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第1课时 集合的概念



阆中东风中学高三数学文科第一轮复习讲义 第 1 课时

伍贤均

考 点:集合的概念及运算 考点分析:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常规处理方法. 知识回顾:

1. 集合、子集、空集的概念;两个集合相等的概念. 2. 集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法; 3. 若有限

集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,真子集有 2 n ? 1 ,非空子集有 2 n ? 1 个,非空真子集有 2n ? 2 个. 4. 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 5. 若 A ? B,B ? C ,则 A ? C 6. A ? A B, A B ? A, A B ? A B. 7. A ? B ? A B ? B ; A ? B ? A B ? A . 8、交集: A B ? {x | x ? A 且 x ? B} ;并集: A B ? {x | x ? A 或 x ? B} ; 补集:若 B ? U ,则 CU B ? {x | x ?U 且 x ? B} ; 9、 A ? ? ?, A ? ? A , A A ? A, A A ? A ; 10、 A B ? A ? A ? B . A B ? A ? A ? B ; 11、 C U ( A B) ? (CU A) (CU B) , CU ( A B) ? (CU A) (CU B) (德·摩根律)
例题分析: 题型一:集合中元素与集合、集合与集合的关系考查。 例(1)已知集合 M ? x x ? 3n, n ? Z , N ? x x ? 3n ? 1, n ? Z , P ? x x ? 3n ? 1, n ? Z ,且 a ? M ,

b ? N , c ? P ,设 d ? a ? b ? c ,则 A. d ? M B. d ? N

?

?

?

?

?

?

C. d ? P

D.

d ?M

N

跟踪练习:已知集合 P ? { y ? x2 ? 1} ,Q ? { y | y ? x2 ? 1} , E ? {x | y ? x2 ? 1} , F ? {( x, y) | y ? x2 ? 1} ,

G ? {x | x ? 1} ,则 ( A) P ? F





( B) Q ? E

(C ) E ? F

(D) Q ? G

(2)设集合 A ?

?1? 若 a ? R , b ? R ,试确定集合 A 与集合 B 的关系; ? 2 ? 若 a ? N , b ? R ,试确定集合 A 与集合 B 的关系.
?{ x |x m ? ?m ,1 Z } 6?
,N

?x x ? a

2

? 2a ? 4? , B ? ? y y ? b 2 ? 4b ? 7? .

(3) 设M 则

p 1 ? {x | x ? n P ? {x | x ? 2 ?1 2 ? 3 , n ? Z} , 6 , p ? Z}

A. M ? N ? P B. M ? N ? P C. M 苘N

P D. N ? P ? M

例 2、现有三个实数的集合,既可以表示为

?a, b ? ,也可以表示为 ?a , a ? b, 0? ,则 a a ,1
2

2011

? b2011 ?

例 3、设 M、N 是两个非空集合,定义 M 与 N 的差集为 M-N={x|x∈M 且 x ? N},则 M-(M-N)等 于 A.N B.M∩N C.M∪N D.M 第
1



阆中东风中学高三数学文科第一轮复习讲义 第 1 课时 题型二:集合的运算
2 例 1、 (1)若 A ? x | x ? ax ? 1 ? 0, x ? R , B ? ?1,2? ,且 A

伍贤均

?

?

B ? A ,求 a 的范围

(2) 设全集 U ? x 0 ? x ? 10, x ? N * , 若A 求 A、B

?

?

B ? ?3? ,A CU B ? ?1,5,7? ,(CU A) (CU B) ? ?9? ,

(3)已知集合 A ? {x x ? ?1 或 x ? 2} , B ? {x 4x ? p ? 0} ,当 A

B ? A 时,求 p 范围

例 2、已知集合 A ? {( x, y) | x ? 2 y ? 0} , B ? {( x, y ) |

y ?1 ? 0} ,则 A B ? x?2

,A

B?

例 3、若 B={x|x -3x+2<0},是否存在实数 a,使 A={x|x -(a+a )x+a <0}且 A∩B=A?请说明你的理 由.

2

2

2

3

题型三:集合与不等式的联系

2 例 1、设 P ? x 12 ? x ? x ? 0 , Q ? x m ? 1 ? x ? 3m ? 2 ,若 Q

?

?

?

?

P ? P ,求 m 的范围

跟踪练习:设集合 P= {x | x 2 ? x ? 6 ? 0} ,Q= {x | x ? a ? 0} (1)若 P ? Q,求实数 a 的取值范围;(2)若 P ? Q ? ? ;求实数 a 的取值范围;

3 2 2 例 2、已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 x ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,若 A

?

?

?

?

B ? ?x | 0 ? x ? 2? ,

A B ? ?x | x ? ?2? ,求实数 a 、 b 的值.



2



阆中东风中学高三数学文科第一轮复习讲义 第 1 课时
2 例 3 、已知集合 A ? { y | y2 ? ( a2 ? a ? 1) y ? a( a , B ? {y | y ? ? 1) ? 0}

伍贤均

A

B ? ? ,求实数 a 的范围.

1 2 5 x ? x ? , 0 ? x ? 3} ,若 2 2

题型四:集合与解析几何的联系

2 ? y? 2 ? 0 , x? R 例 1 、 已 知 集 合 A ? ( x, y ) | x ? m x , B ? ?( x, y) | x ? y ?1 ? 0,0 ? x ? 2? , 若

?

?

A B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

例 2、 、已知 P={(x,y)|(x+2)2+(y-3)2≤4},Q={(x,y)|(x+1)2+(y-m)2< 求 m 的取值范围.

1 },且 P∩Q=Q, 4

题型五:集合与方程的联系

2 2 2 例 1、集合 A ? x | x ? 4 x ? 0 , B ? x | x ? 2(a ? 1)ax ? (a ? 1) ? 0 ,已知 A

?

?

?

?

B ? A ,求实数 a 的值

2 2 2 例 2 、 集 合 A ? x| x ? 3 x? 2 ? 0, B ? x | x ? ax ? (a ? 1) ? 0 , C ? x | x ? mx ? 2 ? 0

?

?

?

?

?

?

, 已 知

A

B?

A , A C ? C ,求 a 、 m 的值。

2 跟踪练习:若集合 A ? x | ax ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R 中有至少有一个元素, 求实数 a 的取值范围.

?

?

2 补充:设 f ( x) ? x ? px ? q , A ? {x | x ? f ( x)} , B ? {x | f [ f ( x)] ? x} ,

(1)求证: A ? B ;

(2)如果 A ? {?1,3} ,求 B . 第
3



阆中东风中学高三数学文科第一轮复习讲义 第 1 课时 (四)巩固练习: 1、 (2010 浙江) (1)设 P={x︱x<4},Q={x︱ x <4} ,则 (A) p ? Q (B) Q ? P (C) p ?
2

伍贤均

CQ
R

(D) Q ?

CP
R

2 2、 (2010 江西)若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则 A ? B =(

?

?

?

?



A.

?x | ?1 ? x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D. ?

2 (2010 北京) (1) 集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M = 3、

(A) {1,2}

(B) {0,1,2}

(C){x|0≤x<3}

(D) {x|0≤x≤3}

4、 (2010 天津)设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R?, B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值 范围是 (A) ?a | 0 ? a ? 6? (B) a | a ? 2, 或a ? 4

?

?

(C) a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

(D) ?a | 2 ? a ? 4?

5、 (11 年安徽卷)集合 U ? ?, ?, ?, ?, ?, ?? , S ? ?, ?, ?? , T ? ?, ?, ?? ,则 S (A) ?, ?, ?, ??

?

?

?

I

(CU T ) 等于

?

(B) ?, ??

?

(C)

???
2

(D) ?, ?, ?, ?, ??

?

?x ? 1 ,那么 ? 6、 (11 年北京卷)已知全集 U=R,集合 P ? x UP ?
(A)( ??, ?1 ) (B)( 1, ?? ) (C)(-1,1) (D) ? ??? ?1? ) .

?

?

?1? ???

7、 (11 年福建卷)若集合 M ? ??1,0,1? , N ? ?0,1, 2? ,则 M ∩ N 等于( A. ?0,1? B. ??1,0,1? C. ?0,1, 2?
2 2

D. ??1,0,1, 2?

8、 ( 11 年广东卷)已知集合 A ? {( x, y ) | x , y 为实数,且 x ? y ? 1} , B ? {( x, y) | x, y 为实数,且

x ? y ? 1} ,则 A ? B 的元素个数为
A.4 B.3 C.2 D.1 )

9、 (11 年江西卷)若全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {2,3}, N ? {1, 4} ,则集合 {5, 6} 等于( A. M ? N B. M ? N C. (CU M ) ? (CU N ) D. (CU M ) ? (CU N )

10、 (11 年辽宁卷)已知集合 A={x x> 1 },B={x - 1<x<2 }},则 A ? B= (A) {x - 1 <x<2 }} (B){x x>- 1 } (C){x - 1 <x< 1 }} (D){x 1 <x<2 }}

11、 (11 年浙江卷)若 P ? {x x ? 1}, Q{x x ? 1} ,则 (A) P ? Q (B) Q ? P 第
4

(C) CR P ? Q 页

(D) Q ? CR P



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