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四川省邛崃市2014届高三第一次月考数学(理)试题 word版含答案


命题人:梁应惠 审题人:戴建军 本试卷分为选择题和非选择题两部分,由第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)组成, 共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答非选择题时,必须用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后,只将答题卷交回。

第一部分(选择题)
一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分。每小题的四个选项只有一项是最符合题要求的。 ) 1. 已知全集是实数集 R,M={x|x≤1},N={1,2,3,4},则(?RM)∩N 等于( ) A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} z 2.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于( ) 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 xax 4. 函数 y= (0<a<1)的图象的大致形状是( ) |x|

5. 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为(

)

6. 若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( ) A.2 B.3 C.6 D.9

1+cos2α+8sin2α 7. 已知 tanα=4,则 的值为( ) sin2α 65 2 3 A.4 3 B. C.4 D. 4 3 8. 2011 年,哈三中派出 5 名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流,每 所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有( ) A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150 种 1 1 9. 函数 f(x)= ax3+ ax2-2ax+2a+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是 3 2 ( ) 6 3 8 3 A.- <a< B.- <a<- 5 16 5 16 8 1 6 3 C.- <a<- D.- <a<- 5 16 5 16 10.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的 大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是( ) π π π π A.2- B.1- C.2- D.1- 3 6 2 12

第二部分(非选择题)
二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知幂函数过点(2,

1 ) ,则此函数 f(x)=________. 4

a1 a2 a2 013 12.若(1-2x)2 013=a0+a1x+?+a2 013x2 013(x∈R),则 + 2+?+ 2 013=________. 2 2 2 13.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________.
??? ???? ?

1 ?1? - =d(n∈N*, 为常数), d 则称数列{an}为调和数列. 记数列?x ? an ? n? an+1 为调和数列,且 x1+x2+?+x20=200,则 x5+x16=________. 14. 若数列{an}满足 1

? 3 ?4 ? 8 x ? 2 ,1 ? x ? 2 ? 15.已知定义在[1,+∞)上的函数 f ( x) ? ? 。给出下列结论: 1 x ? f ( ), x ? 2 ?2 2 ?
①函数 f(x)的值域为[0,4];

1 2 n?1 n * ③当 x ? 2 ,2 (n ? N ) 时,函数 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=2; ④存在 x0 ? ?1,8?,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立,
n * ②关于 x 的方程 f ( x ) ? ( ) ( n ? N ) 有 2n+4 个不相等的实数根;

?

?

其中你认为正确的所有结论的序号为_______.

三.解答题(共 75 分) x x x 16.(12 分) 已知函数 f(x)=cos ? 3sin2+cos2?. ? 2? 2π (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)若 f(x)=1,求 cos? 3 -2x?的值. ? ? 17.(12 分) 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

18.(12 分) 不透明盒中装有 10 个形状大小一样的小球,其中有 2 个小球上标有数字 1,有 3 个小球上标有数字 2,还有 5 个小球上标有数字 3.取出一球记下所标数字后放回, 再取一球记下所标数字,共取两次.设两次取出的小球上的数字之和为 X. (1)求随机变量 X 的分布列; (2)求随机变量 X 的期望 E(X).

19.(12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (1)当 CF=1 时,求证:EF⊥A1C; (2)设二面角 C-AF-E 的大小为 θ,求 tanθ 的最小值.

x 20.(本小题满分 13 分)设 f ( x) ? ae ?

1 ? b(a ? 0) 。 ae x

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

3 x ;求 a , b 的值。 2

1 21.已知函数 f ( x) ? x ln( ? x) ? a( x ? 1) ( x ? 0 ) ,其中 a 为实常数。

2x ? 0 定义域内恒成立,求 a 的取值范围; 1? x f ( x) (2)证明:当 a=0 时, 2 ? 1 ; x 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? n) ? 1 ? ? ? ... ? (3)求证: ? ? ... ? 2 3 n ?1 2 3 n
' (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ?

2013~2014(上)邛崃市高三第一次月考
数学试题(理)答案
一.选择题: 1.C 2.B 3. [解析] B 显然,充分性不成立.若 a-c>b-d 和 c>d 都成立,则同向不等 式相加 得 a>b,即由“a-c>b-d”?“a>b”. 4. D 5.D 6.[解析] D f′(x)=12x2-2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值,∴f′(1)=0,即 12-2a-2b=0,化简得 a+b=6, a+b?2 ∵a>0,b>0,∴ab≤? ? 2 ? =9,当且仅当 a=b=3 时,ab 有最大值,最大值为 9, 7. B

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.x-2 1 12.[解析] -1 令 x=0 得 a0=1,令 x= , 2 a1 a2 a2 013 a1 a2 a2 013 得 a0+ + 2+?+ 2 013=0, 所以 + 2+?+ 2 013=-a0=-1. 2 2 2 2 2 2 13.【答案】-16 【解析】法一:假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 34 . cos∠BAC= 法二:
2 2 1 1 1 1 AB ? AC ? (? BC ? AM ) ? ( BC ? AM ) ? ? BC ? AM ? ? ?10 2 ? 32 ? ?16 . 2 2 4 4

??? ???? ? ??? ???? ? 34 ? 34 ? 100 8 ? ? . AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? ?16 2 ? 34 17

14. [解析] 20 由调和数列的定义,得 xn+1-xn=d,即数列{xn}是等差数列, 则 x1+x20=x2+x19=?=x10+x11, ∴x1+x2+?+x20=10(x1+x20)=200, 故 x5+x16=x1+x20=20. 15.答案:①③

三.解答题(共 75 分) x x π 1 x 3 1 16 .[解答] (1)f(x)=cos ? 3sin2+cos2?= sinx+ (1+cosx)=sin?x+6?+ , ? 2 ? ? 2 2? 2 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π. π π π 2π π 令 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 3 3 2π π? 函数 y=f(x)的单调递增区间为?2kπ- 3 ,2kπ+3?(k∈Z). ? π? 1 π 1 (2)f(x)=sin?x+6?+ =1,即 sin?x+6?= , ? ? ? 2 2 2π π ? π 1 cos? 3 -2x?=2cos2?3-x?-1=2sin2?x+6?-1=- . ? ? ? ? ? 2 17 . [ 解 答 ] (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 因 为 a3 = 7 , a5 + a7 = 26 , 所 以 有
?a1+2d=7, ? ? 解得 a1=3,d=2,所以 an=3+2(n-1)=2n+1, ? ?2a1+10d=26,

n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 1 1 1 1 1 1 ?1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 2 = = · = ·n-n+1?, 2 ? an-1 ?2n+1? -1 4 n?n+1? 4 ? 1 1 ? 1? 1 ? 1? 1 1 1 n 所以 Tn= ·1-2+2-3+?+n-n+1 = ·1-n+1 = 4? ? 4? ? 4?n+1?, n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1? 18. [解答] (1)由题意知随机变量 X 的取值为 2, 3,4,5,6. 2 2 1 P(X=2)= × = , 10 10 25 2 3 3 2 3 P(X=3)= × + × = , 10 10 10 10 25 2 5 5 2 3 3 29 P(X=4)= × + × + × = , 10 10 10 10 10 10 100 3 5 5 3 3 P(X=5)= × + × = , 10 10 10 10 10 5 5 1 P(X=6)= × = . 10 10 4 所以随机变量 X 的分布列为 4 5 6 29 3 1 P 100 10 4 1 3 29 3 1 23 (2)随机变量 X 的期望为 E(X)=2× +3× +4× +5× +6× = . 25 25 100 10 4 5 19. [解答] 解法 1:过 E 作 EN⊥AC 于 N,连接 EF. (1)如图①, 连接 NF、 1, AC 由直棱柱的性质知, 底面 ABC⊥侧面 A1C, 又底面 ABC∩侧面 A1C=AC, EN?底面 ABC, 且 所以 EN⊥侧面 A1C, NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影, CF CN 1 在 Rt△CNE 中,CN=CEcos60° =1,则由 = = ,得 NF∥AC1. CC1 CA 4 又 AC1⊥A1C,故 NF⊥A1C,由三垂线定理知 EF⊥A1C. X 2 1 25 3 3 25

(2)如图②,连接 AF,过 N 作 NM⊥AF 于 M,连接 ME, 由(1)知 EN⊥侧面 A1C,根 据三垂线定理得 EM⊥AF, 所以∠EMN 是二面角 C- AF-E 的平面角, 即∠EMN=θ, 设∠FAC=α, 0° 则 <α≤45° . 在 Rt△CNE 中,NE=EC· sin60° 3, = 在 Rt△AMN 中,MN=AN· sinα=3sinα, NE 3 故 tanθ= = . MN 3sinα 2 2 又 0° <α≤45° ,∴0<sinα≤ ,故当 sinα= ,即当 α=45° 时,tanθ 达到最小值, 2 2 3 6 tanθ= × 2= ,此时 F 与 C1 重合. 3 3 解法 2:(1)建立如图③所示的空间直角坐标系,则由已知可得 A(0,0,0),B(2 3,2,0), C(0,4,0),A1(0,0,4), E ( 3,3,0),F(0,4,1), → → 于是CA1=(0,-4,4),EF=(- 3,1,1), → → 则CA1· =(0,-4,4)· EF (- 3,1,1)=0-4+4=0,故 EF⊥A1C.

20. 【解析】 (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ?
x

1 1 a 2t 2 ? 1 ? b ? y? ? a ? 2 ? , at at at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数, at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ? b 。 a 1 ?b ? 2?b, ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? at
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

1 , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a 1 1 x x (II) f ( x) ? ae ? x ? b ? f ?( x) ? ae ? x , ae ae
x 当且仅当 at ? 1(t ? e ?

1 2 ? 2 ? ? f (2) ? 3 ?ae ? ae 2 ? b ? 3 ?a ? e 2 ? ? ? ?? 由题意得: ? 。 3?? ? f ?(2) ? 2 ? ae 2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? ? ? ae 2 2 ? 2 ?

21. 【解析】 (1)由题意 g ( x) ? ln(1 ? x) ? 则 g ' ( x) ?

x ? a, x ? [0,?? ) 1? x

1 1 x ? ? ?0 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

即 g(x)在[0,+ ∞)上单调递增, a≤g(0)=0 ∴a∈(-∞,0] (2)即证 ln(1+x) ≤x, x∈[0, + ∞), 设 h(x)=ln(1+x)-x(x>0)

h ' ( x) ?

1 ?1 ?1 ? ?0 1? x 1? x

h(x)在[0,+ ∞)上单调递减, h(x) ≤h(0)=0,所以 ln(1+x) ≤x,x∈[0, + ∞)


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