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直线与双曲线的位置关系教学设计


直线与双曲线的位置关系教学设计
张变英 课程分析: 新教学大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是:掌握其简单应用。主 要考查:直线与圆锥曲线公共点个数问题,相交时的弦长,弦中点或相关轨迹问题,三角形 面积问题,对称性问题,存在性问题,与向量综合等问题,由于本部分内容一直是高考的热 点,这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点,所以应给以足够的重视,而用 坐标法研究几何问题,是数学中的一个很大的课题,问题的大小、深浅差别很大。为此,从 解析几何的本质出发,用代数的方法来研究,体现分类讨论的数学思想,又体现数形结合的 数学思想,是一节很重要但又有一定深度的课。 学情分析: 直线与双曲线的位置关系是在已经对直线与椭圆的位置关系有了初步的认识和了解的基 础上而进行的,但不少学生考虑问题往往不够全面,因此在创设问题情境以后,应让学生充 分思考、讨论,而不少学生受传统教学的影响,习惯于听老师的分析,自己不主动探索,学 习比较被动,往往老师分析的头头是道,学生也频频点头,但时间一长,就都忘了。应充分 调动学生的积极性,让学生在老师的引导下,自主、探究、合作得出结论,实现学生的主体 地位,让学生真正成为学习的主人。 学习目标: 学生能理解并掌握直线与双曲线的位置关系,并能类比直线与椭圆的位置关系进行求 解。从而培养学生分析、归纳、推理、类比等能力,使学生进一步掌握利用代数方法研究解 析几何的基本方法,加深对解析几何本质的理解及其应用。

设计理念: 根据诱思探究学科教学论,改变“老师滔滔讲,学生默默听”的传统教学模式,变教师的 “满堂教”为学生的“满堂学” 。让“教堂”变为“学堂” 。在本节课教学中充分安排回忆、 尝试、讨论、发言、实物演示,让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去,体验知识的 形成过程。本着这个原则,结合具体的教学内容,本节教学采用引导探究式的教学方法。理

论探究采用老师创设问题情境,学生自主探究、分组讨论的方法;反馈练习采用学生独立思 考,教师讲评的方法。另外,多媒体手段的引入能直观地加深印象,实物投影仪给了交流的 平台,提高了教学效益。 教学流程: (一) 复习引入,创设问题情境 前面我们学习了直线与椭圆的位置关系,那么请同学们回答: 直线与椭圆的位置关系有几种?想一想如何通过图像来表示?它的理论依据是什么? (简要实录:由于刚学过大家很齐声的回答三种:相离、相交、相切。 请一位同学板演草图,虽不规范但能反映出位置关系。 第三问是理论知识,再请一同学回答应为:联立方程组,得到一元二次方程通过判别式(或 解的个数)来说明。当判别式大于零(或两个不等的根) ,相交;当判别式等于零(或两个 等根) ,相切;当判别式小于零(或无根) ,相离。回答的比较完整。 设计意图:通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知,并为学习直线与 双曲线的位置关系这节课作下铺垫。 ) (二) 探索研究,体验感悟 问题一:若直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-y2=1 无公共点,求实数 k 的取值范围是什么?说 明位置关系。 (简要实录:同学们开始先作图,由于有参数因此从动的观点来结合表达式解题,学生在结 合椭圆的有关知识解答。再分组讨论,老师边巡视,边指导。最后把两三组学生的作品用实 物投影机展示,并加以点评。 ) 变式一: 若直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-y2=1 有个不同的两公共点, 求实数 k 的取值范围是 什么?并说明位置关系。 (简要实录: 同学们分组讨论, 由于在上面的基础上解决此题, 不同的地方就是交点问题, 开始讨论,气氛比较热烈,老师巡回指导,对于程度较好的提出结合图象理解,最后把两组 学生的作品用实物投影机展示,并加以点评,同学们有了清晰的认识。 ) 变式二:若直线过点(0,-1)的直线与双曲线 4x2-y2=1 有且仅有一个公共点,求直线方 程。并说明位置关系。 (简要实录:问题层层深入,让同学们体会知识的联系和区别。同学们开始讨论探索,由

于此题涉及的知识点较多,还有分类讨论的数学思想,做起来有一定的难度,老师参与到讨 论不积极的小组中,调动他们的积极性,让他们参与到讨论中来,最后将两三个组的作品进 行实物投影,查漏补缺,并加以点评。) (设计意图: 三个题中前两个类似直线与椭圆的位置关系, 但变式二既要考虑直线是否存 在,又要对二次项的系数加以讨论。而且位置关系不同于前面的情况,比较特殊。为此通过 多媒体演示其位置关系,给以直观的感受,从而使抽象问题直观化,帮助其理解。 ) (三) 归纳总结,行成定论 对于直线与双曲线的位置关系小结一下? (简要实录:让学生分组讨论,进行小结,比赛看哪个组总结的最好。学生有了亲身的体 验,学生们非常积极,举手回答: 学生 1:在联立方程组变为一元的方程后,要对二次项系数加以讨论。 学生 2:对于有关直线方程的设的问题,注意对直线是否存在要讨论。 学生 3:既要联立方程组,又要考虑直线设法及二次项系数是否为零。 (设计意图:大家发言都很好,通过多媒体演示小结。 ) (四)迁移运用(多媒体演示) 2 2 若直线 l 过点 (3, , 0) 与双曲线 4x -9y =36 只有一个公共点, 则这样的直线有_______ 条。 (简要实录:有了前面的研究,同学们积极性很高,能顺利地独立解决问题。 ) (设计意图:通过该练习让学生加强对一个公共点情况的认识。 ) (五)合作小结(多媒体演示) 1.从代数角度一般如何处理直线与双曲线的位置关系问题?应注意哪几点? 2.这节课用到哪些数学思想方法? (简要实录:学生分组讨论,互相补充很快得出结论,摘录如下: 学生 1:联立方程组,通过根的情况来确定。注意直线的斜率及二次项系数。 学生 2:分类讨论思想,数形结合思想。这样的话对于数学思想的运用有了深刻的理解。 (六)作业布置 补充作业:已知直线 y=k(x-1),双曲线 x2-y2=4,试讨论实数 k 的取值范围。 (1) 直线与双曲线有两个公共点。 (2) 直线与双曲线有且只有一个公共点。 (3) 直线与双曲线无个公共点。 (七)课后思考: 直线与抛物线的位置关系如何呢? 课后反思: 本节课在执教的过程中学生的参与性较强,能够充分发挥学生的主体性;学生掌握知识的 过程也是学生探索学习、思考研究、提高能力的过程;打破了传统的“讲授” ,变为引导、 启发、发现、总结、深化、提高、迁移。变学为思、变学为悟,并锻炼了学生的合作能力, 加强合作意识。整节课学生的活动贯穿始终,迁移规律运用在理论探究中起了关键的作用, 充分提高了学习的效率,保证知识落实到位。学生的主体地位得到了充分的体现,师为辅, 生为主,以体验为红线。

存在的问题:在教学过程中调动学生的积极性做得还不够好,问题提得不够自然.还需要用 心体会,真正领悟其真理.


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