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2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题05 函数解析式的求法


第 05 讲:函数的解析式的求法
【考纲要求】 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函 数。 【基础知识】 1、函数的表示方法 函数的表示方法有三种。 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系用代数式来表达,这个 等式叫做函数的解析表达式,简称解析式。 (2)列表法:就是列出自变量与对应的函数值 的表来表达函数关系的方法。 (3)图像法:用图像来表示两个变量间的函数关系。 2、求函数的解析式的主要方法有以下四种: ①待定系数法:如果已知函数解析式的类型(函数是二次函数、指数函数和对数函数等) 时,可以用待 定系数法。 ②代入法:如果已知原函数 f ( x ) 的解析式,求复合函数 f [ g ( x )] 的解析式时,可以用代入 法。 ③换元法:如果已知复合函数 f [ g ( x )] 的解析式,求原函数 f ( x ) 的解析式时,可以用换元 法。换元时,注意新“元”的范围。 ④解方程组法:如果已知抽象函数的解析式,可以用解方程组的方法。

例1

已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 7 ,求 f ( x ) .

解: 设 f ( x ) ? a x ? b ( a ? 0 ) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3 a x ? 3 a ? 3 b ? 2 a x ? 2 a ? 2 b ? a x ? b ? 5 a ? 2 x ? 1 7 ,
?a ? 2 ?比 较 等 式 两 边 的 系 数 得 ? ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x ) ? 2 x ? 7 。 ?b ? 5a ? 17

例2

已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ) (? ? 0 ,

| ? |?

?
2

) 的图形的一个最高点为(2,

2 ) ,

由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过(6,0) ,求这个函数的解析式. 解:由题得 A ?
2 ? y ? 2 sin ( w x ? ? )

由 题 得 函 数 的 最 小 正 周 期 T ? (6 ? 2 ) ? 4 ? 1 6 ? ? y ? f (x) ? ? 2=

2? w

?w ?

?
8

2 s in (

?
8

x ??)

? 函 数 的 图 像 过 点 ( 2, 2)

2 s in (

?
8

?2 ??)

? s in (

?
4

??) ?1

?| ? | ?

?
2

?? ?

?
4

? f (x) ?

2 s in (

?
8

x?

?
4

)

例4

已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? ( 0 , ?? ) 时, f ( x ) ? x (1 ?

3

x ) ,求

当 x ? ( ?? , 0 ) 时, f ( x ) 的函数解析式。 解:设点 P ( x , y )( x ? 0 ) 是函数的图像上的任意一点,则点 P 关于原点的对称点为
( ? x , ? y ) ,因为 x ? 0,? ? x ? 0 ,所以点 ( ? x , ? y ) 必在 f ( x ) ? x (1 ?
? y ? ? x (1 ?
3

3

x ) 的图像上,所以
3

? x ) 化简得 y ? x (1 ?

3

x ) 。所以当 x ? ( ?? , 0 ) 时, f ( x ) ? x (1 ?

x)
[来源:学科网 ZXXK]

【点评】本题就是已知某区间的函数的解析式,求对称区间的解析式。一般先在所求的 函数的图像上任意取一点,然后求出它的对称点的坐标,再把对称点的坐标代入对 称点满 足的方程。 【变式演练 2】

设函数 y ? f ( x ) 的图象为 C 1 , C 1 关于点 A ( 2,1) 对称的图象为 C 2 ,

求 C 2 对应的函数 g ( x ) 的表达式。

例5 解:令

已知 f (
2 x

2 x

? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ;

? 1 ? t (t ? 1 ) ,则 x ?

2 t ?1

,∴ f ( t ) ? lg

2 t ?1

, f ( x ) ? lg

2 x ?1

( x ? 1) 。

【点评】 (1)本题就是已知复合函数的解析式,求原函数的解析式。一般先换元,再求出 函数的自变量的表达式,再代入复合函数得到函数的解析式。 (2)换元时,一定要注意新 元的取值范围,它就是所求函数的定义域。
[来源:学科网 ZXXK]

例6

已知 f ( x ?
1 x ? x? 1 x

1 x

)? x ?
3 3

1 x
3

,求 f ( x ) ;
1 x
3

解:∵ f ( x ?

)? x ? 1 x

1 x
3

? (x ?

) ? 3( x ?
3

1 x

),

? 2或 x ?

? ?2

∴ f ( x) ? x ? 3 x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) 。

【点评】 (1)已知复合函数的解析式求原函数的解析式,有时不一定要先求出函数自变 量的表达式。对于某些特殊的函数,可以直接进行配凑,再整体换元。 (2)换元要注意新 元的范围。

例7

已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) .
x 1

1

解: 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x
x

①,把①中的 x 换成
3 x

1 x

,得 2 f ( ) ? f ( x ) ?
x

1

3 x

②,

① ? 2 ? ②得 3 f ( x ) ? 6 x ? 【变式演练 5】 :
f ( x ) 的表达式。

,∴ f ( x ) ? 2 x ?

1 x



定 义在区间 ( ? 1,1) 上的函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? lg ( x ? 1) ,求

例8 某人开汽车以 6 0 km / h 的速度从 A 地到 1 5 0 k m 远处的 B 地,在 B 地停留 1h 后,再 以 5 0 km / h 的速度返回 A 地,把汽车离开 A 地的路程 x ? k m ? 表 示为时间 t ? h ? (从 A 地出 发是开始)的函数,再把车速 v k m / h 表示为时间 t ? h ? 的函数. 解:从 A 地到 B 地 所需时间 为
150 60 ? 2 .5 ( h ) ,从 B 地到 A 地所需时间为 150 50 ? 3( h ) ,

所以,当 0 ? t ? 2 .5 时, x ? 6 0 t ;当 2 .5 ? t ? 3 .5 时, x ? 1 5 0 ; 当 3 .5 ? t ? 6 .5 时, x ? 1 5 0 ? 5 0 ( t ? 3 .5) ? ? 5 0 t ? 3 2 5 ;
0 ? t ? 2 .5, ?60t, ? 2 .5 ? t ? 3 .5, 所以, x ? ?1 5 0 , ? ? 5 0 t ? 3 2 5, 3 .5 ? t ? 6 .5 . ?

? 6 0 , 0 ? t ? 2 .5, ? v ? ? 0 , 2 .5 ? t ? 3 .5, ? 5 0 , 3 .5 ? t ? 6 .5 . ?

【变 式演练 6】 某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元.该 厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件 的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出 函数 P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1 000 个,利润 又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本) 【高考精选传真】 1.【2012 高考真题安徽理 2】下列函数中,不满足: f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) 的是(
( A) f (x) ? x (B ) f (x) ? x ? x (C ) f ( x ) ? x ? ?



(D ) f (x) ? ? x

【解析】 f ( x ) ? k x 与 f ( x ) ? k x 均满足: f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) 得: A , B , D 满足条件. 2. 2012 高考真题山东理 8】 【 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) .当 ? 3 ? x ? ? 1 时, f ( x ) ? ? ( x ? 2 ) ,当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x ) ? x 。则 f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? ? ? ? f ( 2 0 1 2 ) ?
2

(A)335

(B)338

(C)1678

(D)2012

【解析】由 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ,可知函数的周期为 6,所以 f ( ? 3 ) ? f ( 3 ) ? ? 1 ,
f ( ? 2 ) ? f ( 4 ) ? 0 , f ( ? 1) ? f ( 5 ) ? ? 1 , f ( 0 ) ? f ( 6 ) ? 0 , f (1) ? 1 , f ( 2 ) ? 2 ,所以

在一个周期内有 f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 6 ) ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ,所以
f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 2012 ) ? f (1) ? f ( 2 ) ? 335 ? 1 ? 335 ? 3 ? 338 ,选 B.

3.【2012 高考真题江西理 3】若函数 f ( x ) ? ? A.lg101 B.2 C.1 D.0

? x 2 ? 1, x ? 1 ? lg x , x ? 1

,则 f(f(10)=

【解析】 f (10 ) ? lg 10 ? 1 ,所以 f ( f (10 )) ? f (1) ? 1 ? 1 ? 2 ,选 B.
2

【反馈训练】 1.已知 f(
x 1? x
2

1? x 1? x

)=

1? x 1? x

2 2

,则 f(x)的解析式可取为(
2x 1? x
2


x 1? x
2

A.

B.-

2x 1? x
2

C.

D.-

2.若 f ( x ) 是一次函数, f [ f ( x )] ? 4 x ? 1 且,则 f ( x ) = _________________。 3.已知 3 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ( x ? 0 ) ,求 f ( x ).
x 1

4.函数 f ( x ) 在闭区间 [ ? 1, 2 ] 上的图象如下图所示,则求此函数的解析式.
y

?1 5.若 x ? R , f ( x ) 是 y ? 2 ? x , y ? x 这两个函数中的较小者,求 f ( x ) 的表达式和最大值。
2

0
?1
?1

6.已知函数 y ? 2 sin( ? x ? ? ) (? ? 0 , | ? |< ) 图象如下,求这个函数的解析式。
2

?

2 x

1 7.已知函数 f ( x ) 是 R 上奇函数,当 ? ? 0 时, y ? - x
12

2 ?1
x

11

2 ?1
x

,求函数的解析式。 12

?

9.一个圆柱形容器的底部直径是 d c m ,高是 h c m .现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种 溶液.求容器内溶液的高度 x c m 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义 域和值域. 10.某同学从甲地以每小时 6 千米的速度步行 2 小时到达乙地,在乙地耽搁 1 小时后,又以 每小时 4 千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中,离甲地的距离 S(千米)和时

3

间 t(小时)的函数关系式,并作出函数的图像。 11.某市出租车的计价标准是: km 以内 10 元, 4 超过 4 km 且不超过 18 km 的部分 1.2 元/km, 超过 18 km 的部分 1.8 元/km. ? (1)? 如果不计等待时间的费用, 建立车费与行车里程的函数关系式; ? (2? )如果某人乘车行驶了 20 km,他要付多少车费? 12.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的, 某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量
a m 时,只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a m 时,除了付同
3 3

上的基本费和定额损耗费外,超过部分每 m 付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费
3

不超过 5 元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 1 2 3 用水量 ( m ) 9 15 22
3

水费(元) 9 19 33

根据上表中的数据,求(1) y 关于 x 的函数表达式; (2)求 a 、 b 、 c 的值。

【变式演练详细解答】 【变式演练 1 详细解析】

设 ( x , y ) 是函数 g ( x ) 图象上任一点 ,则关于 A ( 2,1) 对称点为 ( 4 ? x , 2 ? y ) 在 y ? f ( x ) 上,即: 2 ? y ? 4 ? x ? 故 y ? g (x) ? x ? 2 ?
1 4? x 1 x?4

即: y ? x ? 2 ?

1 x?4

( x ? 4) 。

【变式演练 3 详细解析】

设 1 ? cos x ? t ? ? 1 ? cos x ? 1

? cos x ? 1 ? t ? 0 ? 1 ? cos x ? 2
2

?0? t ? 2
2 2

? f ( t ) ? c o s 2 x ? 2 c o s x ? 1 ? 2 (1 ? t ) ? 1 ? 2 t ? 4 t ? 1 ? f (x) ? 2 x ? 4 x ? 1
2

(0 ? x ? 2 ) 2

? f (x ) ? 2x ? 4x ?1
2 4 2

?0? x ? 2
2 2 4

??

2 ? x ?
2

? f (x ) ? 2x ? 4x ? 1

(?

2 ? x ?

2)

【变式演练 4 详细解析】
? f (x ? 1 x ? f (x) ? x ? 3
2

)? x ?
2

1 x
2

?1

? f (x ?
2

1 x

) ? (x ?
2

1 x

) ?3
2
[来源:Z§xx§k.Com]

? g [ f ( x )] ? x ? 3 ? 3 ? x ? 6

设一次订购量为 m 个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元. 由题意,得 60-(m-100)×0.02=51,得 m=550. 故当一次订购 550 个时,零件实际出厂单价恰为 51 元. (2)由题意,知当 0<x≤100 时,f(x)=60; x 当 100<x<550 时,f(x)=61-(x-100)·0.02=62- ; 50 当 x≥550 时,f(x)=51. ∴函数 P=f(x)的表达式是

?60, 0<x≤100,x∈N ? x f(x)=?62- , 100<x<550,x∈N 50 ?51, x≥550.x∈N ?
+ +



.

(3)由(2)知当销售一次订购 500 个零件和 1 000 个零件时销售单价分别为 62-

500 =52 元 50

和 51 元,故其利润分别是 500×52-500×40=6 000 元和 1 000×51×40=11000 元. 【反馈训练详细解答】 1. C【解析】令 2. f ( x ) ? 2 x ?
1? x 1? x

=t,则 x=

1? t 1? t

,∴f(t)=
t

2t
2

?1

.∴f(x)=
x

2x
2

?1

.所以选 C。

1 3

或 f ( x ) ? ? 2 x ? 1 【解析】

设 f ( x) ? ax ? b (a ? 0) ? a (ax ? b) ? b ? 4 x ? 1 ?a ? 4 ?? ?ab ? b ? ?1
2

? f (ax ? b ) ? 4 x ? 1 ? a x ? ab ? b ? 4 x ? 1
2

?a ? 2 ?a ? ?2 ? ?? 1或 ? ?b ? 1 ?b ? ? 3 ? 1 3 或 f (x) ? ?2 x ? 1

? f (x) ? 2 x ?

4.

? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , ? f (x) ? ? 1 【解析】由图象可知, ?? x, 0 ? x ? 2. ? 2

当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? ? x ? 1 ; 当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ? ?
1 2
? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , ? 所以 f ( x ) ? ? 1 ?? x, 0 ? x ? 2. ? 2

x,

6. y ? 2 s in ( 2 x ?
T ? 11 12

?
6

) 【解析】由题得函数的最小正周期 2? w ?w ? 2

? ? (?

?
12

)?? ?

因为函数过点(0,1) ,所以

1 ? 2 s in ?

? s in ? ?
x

1 2

?| ? |?

?
2

?? ?

?
6

? y ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

)

?2 ?1 ? x 2 ?1 ? ? 7. f ( x ) ? ? 0 ? x 2 ?1 ? ?1 ? 2 x ?

( x ? 0) ( x ? 0) ( x ? 0)
1

【解析】

设 x < 0 , 则 - x > 0 ,? f ( - x ) =

2 2

?x -x

? 2 1 ?1 2

?1

x

?1 ? ?1

1? 2 1? 2

x x

,因为函数是定义在 R 上的奇函数

x

?2 ?1 ? x 2 ?1 ? ? 所以 f ( x ) ? ? 0 ? x 2 ?1 ? ?1 ? 2 x ?
x

( x ? 0) ( x ? 0) ( x ? 0)

∴ f ( x ) ? 2 ( x ? 2 ) ? 5(1 ? x ? 4 ) .
2

③∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0 ) ? 0 , 又知 y ? f ( x ) 在 [0 ,1] 上是一次函数,∴可设 f ( x ) ? kx (0 ? x ? 1) ,而
f (1) ? 2 (1 ? 2 ) ? 5 ? ? 3 ,
2

∴ k ? ? 3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x , 从而当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ? 3 x ,故 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ? 1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? ? 3( x ? 5) ? ? 3 x ? 1 5 .
2 2

[来源:学+科+网]

当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2 ] ? 5 ? 2 ( x ? 7 ) ? 5

∴ f (x) ? ?

? ? 3 x ? 1 5, ? 2 ( x ? 7 ) ? 5,
2

4? x ? 6 6? x ?9



10.【解析】 :先考虑由甲地到乙地的过程:0≤t≤2 时, 再考虑在乙地耽搁的情况:2<t≤3 时, y=12 最后考虑由乙地返回甲地的过程:3<t≤6 时,
?6t (0 ? t ? 2 ) ? 所以 S(t)= ?12 ( 2 ? t ? 3 ) ? ? 4 t ? 24 ( 3 ? t ? 6 ) ?

y=6t y=12-4(t-3)

函数的图像如图所示:

11。 【解析】

?

1?

设车费为 y 元,行车里程为 x km ,则根据题意得

(0 ? x ? 4 ) ?1 0 ? y ? ?1 .2 x ? 5 .2 ( 4 ? x ? 1 8 ) ? ?1 .8 x ? 5 .6 ( x ? 18) ?

2? 当 x=20 时, y=1.8×20-5.6=30.4, 即当乘车 20 km 时,要付 30.4 元车费. 12. 【解析】设每月用水量为 x m ,支付费用为 y 元,则有
?8 ? c, 0 ? x ? a y ? ? ?8 ? b ( x ? a ) ? c, x ? a (1) (2)
3 3 3

3

由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元,故用水量 15 m ,22 m 均大于最低限量 a m , 于是就有 ?
?1 9 ? 8 ? b (1 5 ? a ) ? c ?33 ? 8 ? b(22 ? a ) ? c
(3)
3

,解之得 b ? 2 ,从而

[来源:Zxxk.Com]

2a ? c ? 19

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入(2)式,得

9 ? 8 ? 2 (9 ? a ) ? c ,即 2 a ? c ? 1 7 ,这与(3)矛盾.∴ 9 ? a .

从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 .


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