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指数函数第一课时



2.1.2 指数函数及其性质(1)

问题 引入
问题1、某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成 2个,第二次由2个分裂成4个,如此下去,那么1 个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x 的函数关系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y?2<

br />
x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 一 系式?
尺 之 棰 日 取 其 半

y ? (
第1次后

1 x ) 2

一 尺 之 棰 日 取 其 半 1
1 2

第2次后

第3次后 第4次后 第x次后

1 ( )2 2

1 ( )3 2

1 ( )4 2

…...

1 ( )x 2

提炼

1 x y?2 y ?( ) 2 设 问 1:以 上 两 个 函 数 有 何 共 同 特 征 ?
x

(1)均 为 幂 的 形 式 ; ( 2)底 数 是 一 个 正 的 常 数 ; ( 3)自 变 量 x 在 指 数 位 置 .

定义:
一般地,函数 y ? a ( a ? 0, a ? 1)叫做指数
x

函数,其中 x是自变量,函数的定义 域是 R。

练习

①底数:大于零且不等于1的常数;
x x

(1) y ? x ;(2) y ? 3 ;(3) y ? (?4) ;(4) y ? ?4
?x 2x 2? x x

1.判断下列哪些是指数函数? ②系数:1. 3 x

(5) y ? 3 ;(6) y ? 2 ;(7) y ? 2 ;(8) y ? 4 ? 1
(2),(5),(6)
2、函数 y ? (2 a ? 3a ? 2) a 是指数函数,则 a的取值
2 x

为(

C)
1 ( D ) a ? 1或 a ? 2

1 ( A) a ? 0, 且 a ? 1 ( B ) a ? 1 (C ) a ? 2

练习
3.已知指数函数 f ? x ? ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3? 的值.
x

分析:指数函数的图象经过点 有 f ?3? ? ? , 1 3 即 a ? ? ,解得 a ? ? 3 x 于是有 f ? x ? ? ? 3
所以:
0 1 3 3

?3,? ?



1 f ?0 ? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3 ? ? π ? . π
?1

二 指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2
列表如下:
x … …
x

x

?1? y?? ? ?2?

x

y ? 3x

?1? y ?? ? ? 3?

x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

… …

2

x

?1? ? ? ?2?



8

4

2

1

1/2

1/4

1/8



二 指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2
列表如下:
x …

x

?1? y?? ? ?2?
-2 1/4 4 -2 1/9 9 -1 1/3 3 -1 1/2 2 0 1 1

x

y ? 3x
0 1 1 1 3 1/3 1 2 1/2 2 9 1/9 2 4 1/4 … … … 3 8

?1? y ?? ? ? 3?

x

-3 1/8 8 … … …

… … …

2

x
x

… …

?1? ? ? ?2?

1/8

x

3

x
x

?1? ? ? ?3?

通过图象看出 y=2 与 y= 3 与
x

x

?1? y=?3?x 的图象也关于 ? ?
x

?1? yy =?2?x 的图象关于 ? ?

y 轴对称,

y 轴对称.
y ? 3x

?1? y?? ? ? 2?

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 2x

1

0

1

x

观察以上图像有哪些共同特征?

函数 y = a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的图象与性质:
a>1
y

0<a<1
y

图 象
(1)

1

o

x

1

o

x

定义域 R 值域 ( 0 , + ∞) 过点 ( 0 , 1 ) 在R上是增函数 当x>0时,y>1 当x<0时,0<y<1

定义域 R 值域 ( 0 , + ∞) 过点 ( 0 , 1 ) 在R上是减函数 当x>0时, 0<y<1 当x<0时, y>1

(2) 性 (3) 质 (4) (5)

. 函数 练习(1)

y ? a x ? 2 ? 3(a ? 0且a ? 1)的图象过定点 (2,4)

(2) 如图,指数函数:A. y=ax

B.y=bx C.y=cx

D. y=dx

b<a<1<d<c 的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是________________. y B C D
A

O

x

结论:当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴; 当0<a<1时,底数越小,图象越靠近y轴.

应用
比较下列各题中两个值的大小:
2.5 ? 0.1 ? 0.2 2.5 33 ? 0.1 ? 0.2 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 1?? 1.7 ,1.7 ; ?? 2 ?? 0.8 , 0.8 ;; ??

3 1.8 3 1.8 ?? ??

1.6 1.6

2.3 ( 4 1.7 ,, 0.9 ;; ,,2.3 4 1.7 0.9 ??4 ?? )
1.6 1.6 0.3 0.3 3.1 3.1

2 3 2 3 2 2 2? ?2 ? (6)( ) 5 , ( ) 5 , ( ) 5 ? 0.2 0.7 ? ? 0.2 0.7 5 1.5 5 1.5 ,1.3 ,1.3 ,, ?? ?? ? ? ? ? 5 5 5 3? ?3 ? ?

11 33

方法总结: 对同底数幂大小的比较用的 是指数函数的单调性,必须要明确所给的两个 值是哪个指数函数的两个函数值;对不同底数 幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

练习1:
(1)已知 3 ≥3 ,求实数 x 的取值范围; (2)已知 0.2 <25,求实数 x 的取值范围.
(3)函数 y= 3
2x-1

x

0.5

x

1 - 的定义域是______. 27

(4)求不等式a x ? a1? x (a ? 0, 且a ? 1)中 x的取值范围

(5)已知a>0,且a≠1,若当x≠1时恒有:

a

x 2 ?1

?a

2x

成立,求a的取值范围.

1.指数函数 f ( x) ? (2a ? 1) 是R上的减函 数,则a的取值范围_______
x

2.指数函数 y ? a x在[0,1]上的最大值与最 小值的和为3,求a的值 3.指数函数y ? a x 在[1,2]上的最大值比最 小值的大

a 2

,求a的值

4.若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和
值域都是[0,2],则实数a等于________.

?1? y ?? ? y ? 2 5.分别画出函数 , 并求定义域, 值域, ? 2 ? 图象,
x

x

单调区间

6.已知函数

?1? + y=?3? |x 1|. ? ?

(1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 y 有最值,并写出值域; ?1? + (4)若关于 x 的方程?3? |x 1|=m 有正根,求 m 的取值范围. ? ?
7.方程|3x-1|=k有两解,则k的范围为________.



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