 3 运动,则在 t ? 2s 时的瞬时速度为( A.4 B.3 C.6 D.12 ) D.16 )

3.曲线 y ? x 4 在点 P(-2,16)处的切线斜率为( A.-32 B.-16 C. 32

4.函数 y ? x m 的导数为 y ? 4x 3 ,则 m ? (
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-8-

A.

3 2

B.3

C.4 ) 3

D.2

5. 函数 f ( x) ? 3 x ,则 f / (1) 等于( A .0
1 x

B. ?

1 3

C.

D.4

6. 函数 f ( x) ? ,则 f / ( x) = 7. 已知圆的面积 S ? ? ? r 2 ,则 S / (r) = 8. 函数 y ? 3 9.偶函数 y ?
1 的导数 y / ? x
f ( x) 的导数为 f / ( x) 且在 x ? 0 处的导数存在,则 f / (0) ?

10.求下列函数的导数:
12 (1) y ? x

(2) y ?

1 x4

(3) y ?

5

x3

(4) y ? x x

11. 曲线 y ? 方程.

1 5 x 上一点 5

P 的切线与直线 y ? 3 ? x 垂直,求此切线

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-9-

12.已知 P(?1,1),Q(2,4) 是曲线 y ? x 2 上的两点, 则与直线 PQ 平行的 曲线 y ? x 2 的切线方程.

*13. 设直线 l1 与曲线 y ? x 相切于点 P , 直线 l 2 过点 P 且垂直于 l1 , 若 l 2 交 x 轴于 Q 点,又作 PK 垂直 x 轴于 K ,求 KQ 的长。

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- 10 -

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.下列运各式中正确的是(
u / u/ A. ( ) ? v v


u / uv/ ? u / v B. ( ) ? v v2

C. (

u / uv/ ? u / v ) ? v v2

D. (

u / u / v ? uv/ ) ? v v2

2. 函数 y ? 2x 3 ? 3 x ? cos x ,则导数 y / =( A. 6 x
2


2

?x

?

2 3

? sin x
2

1 ? B. 2 x ? x 3 ? sin x 3
2

1 ? C. 6 x ? x 3 ? sin x 3
2

1 ? D. 6 x ? x 3 ? sin x 3
2

2

3. 函数 y ? A. ?
sin x x2

cos x 的导数是( x

) C. ?
x sin x ? cos x x2

B. ? sin x

D. ?

x cos x ? cos x x2

4.设 f ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ?? an?1 x ? an (n ? N*) ,则 f / (0) =( A. a n 5. 函数 y ? A. a B. an?1 C. a0 D.0



x2 ? a2 (a ? 0) 的导数为 x

0,那么 x 等于( C. ? a D. a 2



B.

?a

6. 函数 y ? ( x ? 1) 2 ,则 y / = 7. 函数 y ? x ? 2 sin cos ,则 y / = 8.已知函数 f ( x) ? 13 ? 8x ? 2x 2 ,且 f / ( x0 ) ? 4 ,则 x0 ? 9. 曲线 y ?
sin x 在点 x

x 2

x 2

P( ? ,0)处的切线方程为
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- 11 -

10.求下列函数的导数:
3 (1) y ? x ? log2 x

(2) y ? x e
n

x

(3)

y?

x2 ?1 sin x

( 4) y ?

2 1? x

?

2 1? x

11.已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f / ( x) ; (2)求这个函数在 x ? 1 处的切线方程.

12.氡气是一种由地表自然散发的无味放射性气体 ,如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后, 氡气的剩余量为 A(t ) ? 500? 0.834t . (1) 氡气的散发速度是多少? (2) A/ (7) 的值是多少(精确到 0.1)? 它表示什么意义?

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- 12 -

3.3.1 函数的单调性与导数(一)
1. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 的单调递减区间为 A. (?1,1) B. (1,2) C. (??,?1) ( ) B.在 (0,??) 上递增 D.在 (0, ) 上递增 )
1 e





D. (??,?1), (1,??)

2.已知函数 f ( x) ? x ln x ,则 A.在 (0,??) 上递减 C.在 (0, ) 上递减
1 e

3.在区间 (a, b) 内, f / ( x) ? 0 是 f ( x) 在 (a, b) 内递增的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件

D.既不充分也不必要条件 ) D.以上

4. 函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 在区间 (??,??) 上( A.是减函数 都不对 5. 函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x ? 1 的单调递增区间为 A. (0, C. [
1 ) 2

B.是增函数

C.不是单调函数





1 , ? ?) 2

1 1 ,0)及( , ? ?) 2 2 1 1 D. (?? ,? )及(0, ) 2 2

B. ( ?

6. 函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x 的单调递减区间为
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- 13 -

7. 函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 2 ,g ( x) ? x 2 ? 1 , 则 f [ g ( x)] 在区间 (? 2 ,0) 上为 8. 函数 f ( x) ? 函数. (增或减)
x ? cos x x ? (0,2? ) 的单调递减区间为 2

9.在下列命题中 ①若函数 f ( x) 在 (a, b) 内递增,则对于任意的 x ? (a, b) ,都有
f / ( x) ? 0 ;

②若在 (a, b) 内 f / ( x) 存在,则 f ( x) 在 (a, b) 内必为单调函数; ③若在 (a, b) 内对于任意的 x ? (a, b) 都有 f / ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (a, b) 内必为增函数; ④若可导函数在 (a, b) 内有都有 f / ( x) ? 0 ,则,则 f ( x) 在 (a, b) 内必 为减函数; ⑤可导的单调函数的导函数仍为单调函数; 其中正确的有 10.判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? ?2 x ? 1 (2) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 4 (3) f ( x) ? x3 ? 3x

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- 14 -

11. 求函数 f ( x) ? x 4 ? 2x 2 ? 3 的单调区间.

12.求证: 函数 f ( x) ? x ?
p ( p ? 0) 在区间 [ p ,??) 上是单调递增函数 x

3.3.1 函数的单调性与导数(二)
1. 函数 f ( x) ?
2x ( 1 ? x2

) B. 在 (?1,1) 上递增, 在其余区间内递减; D. 在 (?1,1) 上递减, 在其余区间内递增;

A. 在 (??,??) 上递增 C. 在 (??,??) 上递减 2. 在 区 间 (a, b) 内 , ( )

f / ( x) ? 0

,且

f (a) ? 0 , 则 f ( x)

在 ( a, b) 内 有

A. f ( x ) ? 0

B. f ( x ) ? 0

C. f ( x ) ? 0

D.不能确定 ( )

3.方程 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 ? 0 在区间 (0,2) 内根的个数为 A.0 4. 已知函数 B.1
f ( x) ?

C.2

D.3 的在 (??,??) 单

1 3 x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m 2 ? 2m ? 7) x ? 2 3
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- 15 -

调递增,则 m 的取值范围是( A. m ? ?2或m ? 1
2 3

) D.以上都不对

B. ? 4 ? m ? ?2
5

C. 2 ? m ? 4 ) C.c<a<b

5. 若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则( A.a<b<c B.c<b<a

D.b<a<c
y
1

6.已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导 函数),下面四个图象 中 y ? f ( x) 的图象大致是( ) -2

x
1 2

-1

O -1

y
2 2 1

y
4

y
4 2 1

y

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

O
1

1

x
2

2 1 -2 -1 O

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x

A

B

C

D

7.当 x ? (0, ? ) 时,比较大小: sin x

x
f / ( x) ? 0 ,且有

8. 已知 f ( x) 是 R 上的偶函数,在区间 (??,0) 上

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (?3a 2 ? 2a ? 1) ,则 a 的取值范围是

9. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是

10. 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 上为减 3 2
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- 16 -

函数,在区间 (6,??) 为增函数,试求 a 的取值范围.

11. 已知 x ? 0 ,求证: x ? e

x

3.3.2 函数的极值与导数(一) .
1. 已知函数 f ( x) ? x ,在 x ? 0 处函数极值的情况是( A.没有极值 不能确定 2. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图 象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点 ( A. 1个 B.2 个 C.3 个
y



B.有极大值

C.有极小值

D.极值情况



D. 4 个
y ? f ?( x )

b

a

O

x

3.函数 f ( x) ? 1 ? 3x ? x 3 有( A.极小值-1,极大值1

) B.极小值-2,极大值3

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- 17 -

C.极小值-2,极大值2 3

D.极小值-1,极大值

4.函数 f ( x) ? ax3 ? bx 在 x ? 1 处有极值 ? 2 , 则 a, b 的值分别为 ( A. 1,?3 B. 1,3 C. ? 1,3 ) D. ? 1,?3



5. 下列说法正确的是( A.可导函数必有极值

B.函数在极值点必有意义 D.函数在极值点的导数一

C.函数的极小值不会大于极大值 定存在
ln 2 x 6. 函数 y ? 的极小值为( x


2 e

A.

4 e2

B.0

C.

D.1 ,极大值为 ,此时 x ?

7. 函数 f ( x) ? x3 ? 12x 极小值为 8. 函数 f ( x) ?
x 的极大值为 1 ? x2

9.求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6x 2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? 6 ? 12x ? x 3

10. 求函数 f ( x) ? x ? 2 cos x 的极值.

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- 18 -

11. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值, 且 f (1) ? ?1 , (1)试求 a, b, c 的值. (2)试判断 x ? ?1 是函数的极小值点还是极大值点,并说明理 由.

12.设函数 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? a)(a ? 1) . (1)求导数 f ?( x) ; (2)求证: f ( x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 .

3.3.2 函数的极值与导数(二) .

1.若函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,则 “ f / ( x0 ) ? 0 ”是

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- 19 -

“ x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点”的( A.充分但不必要条件 C.充要条件
x



B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.有极小值 1,无极大值 D.无极值
f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =

2. 函数 f ( x) ? 1 ? ln x ,则 y ? f ( x) ( A.有极小值 0,无极大值 C.仅有极大值 1 3. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

4. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在 (0,1) 有极小值,则 A. 0 ? b ? 1 5. 已知函数 B. b ? 1 C. b ? 0 D. b ? 1
2

,则 f ( x) ? x 3 ? px2 ? qx 的图象与 x 轴切于点( 1, 0 ) ) B.极大值 0,极小值 ? D.极大值
5 27 4 27

f ( x) 的极值为(

A.极大值

4 27

,极小值 0
5 27

C.极大值 0,极小值 ?

,极小值 0 ) D. a ? 0

6. 函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1 有极值的充要条件是( A. a ? 0 B. a ? 0
?x

C. a ? 0

7. 函数 f ( x) ? xe 的极大值为 8. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取 值范围是

第 19 页 共 31 页

- 20 -

9. 求函数 f ( x) ? ( x 2 ? 1)3 ? 1的极值

王新敞
奎屯

新疆

10. 已知函数 f ( x) 的导数 f / ( x) ? 4x 3 ? 4x ,图象经过定点(0,- 5) , (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 的极值.

11. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '(x) 的图象经过点 (1,0) , (2,0) ,如图所示.求: (1) x0 的值; (2) a, b, c 的值.

第 20 页 共 31 页

- 21 -

12.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2(a ? 0) . (1)求函数 f ( x) 的极值; (2) 讨论方程 x 3 ? 3a 2 x ? 2 ? 0 何时有3个不同的实根?何时 有唯一的实根

3.3.3 函数的最大(小)值与导数(一)

1.下列说法正确的是(

) B.函数的极小值就是函

A.函数的极大值就是函数的最大值 数的最小值 C.函数的最值一定是极值 定存在最值

D.在闭去间上的连续函数一

2.函数 f ( x) ? x 4 ? 8x 2 ? 2 在 ??1,3? 上的最大值为( A.11 B.2 C.12

) D.10 ) D. 3
8

3. 函数 f ( x) ? x(1? x 2 ) 在 ?0,1? 上的最大值为( A.
2 3 9

B. 2

2 9

C.

3 2 9

?? 4. 函数 y ? x ? 2 cos x 在 ? ( x 的值是 ?0, ? 上取最大值时,
? 2?



A.0

B. ?

6

C. ?

3

D. ?

2

第 21 页 共 31 页

- 22 -

5.函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上连续,且在 (a, b) 内可导,则下面结论中 正确的是( ) B. f ( x) 的最值点一定是极

A. f ( x) 的极值点一定是最值点 值点 C. f ( x) 在 [a, b] 上的可能没有极值点 最值点

D. f ( x) 在 [a, b] 上的可能没有

6. 函数 f ( x) ? 6x 2 ? x ? 2 x ? [1,2] 的最大值为 7. 函数 y ? e x ? e ? x 8. 函数 f ( x) ? 6 ? 12x ? x3 的最小值为
? 1 ? x ? ?? ,1? 的最大值为 ? 3 ?

,最小值为

,最小值为

9. 求下列函数的最值: (1) f ( x) ? x3 ? 12x
x ? ?? 3,3?

(2) f ( x) ? x ? 2 x

x ? ?0,4?

10. 求函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

1 2 x 在 [0,2] 上的最大值与最小值. 4

第 22 页 共 31 页

- 23 -

11. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b 在 [?1,2] 上的最大值为 3 ,最 小值为 ? 29 ,求 a, b 的值.

12. 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) . (1)求导数 f / ( x) ; (2)若 f / (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值和最小值; (3)若 f ( x) 在 (??,?2] 和 [2,??) 上是递增的,求 a 的取值范围.

3.3.3 函数的最大(小)值与导数(二)

第 23 页 共 31 页

- 24 -

1.对于函数 y ?

2 x ? 1 ,下列结论中正确的是(



A. y 有极小值0,且0也是最小值 是极小值 C. y 有极小值0,但0不是最小值 不是最小值 2.函数 y ? A
1 e2

B. y 有最小值0,但0不

D.0既不是极小值,也

x ex

在 ?0,2? 上的最大值是( B. 1
e

) D.
1 2 e


X

C.



3. 若函数 f(x)=

1 , 2 ?1

则该函数在(-∞,+∞)上是

(

)

(A)单调递减无最小值 小值 (C)单调递增无最大值 大值

(B) 单调递减有最

(D) 单调递增有最

4.若函数 y ? ?x 2 ? 2x ? 3 在区间 ?a,2? 上的最大值为 3 3 ,则 a 等于
4

( A. ? 3
2

) B. 1
2

C. ? 1

2

D. ? 1 或 ? 3
2 2

5. 已知 x ? 0, y ? 0, x ? 3 y ? 9 ,则 x 2 y 的最大值为( A.36 B.18 C.25

) D.42 )

6. 连续函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 有最大值是有极大值的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 7. 函数 y ? sin x ? cos x
x ? [?

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条
? ?
, ] 的最大值为 2 2

第 24 页 共 31 页

- 25 -

8. 函数 y ? x ?

3 x

x ? [2,??) 的最小值为

9. 求函数

f ( x) ?

x 2 ? 5x ? 6 x2 ? 1

在 [?1,3] 上的最大值与最小值.

10. 当 x ? 0 时,求证: e x ? 1 ? x .

11. 已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2

? 2x ,求 x 2 y 2 的取值范围.

第 25 页 共 31 页

- 26 -

12. 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取 得极值 (1) 求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间
2

2 3

(2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c 恒成立,求 c 的取 值范围

3.4 生活中的优化问题举例(一)

1.用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的 四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊 成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的小正方形边长为 ( ) B.8cm C.10cm D.12cm

A.6cm

2. O 为原点,抛物线

y ? 3 ? x 2 ( y ? 0) 和平行于 x 轴的直线交于不

同两点 A、B,那么当 ?ABC 的面积达到最大值时,A、B 的坐标
第 26 页 共 31 页

- 27 -

为(

) B.A(0,1) ,B(1,

A.A(2,1) ,B(-2,1) 1) C.A(1,0) ,B(-1,0) 2)

D.A(1,2) ,B(-1,

3. 一条长为 l 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,截得两段 铁丝长分别为( 小. A. l , l 4.
2 2

)时,才能使两个正方形的面积和最

B. l , 2 l
3 3

C. l

3l 4 4 ,

D.

2 2? 2 l, l 2 2

把长为 60cm 的铁丝围成矩形,当长为 cm 时,矩形面积最大.

cm,宽为

5. 已知一个扇形的周长为 l ,则扇形的面积最大值为 6. 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系为 C ? 100? 4q ,价 格 P 与产量 q 的函数关系为 P ? 25 ? 1 q ,则产量 q =
8

时,利

润 L 最大. 7. 学校举行某项活动,需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张长方形的海报, 要求版心面积为 128dm2 ,上、 下两边各留空 2dm 左、右两边各留空 1dm ,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白 的面积最小?

第 27 页 共 31 页

- 28 -

8. 已知某商品进价为 a 元,根据以往的经验,当售价是 b(b ? 4 a )
3

元/件时,可卖出 c 件.市场调查表明,当售价下降 10% 时, 销售可增加 40 % .现决定一次性降价,销售价定为多少时, 可获得最大利润?

9. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示 为:
y? 1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 已知甲、乙两地相距 128000 80

100 千米。

(I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最 少?最少为多少升?

第 28 页 共 31 页

- 29 -

3.4 生活中的优化问题举例(二)

1. 圆柱形金属饮料罐容积为 V(定值) ,它的高 h,半径 r, 则 h:r 等于( A.1:1 )时,最省材料. B.2:1 C.1:2 D.
2 :1

2.横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比,并和高的平方成正 比,要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,则断面的高和 宽的比为( A.1:1 ) B.2:1 C.1:2 D.
2 :1

3. 如图,直线 l 和圆 C ,当 l 从 l 0 开始在平面上绕点 O 按逆时针 方向匀速转动(转动角度不超过 90 ? )时,它扫过的圆内阴影部 分的面积 S 是时间
t 的函数,这个函数的图象大致是(



[图在选修1-1P121 页

9题]

4. 做一个容积为 256m 的长方体无盖水箱,底面是正方形,则 它的高为 时,最省材料. 5. 做一个容积为 27? 的圆柱形无盖水箱,则它的底面半径为 时, 最省材料. 6. 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次
第 29 页 共 31 页

3

- 30 -

测量分别得到 a1,a2,??,an,共 n 个数据.我们规定所测量 物理量的 “最佳近似值” a 是这样一个量: 与其他近似值比较, a 与各数据的差的平方和最小.依此规定,从 a1,a2,??,an 推出的 a= .

7. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人 的团体,每人收费 1000 元.如果团体的人数超过 100 人,那 么每超过 1 人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过 180 人.如何组团,可使旅行社的收费最多?

8. 已 知 某 厂 生 产 x 件 产 品 的 成 本 为 C ( x) ? 250000 ? 200 x ? (元) . (1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?

1 2 x 40

(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件 产品?

第 30 页 共 31 页

- 31 -

9.如图, 设电源电动势为 E,内阻为 r, 问负载电阻 R 与 r 成何 比值时,负载电阻得到的功率最大?
R E r

10. 已知 A,B 两地的距离为 130km, 按交通法规规定,A,B 两地 之间的公路车速应限制在 50 ~ 100km/h.假设汽油的价格
x2 ) L/h,司机每小时的工资 360

是 3 元/升,汽车的耗油率为 (3 ?

是 14 元.那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用, 这次行车的总费用是多少?

第 31 页 共 31 页



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