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【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数模型及其应用 理 北师大版



第九节
【考纲下载】

函数模型及其应用

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数 增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用.

1.三种函数模型性质比较

y

=ax(a>1)
在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 单调递增函数 越来越快 随 x 值增大,图象与 y 轴接近平行

y=logax(a>1)
单调递增函数 越来越慢 随 x 值增大,图象与 x 轴接近平行

y=xn(n>0)
单调递增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

2.几种常见的函数模型 (1)一次函数模型:y=ax+b,(a≠0); (2)反比例函数模型:y= (k≠0); (3)二次函数模型:y=ax +bx+c(a≠0); (4)指数函数模型:y=N(1+p) (x>0,p≠0)(增长率问题); (5)对数函数模型 y=blogax(x>0,a>0 且 a≠1); (6)幂函数模型 y=ax +b(a,b 为常数,a≠0); (7)y=x+ 型(x≠0); (8)分段函数型.
n x
2

k x

a x

1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么?
-1-

提示:直线上升:匀速增长,其增长量固定不变;指数增长:先慢后快,其增长量成倍 增加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增长速度缓慢. 1 x 100 x 2.函数 y1= e ,y2=100ln x,y3=x ,y4=100×2 中,随 x 的增大而增大速度最快 100 的函数是哪一个? 提示:y1= 1 x e. 100

1.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是(

)

x y

4 15

5 17

6 19

7 21

8 23

9 25

10 27

A.一次函数模型 C.指数函数模型

B.幂函数模型 D.对数函数模型

解析:选 A 根据已知数据可知,自变量每增加 1,函数值增加 2,因此函数值的增量是 均匀的,故为一次函数模型. 2.某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由 1 个 繁殖成 4 096 个需经过( A.12 小时 C.3 小时
4t

) B.4 小时 D.2 小时
t

解析:选 C 由题意知 2 =4 096,即 16 =4 096,解得 t=3. 3.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车 存车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存 车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 解析:选 D y=0.2x+(4 000-x)×0.3=-0.1x+1 200. 4 .(2014·渭南模拟 ) 某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元.用同样工时,可以生产最低档产品 60 件,每提高 一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是________. 解析:由题意,第 k 档次时,每天可获利润为:y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k
2

)

-2-

+108k+378(1≤k≤10),配方可得 y=-6(k-9) +864,∴k=9 时,获得利润最大. 答案:9 5.某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,按九折出 售,每件还获利________元. 解析:九折出售时价格为 100×(1+25%)×90%=112.5 元,此时每件还获利 112.5-100 =12.5 元. 答案:12.5

2

高频考点

考点一 一次函数、二次函数模型

1.由于受到新课标中概率模块的冲击,实际应用题被概率问题占据了位置,逐步退出 命题的热点,但以二次函数为模型的应用题还是常出现在高考试题中,既有选择题、填空 题,也有解答题,难度适中,属中档题. 2.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度: (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题; (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.

[例 1]

(1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的

内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________m. (2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一 般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥 上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. ①当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; ②当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时)
-3-

x 40-y [自主解答] (1)设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可得 = ,解得 y 40 40
=40-x,所以面积 S=x(40-x)=-x +40x=-(x-20) +400(0<x<40), 当 x=20 时,Smax=400.
2 2

(2)①由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 ? ?a=-3, 解得 ? 200 ? ?b= 3 .

? ?200a+b=0, 再由已知 得 ? ?20a+b=60, ?

故函 数 v(x) 的表达式 为 v(x) =

60,0≤x≤20, ? ? ?1 ?200-x?,20≤x≤200. ? ?3 60x,0≤x≤20, ? ? ②依题意并由(1)可得 f(x)=?1 x?200-x?,20≤x≤200. ? ?3 增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1?x+?200-x??2 10 000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? ? = 3 ,当且仅当 x=200 2 3 3? ? -x, 10 000 即 x=100 时,等号成立.所以当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333, 3

当 0≤x≤20 时,f(x)为

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时. [答案] (1)20

一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型.解决此类问题应注意三点:①二次函数的最值 一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;② 确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;③解决函数应用问题

-4-

时,最后要还原到实际问题. (2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点:①实际问题中有些变量间 的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间 的关系,应构建分段函数模型求解;②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合 理、不重不漏;③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).

1 .(2013·上海高考 ) 甲厂以 x 千克 / 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 3? ? 1≤x≤10),每一小时可获得的利润是 100?5x+1- ?元.

?

x?

? 1 3? (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a·?5+ - 2?元; ?
x x?
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此 最大利润. 解: (1) 证明:生产 a 千克该产品所用的时间是

a 小时,∵每一小时可获得的利润是 x

3? 3? a ? ? 100?5x+1- ?元,∴获得的利润为 100?5x+1- ?× 元.因此生产 a 千克该产品所获得的

?

x?

?

x? x

? 1 3? 利润为 100 a?5+ - 2?元. ?
x x?

? 1 3? (2)生产 900 千克该产品获得的利润为 90 000·?5+ - 2?元,1≤x≤10. ?
x x?
3 1 ?1 1?2 1 设 f(x)=- 2+ +5,1≤x≤10.则 f(x)=-3? - ? + +5,当且仅当 x=6 取得最大 x x ?x 6? 12 值. 61 故获得最大利润为 90 000× =457 500 元.因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可 12 获得最大利润 457 500 元. 2 .据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度

v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过
的路程 s(km).

(1)当 t=4 时,求 s 的值;

-5-

(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由. 1 解:(1)由图象可知:当 t=4 时,v=3×4=12,∴s= ×4×12=24. 2 1 3 2 1 (2)当 0≤t≤10 时,s= ·t·3t= t ;当 10<t≤20 时,s= ×10×30+30(t-10)= 2 2 2 30t-150; 1 1 2 当 20<t≤35 时,s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t 2 2 3 ? 2 ? t ,t∈[0,10], +70t-550.综上,可知 s=? 30t-150,t∈?10,20], ? ?-t +70t-550,t∈?20,35].
2 2

3 2 (3)沙尘暴会侵袭到 N 城.∵t∈[0,10]时,smax= ×10 =150<650,t∈(10,20]时,smax 2 =30×20-150=450<650,∴当 t∈(20,35]时,令-t +70t-550=650.解得 t1=30,t2= 40. ∵20<t≤35,∴t=30.∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.
2

考点二

函数 y=x+ 模型的应用

a x

[例 2]

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热

层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑 物每年的能源消耗费用 C( 单位:万元 ) 与隔热层厚度 x( 单位: cm) 满足关系 C(x) =

k 3x+5

(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年 的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 800 [自主解答] (1)由已知条件得 C(0)=8,则 k=40,因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ 3x+5 (0≤x≤10). 800 (2)f(x)=6x+10+ -10≥2 3x+5 800 ?6x+10? -10=70(万元), 3x+5

-6-

800 当且仅当 6x+10= ,即 x=5 时等号成立.所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 3x+5

f(x)达到最小值,最小值为 70 万元.
【方法规律】 把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关 (1)事理关:通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破 口; (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系; (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相 应的数学模型.

某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧 内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少? 800 解:设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m.

2

x

∴蔬菜种植面积 y=(x-4)? 1 600 ∵x+ ≥2

?800-2?=808-2?x+1 600?(4<x<400). ? ? x ? ? x ? ? ?
x

x



1 600 1 600 =80,∴y≤808-2×80=648.当且仅当 x= ,

x

800 2 即 x=40 时取等号,此时 =20,y 最大值=648(m ).

x

即当矩形温室的边长各为 40 m、20 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是 648 m .

2

考点三

指数函数模型

[例 3] 已知某物体的温度 θ (单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律是 θ =

m·2t+21-t(t≥0,并且 m>0).
(1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. [自主解答] (1)若 m=2,则θ =2·2 +2
t
1-t

? t 1? =2?2 + t?, 2? ?

1 5 1 5 t t 2 当θ =5 时,2 + t= ,令 2 =x(x≥1),则 x+ = ,即 2x -5x+2=0, 2 2 x 2

-7-

1 解得 x=2 或 x= (舍去),此时 t=1.所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. 2 2 t (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即θ ≥2 恒成立,亦 m·2 + t≥2 恒成立. 2 1 1 ?1 1 ? 2 2 亦即 m≥2? t- 2t?恒成立.令 t=y,则 0<y≤1,∴m≥2(y-y )恒成立,由于 y-y ≤ , 2 4 ?2 2 ? 1 ?1 ? ∴m≥ .因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是? ,+∞?. 2 ?2 ? 【方法规律】 应用指数函数模型应注意的问题 (1) 指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利 率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决; (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入 验证,确定参数,从而确定函数模型; (3)y=a(1+x) 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
n

一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中 的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规 定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,此人至少经过________小时才能 开车.(精确到 1 小时) 解 析 : 设 经 过 x 小 时 才 能 开 车 . 由 题 意 得 0.3(1 - 25%) ≤0.09 , ∴ 0.75 ≤0.3 ,
x x

x≥log0.750.3≈5.
答案:5 —————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?1 个防范——实际问题的定义域 要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. ?1 个步骤——解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知 识, 建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

-8-

实际问题 答

分析、联想 数学 还原 建立函数模型 ― ― ― → ― → 数学结果 ― ― → 实际结果 抽象、转化 推演

答题模板(一) 函数建模在实际问题中的应用

[典例] (2012·江苏高考)(12 分)

如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- 1 2 2 (1+k )x (k>0)表示的曲 20

线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

[快速规范审题] 第(1)问 1.审结论,明解题方向 应求出射程的关系式 观察所求结论:求炮的最大射程 ― ― → 问题转化为求函数图象与 x 轴交点 的横坐标的最大值. 2.审条件,挖解题信息 观 察 条 件 : 炮 弹 发 射 后 的 轨 迹 方 程

y = kx -

1 (1 + 20

k2)x2(k>0)

20k 令y=0,可得图象与x轴交点的横坐标,即射程 ― ― → x= 2. 1+k

3.建联系,找解题突破口 20k 利用基本不等式 20 令 y=0,得 x= ― ― → x= ≤10,从而可求炮的最大射程. 2 1+k 1 k+

k

第(2)问
-9-

1.审结论,明解题方向 考虑炮弹击中目标的条件 观察所求结论:横坐标 a 不超过多少时,炮弹可击中目标 ― ― → 炮弹 击中目标,即点(a,3.2)满足炮弹发射后的轨迹方程. 2.审条件,挖解题信息 1 2 2 观察条件:y=kx- (1+k )x (k>0). 20 3.建联系,找解题突破口 1 即关于k的方程有正根 2 2 炮弹击中目标,即 3.2=ka- (1+k )a (k>0)有解 ― ― → 利用 Δ ≥0 求得 20 结论. [准确规范答题] 此处易发生读不懂题意,不能建立x与k的关系而造成题目无法求解 1 2 2 (1)令 y=0,得 kx- (1+k )x =0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0,?2 分 20 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米. 2= 1+k 1 2 k+

k

?5 分 此处易发生不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题而致误 1 2 2 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k )a 成立. ?8 分 20 即关于 k 的方程 a k -20ak+a +64=0 有正根. 此处易发生不能根据判别式列出不等式求解而致误 所以判别式 Δ =(-20a) -4a (a +64)≥0,解得 a≤6.所以当 a 不超过 6 千米时,可击 中目标. 分 [答题模板速成] 解决函数建模问题的一般步骤: ?12
2 2 2 2 2 2

?10 分

第一步 审清题意

弄清题意,理顺条件和结论,找到关键量,明确数 量关系

第二步 找数量关系

把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键 量之间的数量关系,这是问题解决的一把钥匙

- 10 -

第三步 建数学模型

将数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模 型

第四步 解数学问题

利用所学数学知识解决转化后的数学问题, 得到相应的数学结论

第五步 返本还原

将数学结论还原为实际问题本身所具有的意义

第六步 反思回顾

查看关键点、易错点,如本题函数关系式, 定义域等

[全盘巩固] 1.(2014·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快稳 定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运 输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效 率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

解析:选 B 渐增大.

由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐

2.客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后 以 80 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到 达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间的关系式正确的是 5 A.s(t)=60t,0≤t≤ 2 ( )

60t,0≤t≤1, ? ? B.s(t)=? 5 80t-60,1<t≤ ? 2 ?

60t,0≤t≤1, ? ? C.s(t)=? 5 0,1<t≤ ? 2 ?

? 3 ? 60,1<t≤ , 2 D.s(t)=? 3 5 ? ?80t-60,2<t≤2
60t,0≤t≤1,
- 11 -

解析:选 D

由 题 意 可 得 路 程 s 与 时 间 t 之 间 的 关 系 式 为 s(t) =

? ?60,1<t≤3, 2 ? 3 5 ? ?80t-60,2<t≤2.
60t,0≤t≤1, 3.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:

x y

-2 0.24

-1 0.51

0 1

1 2.02

2 3.98

3 8.02 )

则下列函数与 x,y 的函数关系最接近的是(其中 a,b 为待定系数)( A.y=a+bx C.y=ax +b
2

B.y=a+b D.y=a+

x

b x

解析:选 B 由数据可知 x,y 之间的函数关系近似为指数型. 4.一个人以 6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车 25 m 时,交通灯由红 变绿,汽车以 1 m/s 的加速度匀加速开走,那么( A.人可在 7 s 内追上汽车 B.人可在 10 s 内追上汽车 C.人追不上汽车,其间距最少为 5 m D.人追不上汽车,其间距最少为 7 m 1 2 解析:选 D 设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米,则 s= t ,车与人的间距 d=(s+25) 2 1 2 1 2 -6t= t -6t+25= (t-6) +7,当 t=6 时,d 取得最小值为 7. 2 2
2

)

5.图形 M(如图所示)是由底为 1,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两个矩形所构成, 函数 S=S(a)(a≥0)是图形 M 介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分面积,则函数 S(a)的 图象大致是( )

- 12 -

解析:选 C 法一:依题意,当 0≤a≤1 时,S(a)=

a?2-a?
2

1 2 +2a=- a +3a; 2

1 1 5 当 1<a≤2 时,S(a)= +2a;当 2<a≤3 时,S(a)= +2+a=a+ ; 2 2 2

? ? 1 2a+ ,1<a≤2, ? 2 1 11 当 a>3 时,S(a)= +2+3= ,于是 S(a)=? 2 2 5 a+ ,2<a≤3, ? 2 11 ? ? 2 ,a>3.
由解析式可知选 C.

1 2 - a +3a,0≤a≤1, 2

法二:直线 y=a 在[0,1]上平移时 S(a)的变化量越来越小,故可排除选项 A、B.而直线 y =a 在[1,2]上平移时 S(a)的变化量比在[2,3]上的变化量大,故可排除选项 D.

6.(2014·汉中模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角 为 60°(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为 9 3 m ,且高 度不低于 3 m.记防洪堤横断面的腰长为 x m,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为
2

y m.要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 m,则其腰长 x 的取值范围为(
A.[2,4] B.[3,4] C.[2,5] D.[3,5]

)

1 x 3 解析:选 B 根据题意知,9 3= (AD+BC)h,其中 AD=BC+2· =BC+x,h= x, 2 2 2

- 13 -

∴9

3 ? h= x≥ 3, ? 2 1 3 18 x 3= (2BC+x) x,得 BC= - ,由? 2 2 x 2 18 x ? ?BC= x -2>0,

得 2≤x<6.

18 3x 由 y=BC+2x= + ≤10.5,得 3≤x≤4.∵[3,4]? [2,6),∴腰长 x 的范围是[3,4]. x 2 7.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后 剩余的细沙量为 y = ae
- bt 3

(cm ) ,经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

3

________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析:依题意有 a·e
-b×8

1 ln 2 ln 2 = a,∴b= ,∴y=a·e- ·t 2 8 8

ln 2 1 若容器中只有开始时的八分之一,则有 a·e- ·t= a.解得 t=24, 8 8 所以再经过的时间为 24-8=16 min. 答案:16 8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润 (单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x
2

和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大 利润为________万元. 解析:设该公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售 (15 - x) 辆,利润为 L(x) = 5.06x -
2 153 ? 153?2 2 2 0.15x +2(15-x)=-0.15x +3.06x+30=-0.15?x- ? +0.15× +30,由于 x 为整 15 ? 225 ?

数,所以当 x=10 时,L(x)取最大值 L(10)=45.6,即能获得的最大利润为 45.6 万元. 答案:45.6 9.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的,其中 500 元给予九折优惠,超过 500 元的给予八五折优惠. 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付 款________元. 10 解析:由题意知付款 432 元,实际标价为 432× =480 元,如果一次购买标价 176+480 9 =656 元的商品应付款 500×0.9+156×0.85=582.6 元. 答案:582.6 10.设某旅游景点每天的固定成本为 500 元,门票每张为 30 元,变动成本与购票进入旅 游景点的人数的算术平方根成正比.一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一天购票 人数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元.设每天的购票人数为 x,盈利额为 y 元.
- 14 -

(1)求 y 与 x 之间的函数关系; (2)该旅游景点希望在人数达到 20 人时就不出现亏损,若用提高门票价格的措施,则每 张门票至少要多少元(取整数)?(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24)

解:(1)根据题意,当购票人数不多于 100 时,可设 y 与 x 之间的函数关系为

y=30x-500-k x(k 为常数,k∈R 且 k≠0).∵人数为 25 时,该旅游景点收支平衡,
∴ 30×25 - 500 -

k

25



0







k



50.



y



?30x-50 x-500?x∈N*,x≤100?, ? ?30x-50 x-700?x∈N*,x>100?.
(2)设每张门票价格提高为 m 元,根据题意,得 m×20-50 20-500≥0, (3)∴m≥25+5 5≈36.2,故每张门票最少要 37 元. 11.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为

y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补 贴多少元才能使该单位不亏损? 解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为

1 2

y 1 80 000 = x+ -200≥2 x 2 x

1 80 000 1 80 000 x· -200=200,当且仅当 x= ,即 x=400 2 x 2 x

时,上式取等号,即当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本 为 200 元. 1 2 ?1 2 ? (2)设该单位每月获利为 S,则 S=100x-y=100x-? x -200x+80 000?=- x +300x 2 2 ? ? 1 2 -80 000=- (x-300) -35 000,因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值-40 2 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. 12.某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章,每枚进价为 5 元,同时每销售一枚 这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格 销售时该店一年可销售 2 000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基 础上每减少一元则增加销售 400 枚,而每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销 售价格为 x(元).

- 15 -

(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销售价 格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域); (2)当每枚纪念章销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y(元)最大,并求出 这个最大值.
? ?[2 000+400?20-x?]?x-7?,0<x≤20, 解:(1)依题意 y=? ? ?[2 000-100?x-20?]?x-7?,20<x<40, ?400?25-x??x-7?,0<x≤20, ? ∴y=? ?100?40-x??x-7?,20<x<40. ?

此函数的定义域为(0,40).

400[-?x-16? +81],0<x≤20, ? ? (2)y=? ? ? 47?2 1 089? 100?-?x- ? + ?,20<x<40. ? 2? 4 ? ? ? ?

2

若 0<x≤20,则当 x=16 时,ymax=32

47 400(元).若 20<x<40,则当 x= 时,ymax=27 225(元).综上可得当 x=16 时,该特许专营 2 店获得的利润最大为 32 400 元.

[冲击名校] 1.某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一 个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为 f(n)=k(n)·(n -10),n>10(其中 n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该

? ?100 科省平均分之差,f(n)的单位为元),而 k(n)=?200 300 ? ?400
0 A.600 元 B.900 元 C.1 600 元 D.1 700 元

?n≤10?, ?10<n≤15?, ?15<n≤20?, ?20<n≤25?, ?n>25?. 现有甲、乙

两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分,而乙所教的学生高考 数学平均分超出省平均分 21 分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )

解析:选 D k(18)=200,∴f(18)=200×(18-10)=1 600.又∵k(21)=300,∴f(21) =300×(21-10)=3 300,∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700.故乙所得奖励比甲所得 奖励多 1 700 元. 2.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用 水超过 4 吨时,超过的部分为每吨 3.00 元.若甲、乙两户某月共交水费 y 元,且甲、乙两户 该月用水量分别为 5x 吨、3x 吨,则 y 关于 x 的函数关系式为________.

- 16 -

4 解析:依题意可知,当甲、乙两户用水量都不超过 4 吨,即 0≤x≤ 时,y=1.8(5x+3x) 5 4 4 =14.4x;当甲户用水量超过 4 吨,乙户用水量不超过 4 吨,即 <x≤ 时,y=3(5x-4)+ 5 3 4 4×1.8+3x×1.8=20.4x-4.8;当甲、乙两户用水量都超过 4 吨,即 x> 时,y=3(5x-4+ 3

? ? 4? ?4 3x-4)+4×1.8×2=24x-9.6.故 y=?20.4x-4.8? <x≤ ?, 3? ?5 4 ? ?24x-9.6???x>3???. ? ? 4? ?4 答案:y=?20.4x-4.8? <x≤ ?, 3? ?5 4 ? ?24x-9.6???x>3???
[高频滚动] 1.定义域为 R 的奇函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,方 程 f(x)=log2 013x 的实数根的个数为( A.1 006 B.1 007 ) C.2 012 D.2 014 4? ? 14.4x?0≤x≤ ?, 5? ?

4? ? 14.4x?0≤x≤ ?, 5? ?

解析:选 A 因为 f(x)在 R 上是奇函数,其图象关于直线 x=1 对称,且当 x∈[0,1]时,

f(x)=x,所以 f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,且 f(x)为周期函数,周期 T
=4.令 log2 013x=1,得 x=2 013,故 f(x)=log2 013x 的实根有 2×503=1 006 个. 2.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
? ?a,a-b≤1, ?b,a-b>1. ?

设函数 f(x)=(x -2)?(x- )

2

1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

- 17 -

解析:选 B

?x -2,-1≤x≤2, ? 由题设知 f(x)=? ?x-1,x<-1或x>2, ?

2

画出函数 f(x)的图象,如图,

A(2,1)、B(2,2)、C(-1,-1)、D(-1,-2).从图象中可以看出,直线 y=c 与函数的图象
有且只有两个公共点时,实数 c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

- 18 -



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